数学的困境 (中）-- 尴尬的排中律

前文讲到在无限序列中，数学基本公理结合律和交换律失效的情况，下面在看看形式逻辑中的重要公理，排中律在无限系列中的尴尬情形。

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排中律

排中律是形式逻辑中三大规律之一，另外两个分别是同一律（也就是自己等于自己）和非矛盾律（一个命题和它的反命题不能同时为真）。

排中律的含义就是一个命题要么是真，要么是假，不可以骑墙，不存在第三种情况。

虽然排中律看起来简单，但用途很大，可以证明许多困难的数学命题。它的一个特别优势是可以在不构造一个数学对象的前提下证明这个数学对象的存在。怎么说呢，比如一个人的钱包丢了，虽然我们不知道谁是小偷，但从钱包丢失这个事实可以证明周围有一个小偷存在，就是这个道理。

下面我们介绍两个用排中律证明的数学命题，不需要太多数学知识，但有一点绕，读懂，想清楚应当可以防止老年痴呆，哈哈^_^。

（形式逻辑的三大定律）

02

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次方问题

第一个问题是存不存在两个无理数a和b(a，b可以相等，也可以不相等)，使得a^b是一个有理数。

如果我们可以找到两个无理数满足上述条件，那么我们就证明了这个命题，但这样一对数不太好找（其实也可以找到），但能不能在不找到这样一对数的情况下，证明上面的命题为真。

一个很技巧的方法就是使用排中法。我们先研究一下√2^√2 ，我们知道√2是无理数，但√2^√2是有理数还是无理数我们并不清楚。我们先假定√2^√2是有理数，如果它是有理数，那么前面的命题得证，因为我们找到一个无理数的无理数方次是有理数。如果√2^√2是无理数，同时√2也是无理数，根据：

(√2^√2 )^√2 = √2^{√2 x√2} = √2² = 2，

我们同样找到了一个无理数的无理数方次是个有理数。根据排中律，前面命题得证。

这个证明方法是不是很巧妙，因为它不需要我们知道√2^√2是否是无理数就可以完成命题的证明。

（√2，第一个被证明的无理数，是个让人又爱，又恨的小可爱）

03

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必胜策略

许多复杂的博弈游戏，因为太复杂，很难判断是否有必胜策略。比如说围棋，先走的人占有目数优势，为了抵消这种优势，先行的人需要贴目，就是要还给后走的人一定目数。为了避免和棋，通常是贴5目半或者6目半。现在一般是贴6目半。

因为游戏的设置避免了和棋，那么必然有一方会有必胜的策略，或许是先行的一方，或许是后行的一方。现在我们还不知道，不过根据职业棋手和计算机AI的高水平对局，在贴6目半的规则下，围棋后行的一方胜率更高一些。虽然不能百分之百确定，但很有可能围棋的后行者有必胜策略，但围棋太复杂，目前还无法证明后行者是否有必胜策略，更不要期望找到这个策略了。

但一些简单游戏则不同，我们可以证明它是否存在必胜策略。下面介绍一个两人博弈游戏。从1到100共有100个正整数，两人轮流从这一百个数中间挑选一个数写在黑板上，条件是后面挑选的数不能是前面挑选过数的因子。

比如我先在黑板上写一个10，对方则不可以挑选1、2、5、10这四个数，因为这4个数都是10的因子。假如对方写一个9，那么第二轮，我就不可以挑选1、2、3、5、9、10这6个数，当然剩下的选择还很多，比如我可以写一个11等等。

双方如此交替反复，直到有一个人再也找不到一个数可以写在黑板上，那么这个人就输了。

对于这个游戏，先行的人（写第一个数字的人）有没有一个必胜的策略呢？答案是有。证明过程如下：

先把游戏规则略微改变，把选数的范围改到从2到100这99个数中选择数字，其他规则不变，问先行者存不存在必胜的策略。假设存在一个必胜策略，那么这个策略就可以直接用到开始的游戏中去。原因是这个必胜策略，无论第一个数选择哪一个，首先它肯定不是1，其次把它写到黑板上后，1也不能够被挑选，因为1是任何数的因子，所以这个策略依然是必胜策略。

假设从2到100中挑选数字的先行者不存在必胜策略，那就意味着后行者有必胜策略，那么先行者只需要挑选1作为第一个数字，就等于把从2到100中挑数这个游戏让给对方先行，自己作为从2到100挑数的后行者，根据假设就有必胜策略。

根据排中律，证明一定存在先行必胜的策略。

怎么样，虽然有点绕，这个证明是不是让人拍案叫绝。实在看不懂也没关系。关键是理解我们可以在不找到先行必胜策略的前提下，证明这一策略的存在。排中律是不是很了不起。

（排中律在博弈论中很受欢迎啊）

03

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上帝全能否

前面两个例子表现排中律的伟大，然而排中律也有犯难的时候。我们看看这个常见质疑上帝全能性的一个悖论：上帝能否造一块祂自己也搬不动的石头。面对这个问题，无论回答是或者否都否定了上帝的全能，于是就证明上帝不可能全能。然而这个证明合法吗？

我们把这个命题改写一下，看看它的问题所在。第一句，上帝力大无穷，无论多重的石头，祂都可以搬动。第二句，上帝创造力无限，无论面对多大的力量，祂都可以造一块石头，让那个力量无法撼动这个石头。

变成两句话后是不是发现似曾相识。这和中国古代矛盾的寓言同出一辙，只不过把盾牌换成石头，长矛换成力量而已。

这个问题还可以进一步简化，把力量定义为奇数，把石头定义成偶数。然后比较这两个数的大小，如果奇数大，说明力量可以搬动石头，如果偶数大，说明力量搬不动石头。

那么上帝是什么，上帝就是最大的整数，如果最大的整数是偶数，那么所有奇数都比它小，就意味着上帝可以造出一块石头，让所有的力都无法搬动它。如果最大的整数是奇数，比所有偶数都大，就意味着上帝可以搬动任何一块石头。

然而虽然任何一个整数，不是偶数，就是奇数，排中律成立。但最大的整数是偶数还是奇数？没有人能回答这个问题。在这里我们发现排中律面对无限大时，无法自圆其说，所以失效了。

（这个逻辑悖论，实际表现排中律的局限性）

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