集合论和逻辑推理 (III) - 破解罗素悖论
罗素悖论先是集合论的一块心病，后来到成了检验新理论的试金石，且看数学家如何破解罗素悖论，化解第三次数学危机，从而拯救数学。
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从自我引用到无穷
康托尔提出的集合论非常简单自然，完全合乎人的直觉，然而它却导致无法自圆其说的尴尬场面，罗素悖论，一个简单的设计如同一颗微不足道的子弹击中一个巨人的要害，庞大的身躯一下坍塌下来。
仔细研究问题的所在，关键是自我引用。一个集合的成员，可以包含这个集合本身。
现实生活中我们也经常遇到自我引用，自我引用导致的结果就是无限循环。比如小时候听的那个永远讲不完的故事：从前有座山，山上有个庙，庙里有个和尚讲故事，讲得是从前有座山，山上有个庙，庙里有个和尚讲故事，讲得是……
另外如果我们把两面镜子相对放在一起，第一个镜子通过第二个镜子反射回来，从而形成自我嵌套，原则上可以反射出无限多的景象。
声音中的正反馈也是如此，把一个喇叭对着麦克风，喇叭把从麦克风输入的声音信号放大再反馈到麦克风去，形成正反馈就会发出极大刺耳的声音。
上面这些例子都属于自我引用，理论上都可以导致无穷。只是因为物理环境的限制，都还局限在有限之中。讲故事，无论故事结束与否，讲累了，就会停；喇叭虽然可以把输入信号放大，但它很快达到输出能量饱和，最后只是发出刺耳的噪音，不能发出无穷大的声响。因为物理环境的自我引用只是造成一些令人不安的现象，并不能真正突破从有限到无限的这个壁垒。
但数学不受物质环境的界限，一但出现自我引用，马上就会导出无穷这个概念。因而当我们进入无穷这个领域时，才发现许多我们在有限经验中培养出来的直觉，在这里都失效了，如果我们坚持那些直觉，不可避免地出现悖论。这其中也包括康德在《纯粹理性批判》中例举的那四个二律背反的例子。
(由镜面反射构造的无穷)
02
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补救的办法
为了避免集合中出现罗素悖论，人们开始研究补救方法。因为罗素悖论的起因就是自我引用，形成递归，但人们又不能完全抛弃递归，因为正是依据递归的原理，我们才构造出自然数。
想想看，自然数不是从1，2，3，一步步每一次把最大的一个自然数加一推出下一个自然数的吗？而且也正是自然数这个递归的特性，让我们构想出无穷大这个概念。所以数学家是无论如何也不肯能放弃自然数和构造自然数这个办法。因为自我引用是不可避免的，只是自我引用后一定要成为一个新的对象，除非无穷大。
康托尔最先提出的集合论，对如何构造集合没有给出任何限制，后来被称之为朴素集合论（naive set theory），为了避免集合中的悖论，人们开始给集合的构造增加种种限制。这些限制被称为公理，原因是没有办法证明这些限制的合理性。公理只是出于直觉，同时又不会导出自相矛盾的结果。
依照一组公理建立的集合论被称为公理化集合论。其中最常用的有ZF集合论，这个集合论包含八个公理，如果再加上一个选择公理就被称为ZFC集合，简称ZFC。除了ZFC外还有一套新基础集合论(NF)，也可以避免朴素集合论中间的悖论，不过没有ZFC影响大。
下面我们就简单介绍一下ZF集合论。
（什么样的超人可以拯救集合论）
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ZF集合
ZF全名策梅洛-弗兰克尔(Zermelo-Fraenkel)集合，这个名字太长，通常大家就称它为ZF。
说明一下，在ZF里面一个集合的任何成员也都是集合，这和朴素集合论不同，朴素集合论中的成员可能是集合，也可能不是集合。
ZF包括九条公理，如果要用数学语言介绍，就太过晦涩了，这里我争取用最通俗的语言简单描述一下。
外延公理，两个集合由同样的成员组成，则两个集合相等。（等于大白话）
空集公理，不含任何元素的集合是空集。（承认空集的合法性）
配对公理，任何两个集合可以作为两个成员组成一个集合。（非常实用的构成集合的方法）
并集公理，两个集合的并集是一个集合。
幂集公理，一个集合的所有子集可以组成一个集合。（第一个集合有三个元素，第二个集合就有2的三次方，就是8个元素）
无穷公理，这是一个用来构建自然数序列的公理，下面会专门介绍。
分类公理，一个集合的子集也是集合。（实用公理）
替代公理，一个函数作用在一个集合的成员上，其结果也是一个集合。
正则公理，也叫基础公理，说明任何一个集合都有最小成员，它和原来集合的交集是空集。这个公理用来限制一个集合成为自己的成员，也杜绝了罗素悖论，下面会专门介绍。
另外还有一个选择公理，如果ZF加上选择公理就变成ZFC，虽然不必要，但有些数学命题在选择公理下容易证明。
（ZFC是集合论的救星吗？）
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避免罗素悖论
建立ZF的目的是避免罗素悖论，其中特别重要的是正则公理。正则公理说任何一个非空集合X，存在一个成员Y，X和Y的交集是空集。
假设A是一个非空集合，并且A={A}，那么这个集合A的唯一成员就是A，而A和A的交集还是A，非空，违法了正则公理，所以A不可能是集合。
其实在前面介绍的9条公理中，公理2到公理8这七条公理涵盖了ZF所有集合构造方法。而任何由这七条构造方法构造出来的集合都满足正则公理，也不会造成罗素悖论。
ZF虽然避免了罗素悖论，但这九条公理再加上选择公理，要比欧几里得的平面几何的公理复杂太多。欧几里得几何只有五条公理，而其中最为复杂的平行公理还遭人怀疑，最后被拿掉而产生了非欧几何。
另外ZFC中间的许多公理要么太复杂，要么有些多余，所以ZFC并不能一统天下。下一集我们介绍更多关于ZFC，它的限制，以及其他的哲学思考。
（如何绕开罗素悖论）
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