15分钟理解KD树

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1. 概述

KD树是一种查询索引结构，广泛应用于数据库索引中。从概念的角度讲，它是一种高纬数据的快速查询结构，本文首先介绍1维数据的索引查询，然后介绍2维KD树的创建和查询，相关定理和推论也简单列出，本文争取用15分钟的时间，让大家快速理解KD树。

2. 一维数据的查询

假设在数据库的表格T中存储了学生的语文成绩chinese、数学成绩math、英语成绩english，如果要查询语文成绩介于30～93分的学生，如何处理？假设学生数量为N，如果顺序查询，则其时间复杂度为O(N)，当学生规模很大时，其效率显然很低，如果使用平衡二叉树，则其时间复杂度为O(logN)，能极大地提高查询效率。平衡二叉树示意图为：

图1：平衡二叉树示意图

对于一维数据的查询，使用平衡二叉树建立索引即可。如果现在将查询条件变为：语文成绩介于30～93，数学成绩介于30～90，又该如何处理呢？

如果分别使用平衡二叉树对语文成绩和数学成绩建立索引，则需要先在语文成绩中查询得到集合S₁，再在数学成绩中查询得到集合S₂，然后计算S₁和S₂的交集，若|S₁|=m,|S₂|=n，则其时间复杂度为O(m*n)，有没有更好的办法呢？

3. KD树

针对多维数据索引，是否也存在类似的一维的索引方法呢？先看2维数据的集合示意图：

图2: 2维数据示意图

如果先根据语文成绩，将所有人的成绩分成两半，其中一半的语文成绩<=c₁，另一半的语文成绩>c₁，分别得到集合S₁,S₂;然后针对S₁，根据数学成绩分为两半，其中一半的数学成绩<=m₁,另一半的数学成绩>m₁，分别得到S₃,S₄，针对S₂，根据数学成绩分为两半，其中一半的数学成绩<=m₂,另一半的数学成绩>m₂，分别得到S₅,S₆；再根据语文成绩分别对S₃,S₄，S₅,S₆继续执行类似划分得到更小的集合，然后再在更小的集合上根据数学成绩继续,...

上面描述的就是构建KD树的基本思路，其构建后的KD树如下图所示：

图3: KD树示意图

如图所示，l1左边都是语文成绩低于45分，l1右边都是语文成绩高于45分的；l2下方都是语文成绩低于45分且数学成绩低于50分的，l2上方都是语文成绩低于45分且数学成绩高于50分的，后面以此类推。下面的图示，更清晰地表示了KD树的结构及其对应的二叉树：

图4: KD树及对应的二叉树

在了解了KD树的基本原理后，剩下的工作就是如何构建KD树以及如何在KD树上查询了。

3.1 KD树构建算法

相对而言，构建KD树是针对高维数据，需要针对每一维都进行二分，针对二维数据的KD树构建算法如下图5所示：

图5:KD树构建算法

其中的P表示待构建的元素集合，depth表示当前是KD树的第几层，如果depth是偶数，通过纵向线对集合进行划分；如果depth是奇数，通过横向线进行划分（3～5行）；第6、7行递归进行KD树中子树的构建。

图5中的算法时间复杂度为：O(nlogn)，感兴趣的同学可以写出递推公式公式进行推导，算法导论中专门讲了这个递推公式。

3.2 KD树查询算法

在构建了KD树的基础上，如何进行查询其实是一个相对简单的问题了，在这里需要注意的是，在KD树中每一层划分所依据的是哪一维的数据，其它的根二叉树其实没有差别。KD树查询算法如下图所示：

图6: 查询算法

图6中算法的v表示KD树中当前搜索的子树，R表示是一个高维数据的区域，区域的概念如图7所示：

图7: 区域示意图

如果v是叶子结点且属于区域R，则直接返回（第1行）；如果v是非叶子结点，则比较R与v的左子树lc(v)是否有交集，如果有且lc(v)完全被R覆盖，则lc(v)是所查询结果的一部分，如果不是完全覆盖，则递归查询lc(v)(3_{6行)；对右子树也是类似的操作（7}10）。算法的时间复杂度为：O(sqrt(n) + k)，其中k是最后的结果中元素的个数，其递推公式公式为：

图8: KD树查询递推公式

上述算法中的二维也可升级为3维，其思维方式与从1维升级到2维一致，相应的构建算法和查询算法也与2维的一致，感兴趣的童鞋可以分析相应算法的时间复杂度。

4. 小结

本文以从1维数据索引跳变到2维数据索引的方式，引出了KD树，并介绍了KD树的构建与索引查询算法。KD树主要应用在高维数据索引，特别是空间数据库的索引，x和y分别表示经度和纬度，能较好的处理空间上的查询效率问题，如果在x和y再加一个时间维度，也能较好地处理时空数据索引查询。

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