数学的困境 (中II）-- 比无穷多还要多

汉语中形容多的成语有不计其数，数不胜数，字面上是形容多得数不过来，但实际上它们形容的对象往往是有限的。数学中用可数集表示一个集合里成员的个数是可数的，但不要被这个名词欺骗，它其实意味着成员的个数是无限多。

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自然数有多少？

人们常用海边的沙，天空的星来比喻很多。然而海边的沙再多，数量终究是有限的，而天上的星，按照现在天文学理论，虽然宇宙非常大，但人类可见的宇宙是有限的，这就意味着天上的星，无论人类用什么望远镜去观测，数量同样是有限的。

相比之下，自然数是无限的。1，2，3，往下数，永远都数不完。所以自然数的个数要比海边的沙，天空的星多得多。其实不要说沙和星，即使人类认识的宇宙的全部基本粒子的数目加起来，依然是个有限的个数，同样无法和自然数的个数相比。

然而在数学家眼里，自然数的个数只是无穷大中最小的一个。和后面更大的无穷大相比，它是一个毫不起眼的小弟弟。

他们称自然数是可数的，所有自然数构成的一个集合被称为可数集。他们把自然数的个数记作ℵ₀，中文名字是阿列夫零。下面我们看看这个神秘的ℵ₀有什么特点。

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老少通吃的ℵ₀

ℵ₀定义为自然数集合的成员个数，如果我们把自然数集合里面再加几个成员，或者减少几个成员，那么这个集合的个数不就变了吗，是不是可以构造出比ℵ₀大或者小的无穷多呢？

然而根据康托尔的形式化证明，这样通常的做法行不通。比如我们考虑所有偶数的集合。因为偶数是自然数的一部分，自然数中除了偶数之外，还有奇数，根据直觉偶数数量应该是自然数数量的一半。所以自然数集合的大小（成员的个数）应该是整数集合的一半。

但集合论比较两个无穷集合成员多少的办法是建立映射关系。如果两个集合可以建立一一映射，即任何一个集合中的任何一个成员都可以唯一对应到对方集合的一个成员，没有重复，也没有，那么就认为这两个集合的成员一样多。

我们让自然数集合里的任意一个数n，映射到偶数集合的2n（见下图），显然，这是一种一一映射关系。

（可以建立自然数集合与偶数集合的一一映射关系，所以两个集合的成员个数一样多）

这样我们证明了ℵ₀=ℵ₀/2。实际上，很容易证明对任何自然数n，有下列等式成立：ℵ₀=n × ℵ₀ ，ℵ₀=n + ℵ_0。

下面我们在比较一下自然数的个数和有理数的个数。一个有理数可以表示成两个自然数的比值，也就意味着一个有理数可以对应两个自然数，根据直觉，有理数的个数应该是自然数的个数的平方，也就是(ℵ₀)²。原则上应该比ℵ₀大许多。可是奇妙的是数学家康托尔又找到一种方法建立起自然数集合和有理数集合的一一映射，这就意味着有理数的个数和自然数的个数也是一样多的（见下图）。

（上图是一种有理数一一映射到自然数的方法）

这就意味着 ℵ₀= (ℵ₀)²，实际上，对任何自然数n，都有ℵ₀ = (ℵ₀)ⁿ。那么有什么办法可以找到比ℵ₀更大的无穷多呢。

(Cantor Set)

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不可数集合

前面提到自然数集合是可数集，实际上任何和自然数数目一样多的集合都被称为可数集，比如所有偶数集合，所有自然数集合，它们都属于可数集。那么有没有比可数集更大的集合呢？有，那就是不可数集。

最常见的不可数集是所有实数的集合。我们知道实数包含有理数和无理数，其实所有无理数集合也是不可数集。那么如何证明实数集合比自然数集合大呢？方法就是证明无法找到一个从自然数到实数的一一映射。证明这个需要使用康托尔发明的对角线证明法，这个方法虽然不复杂，但却非常有技巧，可以认为是数学中最漂亮的证明之一。我们先看下图：

假设存在一个从所有自然数到实数的一个一一映射，那我们可以把这个映射全部列出，假设如上图所示。

实数中包括无理数，所谓无理数就是无限不循环小数。那么我们可以对应图的映射关系，构造这样一个无理数，它小数点后第一位的值不等于自然数1对应的那个实数小数点后第一位的值。在我们的例子中是8，也就是我们找到的这个实数的小数点后第一位不等于8。

然后我们让这个实数的小数点后第二位不等于自然数2对应的那个实数的小数点后第二位，也就是5。如此一直递推，其参考就如上图对角线的红色数字。

这样我们就构造出的一个无理数，下面证明这个无理数不可能在我们这个列表中。假设它在列表的第k位，和自然数k相对应，然而根据我们构造这个数的方法，它小数点后的第k位不等于k对应的那个实数的小数点后的第k位，因而假设不成立。结论就是存在无法列入映射的实数，也就是说所有实数的个数比所有自然数的个数多。所有实数的个数被定义为ℵ₁。数学家认为ℵ₁=2^ℵ0，并且根据相同原理还可以构造出ℵ₂ , ℵ₃, ℵ₄。。。只是这些数太大了，实在想象不出来可以用它们计算什么概念。

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无穷带来的分歧

康托尔聪明的方法论证了实数集合是不可数集合，在这个形式之上又构建了更多更大的数，但这些是真有意义的存在，还是纯粹文字游戏的产物。数学家对此也产生了矛盾。

重要的一点，面对不可数集合如此众多的成员，绝大部分我们不仅无法构建，甚至都无法命名。原因在于人类可以用的名字数量是可数的，如果对象多得不可数，那么注定它们的绝大部分无法命名，当然就更不能指望被了解，被构造了。

如果不能构造，不能命名，那么它们还存在吗？如果不存在，研究的到底是什么？

形式化系统的数学，表面上给了数学家最大的自由，他们可以随心所欲地构建自己的理性王国，完全不用顾虑物质化宇宙的限制。然而这个自由需要付出什么样的代价呢？我们下集分晓。

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