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《算法在儒匠之间：应县木塔平面丈尺假说续论》一文是作者团队对应县木塔尺度研究的又一阶段性成果， 通过对木塔的精细测绘，反思并从新的视角讨论了应县木塔八边形平面可能的设计方法——尤其是通过对铺作层的精细测绘，发现木塔八面面阔数值十分接近，与既往通过柱头平面数据（受变形影响较大）所反映的面阔数值相差较大的结果有着显著差别，直接启发了作者对于木塔八边形设计方法的探讨。
算法在儒匠之间：应县木塔平面丈尺假说续论
Algorithm Toned by the Learned and the Craftspeople: Re-interpreting the Hypothesis about the Dimensional Design of the Plan of Shakyamuni Pagoda， Ying County， Shanxi Province
刘畅 李大卫 李泽辉 赵寿堂LIU Chang，LI Dawei，LI Zehui，ZHAO Shoutang朱启钤先生在《中国营造学社缘起》中提出的“学社使命”第一条“沟通儒匠、浚发智巧”暗合北宋李诫《营造法式》中“考究经史群书，并勒人匠逐一讲说”。那么，聚焦到本文所关注的《营造法式》“看详”中“八棱” 取法、算法的解说则直接对应朱启钤在《中国营造学社缘起》“沟通儒匠、浚发智巧”具体化之五点中的两点—— “讲求李书读法用法”和“访问大木匠师、各作名工及工部老吏、样房算房专家”，需要用“儒”的理性探究和衬托“匠”的实用性。以此为出发点，本文选择山西应县佛宫寺释迦塔的八边形平面设计和建立在八边形算法基础上的细部引申算法的运用为研究对象，尝试拓展张十庆先生《〈营造法式〉八棱模式与应县木塔的尺度设计》中的解读，并尝试辅助验证笔者团队已发表假说（以下简称“清华假说”）。张十庆先生在2009 年选取应县木塔的八边形平面设计为研究对象，希望能够“尽量贴近和吻合当时工匠的思维特点和设计思路”，这无疑是一种“沟通儒匠”的尝试。笔者以为，张先生的尝试大致可以分为“原则”和“应用” 两个部分。“原则”部分的重要结论主要有以下几点：1）《营造法式·看详》“取径围”中……八棱径六十， 每面二十有五，其斜六十有五……正是宋代通行的正八边形比例构成和取值方法。2）应县木塔是与《营造法式》相近时期八棱平面最典型和重要的实例，相信木塔八棱平面设计的比例构成亦是采用传统的八棱模式方法。3）应县木塔八棱平面实测的径边比值不是2.4 倍关系而是接近于2.414，此或说明了在以传统八棱模式粗定地盘尺度后再进行调整以减少误差的结果。而在“应用”层面，张先生利用陈明达先生《应县木塔》所公布的数据，具体提出了一套木塔平面丈尺设计的数据关系：1）应县木塔……诸层中第三层的尺度数值最为简洁， 全部为整数尺或1/2尺为单位，其外径72尺（实测2130厘米，柱头尺寸，下同），外面阔30尺（883厘米），心间13尺（381厘米），次间8.5尺（251厘米），内径42尺（1242厘米），内面阔17.5尺（514厘米），槽深15尺（444厘米）……各层直径和面阔分别以3.6尺与1.5尺递增减。2）推测木塔的设计过程大致有如下三大步骤：①从基准方形到基准八棱；②从基准八棱到各层八棱；③从地盘设计到侧样设计。对于张十庆先生的解读，笔者最大的疑惑在于——相较应县木塔体量巨大的正八边形平面，《营造法式》的八棱算法精度是不是过于粗放呢？简单地做一个计算：木塔副阶之内的底层塔身柱头平面八边形边长——即每面面阔——大致为9.5至9.6米之间。若以八棱口诀计算，虽然“传统八棱模式的误差（直径/ 边长）约为0.58%”，但是八面中斜面与正面比率为0.99——即若严格依此计算，在木塔底层塔身柱头平面上，
斜面面阔比正面面阔约短10 厘米。这是“差一寸不用问” 的木匠师傅必须要问一问的事了。笔者认为，在这种尺度条件下的营造实践需要考虑首先确定边长还是首先确定直径——二者之间存在绝对不能忽视的工料误差。或者应当进一步谨慎开展以下几个问题的探讨：2）是否存在八棱口诀的适用范围、算法的引申和应用场景的变换？3）借助木作操作精度的思路，是否可以大致推测得出木塔平面设计中尺度设定的次序？本研究的终极目标与张十庆先生所探索的“存在于技术背后的潜在观念与隐在秩序”“儒匠之间略倾向于儒”的解读不同，而是具体操作中的“小聪明”，是匠师雕虫小技的算法支撑，核心则是笔者希望这种起于微观之处的假说能获得多角度的推敲，更加贴近实证。作为古代手工实践的产物，应县木塔的设计精度及其背后支撑此精度的技术方法便是这个实践问题的两个方面。正如这张木塔五层柱头铺作里转细部照片所示（图1），斗在进深方向上略显“随意”的错位开口，反映的恰恰就是设计精度—工艺精度—工艺容错—精度实现的过程。因此， 探究木塔设计精度是复杂的问题，也是其他问题认知的起点；具体到本文的关切点，就是先要确定八棱口诀在边长差异上的百分之一的误差水平对于木塔设计和施工者而言是不是可以接受。张十庆先生讨论木塔设计精度采用的是“木塔直径与边长的比例关系”。然而在细节讨论上，对比木塔各层数据分析——直径数据/ 边长均值，传统八棱模式的径边比并非60/25=2.4，而是60/（25/2+24.75/2）≈2.412。尽管张先生此处的讨论存在瑕疵，但八棱口诀和精确八边形之间的精度差异却是实实在在的实践挑战。迄今，有4组公开的数据成果：其一，20世纪90年代初任职北京建筑工程学院的王贵祥教授主持完成测绘成果图一套（以下简称“北测”），惜数据分析表遗失；其二，2000年山西省古建筑保护研究所借助“北测”在每层明层地面所留标准正八边形白线完成的完整手工测绘成果（以下简称“山测”）；其三，2011年中国文化遗产研究院取得的复核测绘数据（以下简称“中测1”），惜刊行数据清晰度不高，社会读者难以做出全面准确的数据辨识；其四，2015—2020年中国文化遗产研究院基于全站仪的木塔各明层柱头变形监测系统取得的数据（以下简称“中测2”）， 使用全站仪、水准仪及棱镜等，棱镜3个一组，主要布置在内外槽柱头、柱脚部位同一水平面上，其拟合圆周中心认定为立柱的轴心。四者之中，“中测2”精度最高。但是，现有监测以柱头柱脚相对位置变化为主要对象，而柱心之间的相对距离及八边形平面尺度数据均未公开；同时，虽然中国文化遗产研究院、天津大学、内蒙古工业大学、清华大学等单位曾经利用三维激光扫描仪等设备开展过木塔数据采集，但是“中测2”成果中暂时缺乏结合扫描数据的拓展，没有针对铺作层在各层柱间两端形变的过渡情况进行探查。鉴于木作柱头平面的关键作用和现有柱头平面数据情况，探求木塔各面面阔实测值误差状况、探讨径边比率， 是确定木塔八边形平面精确性的要点。无论原始施工精度、木塔各层立柱种种变形现象等因素如何影响柱头各开间尺度，现今的实测数据整理工作也是必不可少的第一步。兹汇总“北测”“山测”各明层柱头数据见表1和表2，已经能够定性反映木塔八面数据离散情况。表1 “北测”各明层柱头平面面阔数据整理（单位：毫米）表2 “山测”各明层柱头平面面阔数据整理（单位：毫米）二表中各层面阔实测值离散，最大最小值差距显著，
标准差不乏接近或超过100 毫米者，最大者达到215 毫米；同时，数据分布规律并未显示出八边形正面、斜面系统差异，即未反映出直接照搬八棱算法的现象。需要说明的是，在木塔整体结构中，木塔各明层立柱属于“柔性连接层”。这堪称一把双刃剑——柔性层既是其抗震能力的灵魂所在，也是今天累积大幅变形的病灶所在。于是，着重测量并分析刚性的铺作层便是逆向推导木塔平面丈尺设计的优选手段——对于垂直方向上横置木材的形变问题则须另文讨论。以此为出发点，笔者团队于2021年首先着手在木塔二层明层利用Faro Focus S350三维激光扫描仪对木塔二层明层外廊及内外槽分别进行扫描，取得70站数据（图2）（以下简称“清扫”）。进而使用Faro
Scene软件拼合分站数据， 形成点云模型，软件报告所示的拼站误差在8毫米以下（其中内廊拼接误差在2毫米以下）。在这个点云模型的基础上，笔者团队得以在铺作层的不同高度上剖切，分别取得栌斗、乳栿和令栱层的点云切片，并据此在该层上量取通过铺作层所得各面各开间尺度对应数据（图3～图5）。汇总各图点云量取值见表3～表5。图2 清华大学2021年应县木塔二层明层三维激光扫描布站图表3 “清扫”二层明层栌斗层三维点云各开间面阔量取数据一览 （单位：毫米）
表4 “清扫”二层明层乳栿层三维点云各开间面阔量取数据一览 （单位：毫米）
表5 “清扫”二层明层令栱层三维点云各开间面阔量取数据一览 （单位：毫米）
从表3到表5的数据变化趋势可以看出，从栌斗到令栱层，高刚性的铺作层受到立柱层形变的影响逐渐减弱。至令栱一层，虽然又更多地受到了上方平坐柱层的影响， 但是其各面面阔测值分布则最为均一，通面阔标准差最低， 计算值不足15毫米。面对如此高的边长均一程度，拟合八边形圆周的误差已经非常微小，“径边比”的计算基本失去了验证的功效。不妨依旧统计铺作中自下而上的三个构造层“面到面”的“八方径”数据，并计算各层“径边比”，分别得到2.419、2.4183、2.418，与标准“径边比”差距微小且呈递进接近的趋势。梳理上述工作，尽管仍然无法确凿证明木塔平面的正八边形设计，但是针对二层铺作局部的三维激光扫描数据分析结论暗示了这种可能性的存在。从测绘方法上讲，这个运用三维扫描数据的小发现不仅意味着木塔原始平面设计更可能是从一种高精度的八边形入手，还提出了一个提升木塔平面丈尺设计研究精度的有效技术手段，进而也意味着下一步开展塔身明层和平坐各层铺作点云数据采集和分析的重要性。上文中关于木塔设计精度的推论引发出对匠人设计方法的讨论。在建筑室内藻井等尺度较小的案例中，计算精度或更直接地反映在施工结果上，但对于理解大尺度建筑的几何—算术模式的运用而言，则还需要建立在理解设计和施工过程的基础上。这个基础或者不应仅仅局限于对匠人有哪些口诀的追问，也应包括那些简单易行的实现八边形制图的操作方法。中国古代匠人不会拘泥于纯然欧几里得“外儒”式的尺规制图规则，其间最大的差别在于对基础要素的取值。或许可以想象一下工程过程和需要，还原古代匠作工作场景。八边形平面建筑最基本的预设条件有两种：侧重工料者给定每面面阔，侧重用地者给定控制正方形边长——即八棱口诀中之“径”。第一个需要咀嚼的问题是，无论从哪个基本取值出发， 匠人总要落实到直接决定物料短长的每面面阔上。在已知用地正方形边长的情况下，利用八棱口诀便可以迅速估算出每面面阔，而不必繁琐地求助于精度更高的口诀——诸如“八角，每面求角至角用二六一二扣。每面求面对面用二四一四扣。每面求三角至三角用一八四七扣。每面求角至中用一三空六扣。每面求面至中用一二空七扣……八角， 斜有每面正宽若干用一空八二因，搭角斜用一四一四因”之类。一旦估算出每面面阔，便可以绘制出标准的正八边形；而这个标准正八边形的“径”与原来用地正方形边长之间存在差异。笔者倾向于认为，无论主人还是匠人，都是完全可以接受这种差异的。联想古代施工条件，不仅要考虑到匠人的工作原理，
甚至需要考虑到他们很可能是需要回避使用圆规的。匠人可能采用的方法是多样的，在此可以推荐一种只需量取面阔的简明方案（图6）：3）与正向十字方位线平行，量取面阔值，绘制正向面阔轴线。4）连接正向面阔轴线对角交点，画定斜向十字方位线。5）与斜向十字方位线平行，量取面阔值，绘制斜向面阔轴线。上述方案的优势在于，它需要采用的方法只有画平行/ 垂直线和量取，需要使用的工具只有矩尺和丈杆。这个方案的劣势在于，步骤略显繁复，而且只有到了制图、放样的最后一步才能确定八边形的顶点和各边。可见这一方案的最佳应用场景是确立基础八边形，而非需要迅速确定边界位置的场合，因此不会被匠人用来反复操作绘制难以计数的每个构造层。至于基于基准八边形向外或向内缩放的简便方案，则须利用更加简明的近似算法，以满足面阔方向差异、缩放取值变化和对角线方向变化三者的便捷估值。正如下文即将讨论的，这个算法并非八棱口诀自身，但却实实在在的是八棱口诀的引申。李诫在《营造法式》“看详”中“谨按《九章算经》及约斜长等密率”定出的比例算法“八棱径六十，每面二十有五，其斜六十有五”之中八角正面、径、斜三者为25、60和65，正好构成了一组5∶12∶13的勾股数，每面长与“径、面差之半”的比率为1.42857，与真值存在1% 的误差。这个勾股数三角形还有另外的“深意”：这一比率实际给定了四分之一直角的三角函数值，以正切值为例，为5/12，与真值相比，误差0.59%；正切值5/12 对应角度约计22.62°，与四分之一直角相比，误差0.12˚。进而如果借助一些前提条件——比如将这个近似角度与既有标准正方形或正八边形结合起来使用，则可以使几何原型与度量值之间的匹配更加简明而精确——从“儒”的视角观之，化大为小提高精度的方法也存在数理上的意义，其价值或许超过了八棱口诀本身。利用基础正方形的案例有四川平武报恩寺碑亭。报恩寺位于平武老县城，始建于明正统五年（1440），建成于正统十一年（1446）。内有碑亭一对，形式相同，位于后院，两侧分列。亭下层施十六柱，平面正方形，中间的四柱上升，支撑上层正八边形屋顶。上层屋顶造型尤其独特， 采用翼角朝向各个正立面的方式，并非常见的正方形抹去四角的形式，为笔者所见孤例（图7）。碑亭上层八边形设计从几何上讲是由一正一斜两个正方形相嵌而成的（图8）。对于匠人而言，此八边形平面制作简单，但八边形边长取值畸零，与构成正方形边长之比为1∶2cos22.5°。借助引申八棱口诀得到的四分之一直角三角函数近似比例，则可轻松推知这个比例为13∶24。具体而言，在此碑亭中，上层八边形相间顶点构成的正方形边长12尺，八边形边长高精度取值为6.49435尺，简明估值6.5尺，其间误差约合1.8 毫米，古代木匠完全可以忽略不计。图8 四川平武报恩寺碑亭木构上层八边形做法仰视平面图利用基础八边形的案例中最具代表性的理应是应县木塔一类的复杂结构。设若已有正八边形平面径围若干，并须在此基础上缩放同心八边形。可以在缩放图形各个角部绘出由四分之一直角决定的递进三角形，新八边形边长的误差则取决于递进三角形的精度和大小——精度就是八棱引申算法之于四分之一直角的正切值之差异。同时，缩放程度越大递进三角形越大，误差也就越大（图9）。若木匠对于八边形面阔的最大允许误差是1 寸，则每面两端递进三角形短边边长最大允许误差便是0.5寸，比较5/12与tan22.5° 之差，逆推可得每面进深方向最大允许缩放值为二丈零三寸八分。换言之，在这个木匠的头脑中，
八棱引申口诀不仅可以适用于计算斗栱出跳等细部尺度， 也可以应用于设计间距高达2 丈的屋架、廊深等大尺度结构之上的。总体来看，与最基本的八棱口诀相比，由这个口诀引申出来的四分之一直角三角函数约数组具有更广泛的适用性，或许正是当年儒匠的解决问题之道。前文的讨论为接下来落实到“清华假说”的反思和验证工作提供了两个基本前提：一、木塔平面设计基于标准正八边形展开；二、进一步的尺度设计使用的是八棱引申算法。带着这样的“预设”重新审视笔者团队既有假说和既有验证这个假说的尝试，可以进一步整理假说之初尚未明晰的思路。1）对于木塔双层八边形的平面结构，基本尺度是由几个数据构成？2）木塔各层平面尺度递减，其中是否存在某一层，尺度最为简洁完美并作为其他各层递变的参照？关于基本尺度问题，回答相对简单：基本尺度有三， 分别是外槽面阔、内槽面阔和廊深。至于标准层问题，则非常复杂。现有代表性观点包括傅熹年先生的观点，各层面宽以三层面宽30 尺为基准，其下两层各递增0.15尺，其上两层各递减0.14 尺，即一层至五层明层面阔复原值依次为：33尺、31.5尺、30尺、28.6尺、27.2尺。以及张十庆先生的三层面阔3丈的说法， 各层面阔差为1.5尺，分别复原为33尺、31.5尺、30尺、28.5尺、27尺。考虑到基本尺度不仅是外槽面阔一项，研究思路于是变得综合起来。纳入上文中的前提分析，笔者推荐的思考方法如下：1）若外廊廊深计算确实采用八棱引申算法，便于计算起见，匠人可能将廊深取值定为1.2 尺的简明倍数；同时， 鉴于廊深尺度较大，为了避免累积误差影响施工，匠人很可能使用精确的八边形算法，使得廊深取值为畸零尺度；对此的验证需要更加精确的逐层实测数据。2）同理，外槽面阔与内槽面阔差值取为2×0.5尺的简明倍数，即多为整数尺。3）内槽面阔层间小幅缩减为侧脚所致；五层处的显著缩减反映匠人针对五层的特殊设计。4）此外，不排除匠人认定某层外槽面阔为标准层，特征为用尺数规整。以此观之，“清华假说”中的以下要点正与此相合；从算法便捷的角度來看，假说成立（图10）：1）现有测绘数据指向木塔明层廊深自一层至五层（柱头平面）分别为：16.8尺、15.6尺、14.4尺、13.2尺、12.6尺；考虑到此说涉及误差达到数厘米，须补充实测验证。2）木塔明层外槽面阔自一层至五层（柱头平面）依次为：31.2 尺、30 尺、28.8 尺、27.6 尺、26 尺。3）木塔明层内槽面阔自一层至五层（柱头平面）分别为：17.2 尺、17 尺、16.8 尺、16.6 尺、15.5 尺。5）木塔层间缩减幅度反映仅于五层平坐处做出调整以实现塔顶特殊做法。接续以上设计过程，第二步工作是确定木塔各层开间尺度。特别之处在于，木塔中细化开间的考虑因素与常规的单层殿宇不同，而是受到了各层基本尺度范围、内外槽对应、明层和平坐对应等一系列因素的制约。层间明间开间小幅缩减，为侧脚所致；侧脚的工程实现方法有待勘察验证。层间明间开间显著缩减，为特殊构造设计所致。为了保证廊内乳栿、角乳栿在内槽柱头铺作处不相犯，外槽次间开间- 内外槽面阔差之半＝内槽转角铺作斜出之长边投影，当避免此取值在不同层之间变化剧烈而导致新的构造设计。无论为了施工方便，还是考虑到误差小于当时的木作加工精度，斗栱出跳值、立柱侧脚计算值等细节尺度均可在基准八边形基础上采用八棱引申算法求得。以上因素直接表现在木塔外观上，“清华假说”中注意到了二层明间和三层明间之间的显著差异，并针对性地进行了解释，是其他现有木塔平面设计解读所未及。重申“清华假说”相关要点如下：1）木塔各明层明间面阔（柱头平面）自下而上分别为13.8 尺、13.6 尺、12.4 尺、12.2 尺、12 尺。2）木塔各明层次间面阔（柱头平面）自下而上分别为8.7 尺、8.2 尺、8.2 尺、7.7 尺、7 尺；相应各明层内外槽面阔差之半分别为7 尺、6.5 尺、6 尺、5.5 尺、5.25 尺；相应内槽转角铺作斜出之长边投影分别为1.7 尺、1.7 尺、2.2尺、2.2 尺、1.75 尺。3）木塔各明层外槽面阔（柱头平面）自下而上分别为31.2 尺、30 尺、28.8 尺、27.6 尺、26 尺；相应各明层外槽面阔逐层递收为1.2 尺、1.2 尺、1.2 尺、1.6 尺。显然，上文的分析尚未直接解答平坐层对于其下明层的内收尺度和明层、平坐层的侧脚。对此，“清华假说”中的观点是：“木塔明层立柱均有侧脚，二至四层侧脚1 寸；平坐立柱，除四层外，各层均有侧脚”。现状观察可见各层平坐柱均存在内倾趋势，须对假说做出修正。鉴于平坐层柱头平面形变的复杂性，且尚未开展针对高刚性的平坐铺作层的详细三维激光扫描补测工作，加之八边形平面中侧脚的特点尚有解说的必要，笔者认为应当先行在此明确以下几个问题。第一个问题是认识的基础，是一般矩形平面建筑的侧脚方向问题。现有关于侧脚的研究存在一些对于“柱首微收”的方向、正面和侧面侧脚大小差别意义的不同认识——正面侧脚是沿进深方向还是面阔方向？是不是每根外槽柱都有两个方向的侧脚？为什么还要单独提出“至角柱，其柱首相向各依本法”？这个问题需要结合大量案例才能最终解决，而且不能排除侧脚设计的多样性问题，须另文专述。在此，笔者基于亲历古建筑测绘经验倾向于认为《营造法式》所述意为：1）侧脚的工程实现方法有待勘察验证，而本研究团队一直尝试用刚性较强的铺作层测量数据代替直接拟合柱心的柱头平面——后者存在很高的定位难度。考察铺作层实测值统计结果，各层每朵外槽铺作相对于下层均存在两个方向的侧脚；即在正侧两个立面上分别向中间倾斜。2）在面阔与进深两个方向上，明间平柱之外，其余各角柱也向中间倾斜，侧脚并不相对加大。3）单独说明角柱的原因，是实际案例中存在角柱各向侧脚增大的情况，与《营造法式》肯定“各依”每面侧脚值的做法形成呼应。第二个问题是八边形平面中立柱侧脚该如何计算。由于八边形平面的对称性，木塔侧脚并无正侧之分，仅有平柱不沿着面阔倾斜的可能。这样的设计具有以下显著特点：1）在每面面阔方向上，存在指向明间中心的侧脚，并实质上造成柱头八边形比柱脚八边形内收。2）在每面进深方向上，定然同时存在指向塔身内部的侧脚；依照八棱引申算法，此方向侧脚取值是立面指向明间中心侧脚的2.4倍。3）平柱和角柱之间的侧脚差异并非《营造法式》所推荐，且造成边间柱头和柱脚开间尺度差异；而心间柱头和柱脚开间尺度保持不变。正是出于上述面阔上向心侧脚远小于进深方向侧脚的原因，以及平柱特殊设计的可能，虽然实测数据由于结构形变而没有反映出立面上平坐柱向明间中心倾斜的现象，
但是木塔现场能够显著感受、测量到平坐柱整体内倾—— 四层平坐处同样如此——可以明确侧脚的存在（图11， 图12）。图11 “北测”三层明层和四层平坐内外槽梁架横剖面图一图12 “北测”三层明层和四层平坐内外槽梁架横剖面图二梳理上文讨论，本文对于“清华假说”中侧脚部分的修正止于确认各平坐层侧脚的存在，并期待下一步更加精细的实测数据，最终做到完美地解读原始设计。必须强调，本研究尝试从“儒匠之间”视角展开讨论， 尚存在很多想象的成分，依然属于假说性质，且尚未触及构造做法如何实现侧脚设计等关键问题。应县木塔尺度设计的基本问题依然尚未形成定论。对比一组数据便能说明一切：既往分析二层明层柱头平面面阔均值曾经采用927厘米、9148毫米、9177毫米、9178毫米；而前文通过追踪量取刚性更佳的令栱层相应尺寸得到的该尺度均值为9220毫米。评价不同测值对于复原假说的影响、明确哪一部位的测值更加贴近原始设计等工作是走向真相无法绕开的路径。全面解读木塔尺度的路还很长。因此，本专题方向下一步的工作重点是比较明确的：其一，整理现有数据，将2015年至今的构造探查和变形监测所得的大量数据充分消化，并运用到尺度研究的领域中来；其二，结合已进行的和正在进行的三维激光扫描数据采集获取精度更高的非常规测量位置的关键数据；其三，开展结合木材性质的应力应变研究，提升对木塔累积变化程度的理解能力和逆向回归能力；其四，在辽代建筑大背景之下启动深度对比研究。回到问题的初衷，高精度和新技术在这个专题方向上只是方法；究其目的则在于理解原始设计，并借此追溯设计方法的变化。要理解古代的匠，也须了解古代的儒；同时借助今天以“外儒”面貌出现的科技手段，反过来还须至少拥有“半个传统匠人”的思路。沟通儒匠的，不是精确的正八边形算法，不是简略的八棱口诀，或许正是八棱引申算法的巧用。或许这个方法最终能够被那些不久之后亲自动手修缮木塔的大匠们所证实。感叹于当年朱启钤先生的思想高度；感谢朱启钤先生为当下带来的长久启发。刘畅，清华大学建筑学院副教授，博士，主要从事中国古代建筑史和文物建筑保护研究。李大卫，清华大学建筑学院博士研究生，主要从事中国古代建筑历史与理论研究。李泽辉，清华大学建筑学院博士研究生，主要从事中国古代建筑历史与理论研究。赵寿堂，清华大学建筑学院科研助理，博士，主要从事中国古代建筑历史与理论研究。公众号图文有删节，完整阅读请参见《建筑史学刊》2022年第3期。版权所有，转载请注明出处。本文标准引文格式如下，欢迎参考引用：
刘畅，李大卫，李泽辉，等. 算法在儒匠之间：应县木塔平面丈尺假说续论[J]//建筑史学刊，2022，3（3）：126-135.
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