集合论和逻辑推理 (IV) - 危机后的思考

表面上ZFC绕开了罗素悖论，还给数学一个脸面，然而事情远没有那么简单，猜疑的种子已经播下，数学家开始起了纷争，人们越来越怀疑理性的可靠性，再难返回古典时代的简洁和谐。

01

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无中生有与万物皆空

在我们深入探讨ZFC的局限性之前，先了解一些ZFC如何构造自然数。自然数是数学的基础，然而这个基础只有在有限时才让人放心，但自然数毫无疑义是无限的，因为显然无法找到一个最大的自然数。

ZFC要想承担集合论的重任，它必须可以构造出自然数，为此专门引入一条公理，称之为无穷公理。下面这句话比较绕口，需要慢慢品。任何一个集合，它与它自己当作一个成员所组成的集合的并集还是一个集合。这句话还是用数学公式表达容易一些。

A是一个集合，{A}也是一个集合（{...}表示一个集合，里面是它的成员，不同成员间用逗号分开），它里面只有一个成员就是A，则A与{A}的并集（数学表示是：A U {A}）也是一个集合。

有了这条公理，再加上空集公理，我们就可以构造自然数了。

自然数的第一个数是0，早期数学自然数不包括0，只有正整数，然而人们越来越发现缺了0的自然数非常不方便，最后就特批0为自然数。

0被定义为空集，写作0={}，下一步是构造1，这里就使用无穷公理，1=0U{0}。因为0是空集，所以1={0}也等于{{}}。下面我们写出头五个自然数的构造：

0={}

1={0}={{}}

2={0,1}={{},{{}}}

3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}

4={0,1,2,3}={{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}

.......

如何，这就是用集合论构建的自然数序列。符合老子的思想，无中生有，道生1，1生2，2生3，3生万物。什么是道呢？道原来就是空。也符合佛教思想，万物皆空，就是把一切东西不断剖析，剖析到最后就是一个空。

（道是什么，道原来就是空集）

02

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集合中的“良民”

ZFC绕开了罗素悖论，保持了一致性，就是避免了自相矛盾，为此要求一个集合不能是自己的成员，也就是没有自我反馈。然而如果只加一条限制，一个集合不能把自己当作自己的成员并不能真正解决问题。比如A，B是两个集合，其中A是B的成员，B又是A的成员，这同样也会引起矛盾。

为此它引入一个严格的等级制度，称之为良序。每一个集合都必须满足这个秩序，或者可以称它们为集合中的“良民”。

在良序要求下，所以每一集合都相当有一个等级。一个良民集合总比它的所有成员的等级都高。整个集合构成一个金字塔，上层的集合可以包含下层集合作为其成员，但反过来不可以。

如果我们把集合包含关系改写成批评，那就是上级可以批评下级，但下级不可以批评上级，当然也不可以自我批评，同级也不可以批评。如果现实生活也奉行这样的原则，是不是少了很多矛盾，但也缺少了变化发展的动力。

另外良序集合往上可以是无限的，往下则有限。就是说如果我们把集合理解成一个套娃，任何一个套娃，内层次数一定是有限的，一层层剥开，总可以剥到最后一层，里面是个空，但往外我们则可以套无数层，不受限制。

这种良民制度是不是太苛刻了，难道那些集合不会造反吗？

（套娃往外可以有无限层，但往内层数是有限的）

03

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无可奈何的“另类”

ZFC规定所有集合都必须是“良民”，就是满足良序要求，要有“良民证”。但富有自由思考精神的人类总会想出一些不符合良民要求，但又可以归在一块的一堆东西。当然我们不能管这堆东西叫做集合，因为它们没有良民证。比如所有集合，显然这不能是集合，因为如果它是集合，它自己就包含自己。于是我们把这种东西叫做“类”(class)。

有些类本身也是集合，实际任何一个集合都是一个类，但有些类不是集合，比如所有集合组成的类，这种不是集合的类被称之为“真类”，我怎么感觉是“真累”，让我想起地心说为了解释行星运动的不规则性而引入的所谓“本轮”。那个本轮的定义又复杂，又不自然，同样类的定义不仅含糊，而且勉强，让人感觉不是那么爽快。

（类和集合，无法协调一致）

04

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ZFC的局限

ZFC的局限，更准确的说法是ZFC的不完备性。也就是在ZFC基础下，有一些数学命题，我们无法证真，也无法证伪。

当然把那些都归结为ZFC的错恐怕也有失公允，因为那些命题恐怕本身就不可证。

这些无法证明的问题中最出名的一个就是连续统假设。连续统假设是希尔伯特在20世纪初提出的23个基本数学问题中的第一题。通俗地介绍这个问题就是所有自然数的个数我们叫A（数学上叫阿列夫零），所有实数的个数我们叫B（数学上叫阿列夫一）。

毫无疑问，A和B都是无穷大，但明显B比A要大，数学上可以证明这一点。问题是在A和B之间存在不存在一个数C，C比A大，比B小，但同时不等于A，也不等于B。连续统假设是不存在C。

最后的结果发现ZFC与连续统假设相互独立，也就是说永远无法用ZFC证明连续统假设的真和伪。

这个结论是不是很沮丧，面对一个数学命题，我们的数学基础却不能判断它的真伪，这是数学基础的问题，还是问题本身的问题……

（有一些问题，虽然有答案，但我们注定无法找到或者证明这个答案）

05

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数学的分歧

因为ZFC的诸多问题，人们也尝试其他解决途径，比如另一种理论称之为类型论(type theory)，在计算机科学里面比较流行，它和集合论一样，也可以定义构造自然数，不过内容比较繁杂，这里就先不介绍了。

然而最大的数学分歧不是这些独立发展起来彼此竞争的数学领域，而是思维方式的分歧。当然思维方式的分歧未必全部由罗素悖论造成，罗素悖论只是让矛盾显现的一个契机，矛盾产生的最根本还是对无穷的认识。如果我们把无穷定义为上帝，是不是可以认为矛盾的根本在于有神论和无神论之间的分歧呢。

当然数学家的分歧还是不同于神学家的分歧，数学家终究要照顾一个所谓理性的脸面。但问题是如何理解理性，这里就有两大分支，一类是形式化主义(formalism)，另一类是直觉主义(intuitionism)。

形式化由建立在符号系统上的各种运算来构成整个系统，它面对的是一个更加纯粹的思维产物。而直觉主义，顾名思义，是建立在由经验产生的直觉之上。在古典数学中，直觉和形式化很好地融合在一起，并没有产生分歧，也就是我们数学公式的结果总和我们的直觉相符，所以人们并没有意识到这种不同理性思维的差异。然而进入到无限世界，这两者的分歧越来越严重，不得不分道扬镳了。

当然直觉主义也在发展，包括前直觉主义，新直觉主义，超直觉主义，它们都属于更加广阔的构造主义。

这些问题比较复杂，已经超出本系列探讨的范围，将来我们再细细讨论。

（中间的灰色地带是经典数学，那时形式化主义和直觉主义可以融合在一起，然而随着对无穷的研究，两者的分歧也越来越难以调和）

06

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结论

在有限的物理世界中，建立在集合论上的逻辑可以很好地帮助人们得出一致并且正确的结论，然而当我们的对象变成无穷，探讨那虚无缥缈的至高存在或者主宰一切的绝对精神，无论是集合论，还是逻辑，甚至我们的理性，都显得那么苍白而无力。

（有限的人力真的可以认识无限吗？全文完）

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