秦漢簡 | 鄒大海：中國上古時代數學門類均輸新探
中國上古時代數學門類均輸新探
鄒大海
（中國科學院自然科學史研究所）
摘要：
均輸是中國古代數學的一個重要門類，數學經典《九章算術》專設第6章討論它。前人對其淵源和它與作爲經濟政策的均輸之關係，都多有未及或存在若干問題。文章利用更爲豐富的考古文獻和傳世文獻，對中國上古時代均輸的發展進行較爲系統深入的研究。文章對《九章算術》“均輸”章算題的特徵進行了新的概括，指出“均輸”的含義比前人理解的公平負擔要寬泛，“均輸”章的構成具有高度的一致性，算題的列入是編者刻意爲之，而非隨意安排。文章證明，不論是數學上的兩類均輸算題還是經濟上的兩種均輸都有先秦及秦代的淵源，現存《九章算術》“均輸”章的5個均輸算題和睡虎地漢簡《算術》中的一個均輸算題雖然都定型於西漢，但在先秦及秦代應該已有其藍本。嶽麓書院藏秦簡《數》和張家山漢簡《算數書》證明，“均輸”章後24題中有一部分在戰國到西漢初期就很可能存在，不必等到公元前1世紀由耿壽昌補入。
均輸既是中國古代數學的一個重要門類，也是中國古代的一種經濟措施和經濟活動。在傳世數學文獻中，它最早見於《九章算術》，是其第6章的章名。此章已含有十分豐富的内容。前輩學者對均輸已有相當多的研究，大都把數學上的均輸與經濟上的均輸聯繫起來。1933年，錢寶琮撰《漢均輸法考》短文[1]，對漢代均輸法的流變及其與《九章算術》均輸算法的關係進行了考訂。他對漢武帝以來均輸制度與平準制度進行了區分：前者是一種關於國家如何徵税的制度，後者是國家進行商業活動的措施。同時，他認爲“均輸”章只有前4題屬於“均輸”章名所表示的範圍，並稱爲均輸本術問題。這些意見對後來很多學者産生了影響。
1983、1984年之交,湖北江陵張家山247號漢初墓出土的竹簡中發現有《均輸律》，之後宋傑提出，在《鹽鐵論》中,“古之均輸”與桑弘羊（前152？～前80）的“均輸法”不同，而《九章算術》“均輸”章前4題與前者有相似之處。[2]胡平生還利用阜陽漢簡《算術》殘簡，明確提出《鹽鐵論•本議》“討論過古今‘均輸’的區别”，“古之均輸”是“《九章算術》裏的‘均輸’。兩種‘均輸’的根本不同就在於桑弘羊的‘均輸’‘爲利而賈萬物’”。[3]他們認爲《九章算術》“均輸”章的前4個問題對應於“古之均輸”，在漢初或更早時代就已經出現,“今之均輸”是漢武帝時候推廣開來的。杜石然將《周禮》“土均之法”和“均人”之職，和張家山漢簡有“均輸律”相聯繫，簡要説明在先秦已有均輸算法。[4]郭書春也用漢簡之有“均輸法”與《周禮》、《左傳》記有均輸的思想和需要，説明“均輸術最遲在秦或漢初已經存在”，“先秦典籍已有均輸的萌芽”。同時，他强化了錢寶琮關於“均輸”章不同算題之間不協調的觀點，認爲該章“大部分不是均輸問題”，並從《九章算術》的體例上説明前4題來自戰國及秦代，其他算題爲漢人所增補。[5-7]李迪認爲均輸的制定與張蒼有關，後來桑弘羊又重新恢復,並補充算題到《九章算術》“均輸”章裏。[8]筆者利用更爲豐富的傳世文獻與出土文獻，特别是《國語》、睡虎地秦簡中的秦律、張家山漢簡中的徭律、睡虎地漢簡《算術》中的“委輸”問題，從數學結構和社會需要等多個角度論證了均輸算法有先秦的淵源[9-12]，並用張家山漢簡的《均輸律》、《算數書》説明《九章算術》“均輸”章中“非均輸本術算題在先秦也是有的”[9-10]。上述研究還不够系統、深入，對“均輸”章不同問題的性質、來源、流變以及該章的整體性等重要問題的認識還有待深入。本文擬搜集更爲豐富的傳世文獻和考古文獻，特别是新發現的簡牘文獻，將外史與内史結合互證，對均輸在上古時代的發展，進行更爲系統深入的研究。
1
《九章算術》均輸算題與漢代均輸法關係中的時代與邏輯問題
“均輸”章中兩類算題的出入很大。錢寶琮認爲“均輸”章只有前4題屬“均輸”章名所表示的範圍，並稱爲均輸本術問題。他還説：“均輸章第1題到第4題是四個實行均輸法的計算問題。漢武帝太初元年（公元前104年）郡國始置均輸官，施行均輸法。這四個問題的寫成自然是在太初元年之後”。[13]
李儼[14]、陳直[15]也把均輸算題與均輸法對應起來，但他們認爲均輸法開始於武帝元封元年（前110），均輸算題在元封元年之後。這個時間比錢寶琮説的太初元年要早。核查史料，可知《史記·平準書》記有“元封元年，卜式貶秩爲太子太傅。而桑弘羊爲治粟都尉，領大農，盡代僅管天下鹽鐵。弘羊以諸官各自巿，相與爭，物故騰躍，而天下賦輸或不償其僦費，乃請置大農部丞數十人，分部主郡國，各往往縣置均輸、鹽鐵官”[16]，而没有太初元年郡國始置均輸官的記録，故應以元封元年爲是。錢先生的説法，大概源於《漢書·百官公卿表》所記：“治粟内史，秦官，掌穀貨，有兩丞。景帝後元年更名大農令，武帝太初元年更名大司農。屬官有太倉、均輸、平準、都内、籍田五令丞，斡官、鐵市兩長丞。”[17]可能他把後一條史料的年份錯記在前一條史料的史實上了。儘管老一輩研究數學史的學者對均輸問題的時間上限有幾年的出入，但都不早於漢武帝時代，甚至不早於元封元年。這是可以理解的，因爲《史記·平準書》説：“而孔僅之使天下鑄作器，三年中拜爲大農，列於九卿。桑弘羊爲大司農中丞，筦諸會計事，稍稍置均輸以通貨物矣”，其下徐廣注曰：“元鼎二年，時丙寅歲也”([16], 1432～1433頁)[1]。徐廣把置均輸的時間定在元鼎二年（前115年），“稍稍”是逐漸的意思，那麽一些學者把均輸法視爲桑弘羊在公元前115年的創造，也是一種自然的想法。
李迪認爲“桑弘羊推行均輸法和‘平準’制，必然要根據實際工作的需要編寫數學題目，補充到原來的題簡中”，現傳本《九章算術》中“均輸”章的28個題目中“有些題應出於他手，如第9題”“顯然是‘置平準於京師，都受天下委輸’之時或稍後編出來的題目。”([8],97頁) 大概是覺得太“顯然”，他没有給出具體的理由。另外，他也没有再舉出其他與均輸法和桑弘羊有關的具體問題。後面我們將證明，這個問題與桑弘羊及其均輸法無關，而與更早時代的均輸有關。但他把此題也納入均輸算題，雖無深意,却是一個新見。
無論是錢寶琮還是其他學者，都把《九章算術》的“均輸”章至少是其中的前4個問題與作爲經濟制度的均輸法聯繫起來，錢先生雖然也提到前者對後者有價值，但主要還是由後者論述前者産生的時代。不過，如果仔細研究兩類文獻，可以發現前人對數學上的均輸和經濟上的均輸法所做的對應關係，對應得並不好，兩者之間的關係其實是非常複雜的。
首先,既然張家山二四七號漢初墓（約公元前186年）中出土有《均輸律》，比漢武帝早了三朝（皇帝），比桑弘羊開始試行均輸早了70餘年，那麽不論數學上的均輸與經濟上的均輸是否完全對應，我們都不能由武帝時實行了均輸法來推定《九章算術》的均輸要到漢武帝中後期纔能出現。
再者，對於經濟上的均輸，如果仔細閱讀傳世文獻中涉及武帝時桑弘羊的均輸法的材料，我們可以發現，史料中只是説武帝時採用了均輸法，却並没有説以前未曾有過均輸法。所以，傳世文獻的記載與張家山漢初墓中出土有《均輸律》，兩者之間其實並無矛盾。前輩學者之所以認爲均輸在漢武帝中後期纔出現，是因爲只在史料所記關於漢武帝中後期的史實中纔看到均輸，就以自己所見之最早事迹作爲歷史上實有的最早事迹，而這在邏輯上顯然是有很大缺陷的。
《史記·平準書》和《漢書·食貨志》説公元前115年桑弘羊“稍稍置均輸以通貨物”，其實是順着上文所講社會經濟中存在的問題、需要如何解决這樣的問題的角度來叙述的，並不是在講均輸的歷史。“置均輸”是解决問題的一項措施。“稍稍”（逐漸地）雖然暗含着從無到有的意思，但這也只是從講這話時當下的情境來説的，並不意味着《史記》和《漢書》認爲均輸在以前就一定没有。所以《均輸律》出現在此年70年以前的張家山漢初墓中，其實也不是值得奇怪的事。
出土的張家山漢簡中有“均輸律”證明均輸可以推到漢初，正是張蒼（前252以前～前152）活動的時代。據公元3世紀劉徽的記載，張蒼、耿壽昌（活動於公元前1世紀中葉）是包含有“均輸”章的漢代編成本《九章算術》的編纂者[2]，而張蒼比耿壽昌早一個世紀，那麽均輸會不會就是張蒼首創的，是不是以前就没有呢？按史學界通常的思路，這些也就自然成爲一些學者關注的問題。比如李迪就認爲出土《算數書》的墓的主人是張蒼，《算數書》是張蒼職掌、爲官方所有的有關數學的竹簡。[19]他還説:
均輸法的制訂可能與張蒼有關，因爲它既是法律，又需要數學計算，而張蒼是這兩者的最大行家。在‘算數書’中已有具體的均輸題，可能爲張蒼所加，説明西漢初已實行均輸法，似乎是不久停止了，過了100多年，纔又重新提出，漢武帝時由桑弘羊再實行。[8]
這種根據共同性推測兩者相關的作法，是比較常見的，但兩者有共同之處與兩者有關係，並不等價。如果没有特異性的標志，這種關係是很難確認的。李迪關於該墓墓主是張蒼的觀點，受到幾位學者的反駁[3]，他們的證據是很充分的，故此説現在已很少有人相信了。
目前没發現張蒼制訂漢初均輸制度的證據。另外，在已公布的《算數書》全文中其實都没有出現“均輸”一詞，也没有以均輸制度爲現實背景的算題。李先生當時還没有看到全書，他之所以説《算數書》有具體的均輸問題，大概是源於參與整理的專家説過《算數書》中“算題類别還有《方田》、《粟米》、《衰分》、《少廣》、《商功》、《均輸》、《盈不足》等，它同《九章算術》有很多相同之處，而時代比《九章算術》早二百多年，它是《九章算術》之源”[20]。其實文章的“算題類别”這幾字，只是説明《算數書》中有可以歸到《九章算術》“均輸”類的算題，並不意味着書中有涉及均輸制度的算題。由於文章的原文没有對此做特别的强調，所以李迪有如此誤解也在情理之中。另外，漢武帝時桑弘羊實行均輸法，試行於公元前115年，推廣於公元前110年，距離漢初不到100年而不是李先生所説的“100多年”。史籍中有張蒼“定章程”的記載，但《均輸律》屬不以程（數量標準）爲主要内容的法律，不屬張蒼的職司。《漢書•刑法志》説漢初“相國蕭何攈摭秦法，取其宜於時者，作律九章”（[17]，1096頁），似此，漢初的《均輸律》應是蕭何在秦法基礎上進行取捨而制定的。不過，張蒼曾因“明習天下圖書計籍，又善用算律曆”而被令“以列侯居相府,主郡國上計者”（[17]，2094頁），《均輸律》的制定雖然不屬“上計”的範圍，但其中有的數量標準（“程”）曾徵求過張蒼的意見，也是有可能的。
2
《九章算術》均輸算題
的性質和特點
在現存版本中，《九章算術》的“均輸”章共含28個問題。此外，王孝通《緝古算經》第一個問題的注中提到，“《九章》‘均輸’篇有犬追兔術”問題，並引述了該題。此題不在上述28題之内，估計是在後來的流傳過程中佚失了。它原來的位置，應在第13題和第14題之間，對此我們將在後文説明理由。
錢寶琮認爲“均輸”章只有前4題屬“均輸”章名所表示的範圍，並稱爲均輸本術問題。後面的問題與該章本意“税收給運”“漠不相關”，其中一部分之所以列入該章，是因爲假借均輸本術問題的方法加以應用；而對其他各種比例雜題被列入該章，他没能找到特别的理由。他還説：“均輸章裏只有四個均輸問題，却有很多分數應用問題和衰分問題”。([13], 32、34頁)看來，在錢寶琮心目中，很多算題之被列入該章，是有隨意性的。
郭書春認爲《九章算術》的一些問題“編排方式極不合理，人爲的成分極大，在邏輯上違背了分類同一性的原則，是不嚴整的”，其中一個體現是“均輸章大部分問題不是均輸問題，而是衰分、今有、重今有、級數及其他算術問題”。([5], 303頁) 他把《九章算術》算題分爲三類：第一類是先給出例題，後給出抽象性術文；第二類反過來，先給出抽象性術文，後給出例題；第三類是一題一術且術文没有脫離具體問題的對象與數字。他認爲前兩者可以視爲一類，具有術文統率應用問題的形式；第三類與前兩類體例和風格差别很大，且算題的性質與所在章的標題不同，“有明顯的補綴的性質，也反映了編纂思想的不同”。他認爲前兩類“大多數是戰國及秦代完成的，而補綴的第3類,是漢朝人所爲”，並且“多數是耿壽昌增補的”。（[5]，87～90頁；[6]；[7]）
那麽《九章算術》“均輸”章的編排是不是隨意的？是不是存在一以貫之的思想？爲此，我們需要考慮這些算題的特徵。前輩學者把這些算題大體歸爲兩類，以前4個問題爲一類、其他問題爲另一類，我們認爲這也是可以的；但必須注意到，後面這類算題中的絶大部分在數學結構上具有區别於其他章算題的明顯特徵，且其中亦有第9題屬古已有之的另一類均輸算題（詳見第5節）。因此，“均輸”章的算題是按一定的指導思想進行編排的。下面對此詳做討論。
2.1多指標下的公平負擔問題
如前所述，“均輸”章的前4題與其他問題確實很不一樣，錢先生稱爲均輸本術問題，爲很多學者所採（有的使用意義相同而用語稍異的説法）[4]。不過，我們後面要談到，這種稱呼是有問題的。所以我們根據這些問題的數學結構特點並結合問題的現實背景，把它們稱爲“多指標下的公平負擔問題”。這類問題的方法都是通過變通，最後化爲衰分術（也就是比例分配的方法）來求解。衰分術已見於第三章，所以如何得到各衰（即比中的各個數）纔是解决問題的關鍵。這4個問題中，我們只引第1、4兩題的原文以節省篇幅。
第1題是：
今有均輸粟，甲縣一萬户，行道八日；乙縣九千五百户，行道十日；丙縣一萬二千三百五十户，行道十三日；丁縣一萬二千二百户，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、户數多少衰出之，問粟、車各幾何？
荅曰：
甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。
乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。
丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。
丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。
術曰：令縣户數各如其本行道日數而一，以爲衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副幷爲法。以賦粟、車數乘未幷者，各自爲實。實如法得一車，有分者上下輩之。以二十五斛乘車數，即粟數。[25]
這個問題的開頭是“今有均輸粟”，其中“今有”是古代算書中各種算題起首的常用語，我們可以把“均輸粟”作爲算題的題名。這個問題是説：從4個縣徵收作爲税的粟（當時最重要的兩種主糧之一），並要求各縣把應繳之粟運送到目的地。已知所徵粟的總數和相應所需要的車輛總數，以及各縣的户數和到目的地的距離，問如何攤派各縣應繳的粟和應出的車輛纔公平。這是考慮2個指標（按路上所需時間計量的路程、户數）影響下的公平負擔問題。其解法的關鍵是户數除以路程（以日爲單位，實際表示一日所行的路程），得到各縣的衰。這種計算衰的方法，必須是在各縣到目的地的距離相差不太懸殊的情况下纔比較合理。
第2題的開頭是“今有均輸卒”，我們可以把“均輸卒”作爲此題的題名。此題説的是，從5個縣徵調士卒到邊塞戍守，已知所徵士卒的總數及在邊塞戍守的時間（“居所日數”，爲一個月，按30天算。《九章算術》本文只説“居所……日數”，没有提具體的時間，劉徽注説是“三十日”，與算題的數據吻合），各縣的人口數及到邊塞的路程（也以路上所需要的時間即“行道日數”計量），要求如何攤派各縣應出的士卒數纔公平。與第一題相似，這也是考慮2個指標（路程、人數）的公平負擔問題。解决問題的關鍵是，把人數除以路程（以日數計量）與戍卒在邊塞（“居所”）戍守的時間（日數）之和，得到各縣的衰。不過《九章算術》所用的各衰實際是把這樣得到的衰（40、50、40、30、50）簡化後的結果（4、5、4、3、5）。這裏没有考慮到對於遠處的人而言，不光來到邊塞需要時間，而且從邊塞回去也需要一樣的時間。不過，也許作者是把路上所花時間按戍守時間一半的勞動量來對待的。
第3題開頭是“今有均賦粟”，説的是從5個縣徵收粟，都集中運到甲縣，已知所徵粟的總數，一車所載粟的斛數，將一車粟運送一里的價格，各縣的户數、粟價和到甲縣的距離，求如何攤派各縣應出粟的數量纔公平。這是考慮4個指標（户數、距離、粟價、僦價即運輸價格）影響下的公平負擔問題。這裏的關鍵是把後3個指標的影響力化爲一個指標，其方法是求每縣運送一斛粟到目的地時粟價連同路費的和，以此作爲影響該縣所受攤派的一個指標，這時就與前兩個算題一樣，由兩個指標（另一個是户數）來决定分攤的數量了。
第4題是這樣的：
今有均賦粟，甲縣四萬二千筭，粟一斛二十，自輸其縣；乙縣三萬四千二百七十二筭，粟一斛一十八，傭價一日一十錢，到輸所七十里；丙縣一萬九千三百二十八筭，粟一斛一十六，傭價一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬七千七百筭，粟一斛一十四，傭價一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬三千四十筭，粟一斛一十二，傭價一日五錢，到輸所二百一十里；己縣一萬九千一百三十六筭，粟一斛一十，傭價一日五錢，到輸所二百八十里。凡六縣賦粟六萬斛，皆輸甲縣。六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載、輸之間各一日。粟有貴賤，傭各别價，以筭出錢，令費勞等。問縣各粟幾何?
荅曰：
甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。
乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九。
丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。
戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。
己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
術曰：以車程行空、重相乘爲法，幷空、重以乘道里，各自爲實，實如法得一日。加載、輸各一日，而以六人乘之，又以傭價乘之，以二十五斛除之，加一斛粟價，即致一斛之費。各以約其筭數爲衰，副幷爲法。以所賦粟乘未幷者，各自爲實。實如法得一斛。([25]，222～224頁)
這個問題與第3題一樣，開頭也是“今有均賦粟”。它説的是從6個縣徵收作爲税的粟，都要集中運送到甲縣，已知所徵粟的總數，一車所載的斛數（25斛），一車由6個人裝運，載貨車（“重車”）和空車一天分别能走的路程（速度），裝車、卸車的時間爲各一天，各縣的算（“筭”）[5]數、粟的價格、雇傭勞動力的價格、到甲縣的距離，要求各縣分攤的粟之數量。這是考慮4個指標（距離、勞動力價格、粟價、算數）時的公平負擔問題，且多了6人一車、一車載25斛、重車與空車的速度以及裝、卸各一天等幾個常量因素。這幾個常量對於後五縣是一樣的。對於甲縣，原題只考慮了粟價和算數，不僅没有涉及常量因素，而且没有涉及距離，這大概是因爲目的地就在本地。劉徽注第3題術文時提到“甲自輸其縣，則無取僦價也”，此題中别的縣都没有計入裝、卸的時間與花費，甲縣不計是合理的。但第4題中其他縣都計入了裝、卸的時間與花費，甲縣不計則不合理。[6]是問題設計者還是官員考慮不周，不得而知。
這個問題的關鍵是，把各縣的前3個指標折算成一個因素，在折算的過程中，還要考慮到一些常量因素。其目標是求出各縣送一斛粟到目的地時粟價連同路費的和（甲縣没有考慮運輸費用，只算粟本身的價格）。具體思路是：先求運送一車粟的費用，除以25得到輸送一斛粟的運費，再加粟價，最後得到每縣完成一斛徵收任務的花費。關於一車粟的運費求法，比較自然的作法是計算1÷50+1÷70，得到來回一里所需的時間，然後乘以該縣與目的地的距離，得到整個往返在路上的時間，再加上裝、卸各一天的時間，得到運送一次的總時間，乘以6人和每人一天的勞動力價格，得到該縣一車粟的總運費。不過，原文在計算整個往返在途的時間時，是將空車、重車速度（一日所行里數）相乘作爲除數，將兩個速度相加，再乘距離（用到達目的地的時間來計量）得到的積作爲被除數，然後相除得到的。這裏不按現代的作法計算（
從這4個多指標下的公平負擔問題所反映的現實活動看，第1個問題是純粹的攤派糧食税，第2個問題是純粹的攤派徭役，第3、4兩個問題雖然表面上也是攤派糧食税，但對於影響公平的因素，有更多的考慮，其中也涉及所出人力的多少，因此與徭役也有一些關係，甚至還跟市場價格有關。4個問題都是講在多個指標影響下，如何攤派賦税纔能做到公平合理。比如一個縣户數多或物價便宜，應該多出人力物力；而如果它距離目的地遠或其勞動力價格貴，則應該少人力物力。如何照顧到各項指標，通過定量計算的方法確定各縣的賦税，使各縣的負擔均衡公平，是很不容易的事。這4個問題從簡單到複雜，提出了處理這類難度很大的問題的方法，是很不容易的。可以説，在“均輸”章，後面其他問題的難度，都比這組問題要容易。
表示均等之義的“均”字，要針對賦税纔能較好地體現百姓負擔的公平。這4個問題中都用到“賦”字。它既可作名詞，表示賦税，如第1題中的“凡四縣賦當輸二十五萬斛”、第2題中的“凡五縣賦輸卒一月一千二百人”、第3題中的“凡五縣賦輸粟一萬斛”；也可作動詞，表示徵收賦税之義，如第3題首句“今有均賦粟”及後面的“欲以縣賦粟，令費勞等”、第4題的首句“今有均賦粟”。在第4題“凡六縣賦粟六萬斛，皆輸甲縣”一句中，把“賦”理解爲動詞和名詞都説得通，如作動詞，整句可理解爲向6個縣總共徵收6萬斛粟的税，都要運送到甲縣去；如作名詞，整句可理解爲“[攤派給]6個縣的賦税總數爲6萬斛，都要運送到甲縣去”。第1、2兩題開頭都有“均輸”二字，呼應了章名。第3、4題開頭都有“均賦”二字，是把“輸”換成了“賦”。“均賦”遠比“均輸”更加切合這4個算題的内容。所以要説“均輸”章前4個問題是“均賦本術問題”比説它們是“均輸本術問題”要合適。第5節將證明，没有體現負擔公平之義的“均輸”章第9題，反而與“均輸”一詞有密切的關係。所以，至少從《九章算術》“均輸”章的編纂來看，用是否“均輸本術問題”來把前4題與其他問題劃分開來，是不合適的。
2.2其他歸入“均輸”章的問題
“均輸”章的24個其他問題，彼此之間有程度不同的共性與差别。可以根據共性進行細分，但不太容易概括，所以下面的歸類是粗略的，但仍是有意義的。
第5題已知粟的數量，讓3個人各取一部分，分别舂成糲、稗、糳米，要讓得到的3種米的體積相等，求此時3人所取粟的數量和最後所得米的總數。
第6題是這樣的：
今有人當禀粟二斛。倉無粟，欲與米一、菽二，以當所禀粟。問各幾何?
荅曰：
米五斗一升七分升之三。
菽一斛二升七分升之六。
術曰：置米一、菽二，求爲粟之數。幷之得三、九分之八，以爲法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自爲實。實如法得一斛。([25]，225～226頁)
這是已知應領取粟的數量，因倉庫無粟而用米和菽代替，由米、菽的題設比（1:2）和它們與粟的相當比（全書統一的比，米、粟比爲30:50即3:5，菽、粟比爲45:50即9:10），確定應給米、菽的數量。
第7題是這樣的：
今有取傭，負鹽二斛，行一百里，與錢四十。今負鹽一斛七斗三升少半升，行八十里。問與錢幾何?
荅曰：二十七錢十五分錢之十一。
術曰：置鹽二斛升數，以一百里乘之爲法。以四十錢乘今負鹽升數，又以八十里乘之，爲實。實如法得一錢。([25]，226頁)
這是雇人送鹽的問題，由給定的所送鹽體積數、距離及對應的傭錢數（雇人送鹽的費用），求送另一體積數的鹽到另一距離所需的傭錢數。體積和距離之乘積數，與傭錢數成正比，是解决此問題的關鍵。
此題可與“衰分”章最後關於貸錢的問題做對比。該題是這樣的：
今有貸人千錢，月息三十。今有貸人七百五十錢，九日歸之，問息幾何?
荅曰：六錢四分錢之三。
術曰：以月三十日乘千錢爲法。以息三十乘今所貸錢數，又以九日乘之，爲實。實如法得一錢。([25]，107頁)
可以看出，這個問題中的貸錢數、貸錢日數和息錢分别與上個問題的鹽體積、距離和傭錢相對應；這個問題解法的關鍵點是，貨錢數與貸錢的日數之積，和息錢數成正比，這也與上個問題解法的關鍵點相對應。可見兩個問題具有相同的數學結構，可以通過簡單的變通來由一個問題的解法得到另一個問題的解法。
第8題是：
今有負籠重一石，行百步，五十返。今負籠重一石一十七斤，行七十六步，問返幾何?
荅曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
術曰：以今所行步數乘今籠重斤數爲法。故籠重斤數乘故步，又以返數乘之，爲實。實如法得一返。([25]，227頁)
這個問題由一組已知的籠重和距離的數據所對應的往返次數，求另一組已知的籠重和距離的數據所對應的往返次數。
第8題數學結構與第7題有不同之處，它是以兩組籠重、距離、往返數的乘積相等爲關鍵。也可以説，籠重與距離之積，與往返數成反比。它們的相同之處是，都以兩個數的乘積和第3個數所成的正比或反比的關係爲計算的基礎。
第9題的具體内容我們後面會談到。它講的是已知來的速度和去的速度，由給定的日數與對應的往返次數，求距離。這與上題有部分類似之處，但已知指標和所求指標都有改易。
第10題，已知絡絲與練絲之比，練絲與青絲之比，求已知青絲數對應的絡絲之數。
第11題，已知惡粟與糲之比，糲與稗的普遍比，求得到已知稗數所需惡粟之數。
第10～11題的數學結構完全相同。其術文所給出的方法，與現代的連鎖連比例求法完全相同，而不涉及比例分配。
第12題，已知善行者和不善行者的速度，以及後者先走的路程，求前者追及後者時所走的路程。這是以兩者所行總路程相等爲關鍵的前提條件。
第13題，已知不善行者先行路程，善行者走一定路程後超過前者的路程，求善行者追及前者時(實際是兩人都)走的路程。這也是以追及時兩人所行路程相等爲關鍵的前提條件。
第14題，已知兔先走的步數，犬再追它，犬追兔時所走給定的步數時兔在犬之前的距離，求犬追及兔需要再往前走的步數。
這個問題和第13題相似，也是以追及時兩者所走路程相等爲關鍵的前提條件。但第13題是由先超出的路程求追及時追者所走的路程，而此題則是由不及的路程求追及時追者還需要再走的路程。
第12～14題爲一組。王孝通《緝古算經》所引算題亦屬於此組，他説：
今按：《九章》“均輸”篇有犬追兔術，與此術相似。彼問：犬走一百步，兔走七十步。令兔先走七十五步，犬始追之，問幾何步追及?荅曰：二百五十步追及。彼術曰：以兔走减犬走，餘者爲法。又以犬走乘兔先走爲實。實如法而一，即得追及步數。[27]
這是已知犬和兔的速度和兔先行的路程，求犬追走多遠後趕上兔。可以看出，這個問題在數學結構上與第12題相同，但設題場景與第14題相同，故可推測它原在第13題與第14題之間。
第15題，已知出關時所持金的數量和關税率，由關卡收税時收金的數量和因多收而找回錢的數量，求金的單價。
第16題，已知客人騎馬行走的速度和離開時間，主人騎馬追及客人又立即返回的時刻，求主人騎馬行走的速度（一日所行路程）。這個問題與前面第11～14題同類。這個問題的位置可能原來在第14題之後。不過，此題求單位時間所走的路程和第15題求單位重量金的價格，有其共性，但後者與第28題在問題情境和數學結構上更接近，所以它可能原來不在此處。
第17題，已知金棍的長度，從其本、末分别斬下一尺的重量，求從末到本每一尺的重量。這是默認金棍從末到本重量均勻地增加。在數學上，它是已知等差數列的首項、末項和項數，求各項的大小。
第18題，已知總錢數爲5、人數爲5，默認按等差數列分錢，由分得多的2人與分得少的3人分得的錢數相等，求每人分得的錢數。這是已知等差數列的項數和總和，以前3項的和與後2項的和相等爲條件，求各項。
第19題，已知一個9節的竹筒，它的下3節總容量之數與上4節總容量之數，並假設兩相鄰兩節容量差均等，求各節的容量。
第17～19題爲一組，都是等差數列問題，已知條件不同，但都是已知首項或首幾項之和、末項或末幾項之和，且都是求各項。第19題中，已知的兩頭項數之和少於總項數，且一頭幾項之和不等於另一頭幾項之和，而第18題則是兩頭項數之和爲總項數，且一頭幾項之和與另一頭幾項之和相等，這是第18題比第19題簡單的地方。但前者没有像後者那樣已知兩頭幾項之和的具體數目，需要由另外的已知條件求出，這是第18題的複雜之處。從數學結構上看，第17題可以視爲第19題的特例。
第20題是：
今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧、雁俱起，問何日相逢？
荅曰：三日十六分日之十五。
術曰：幷日數爲法，日數相乘爲實，實如法得一日。（[25]，236頁）
這個算題已知鳧、雁走完一個單程的時間(實際是它們的速度)，求兩者相向而行且同時出發時相遇的時間。此題術文是抽象性的，没有出現已知條件中的具體數據。
第21題，已知甲、乙兩人走完一個單程的時間（實際是它們的速度），求相向而行且乙先出發2日時，甲出發至兩人相遇所經歷的時間。
第20～21題都是兩者相向而行的相遇時間問題。其中關鍵的等量關係是總路程等於兩者所走路程之和。
第22題是已知一人一日分别做牝瓦、牡瓦的數量（亦即做牝瓦和牡瓦的效率），求一人一日同時做同樣數量的兩種瓦的數量（亦即做同一數量的兩種瓦的效率。如果把一塊牝瓦和一塊牡瓦視爲一套瓦，則是一套瓦的效率）。這個問題與第20題在數學結構上相同，前者的效率相當於後者的速度。而且，此題術文“幷牝、牡爲法，牝、牡相乘爲實，實如法得一枚”與第20題術文一樣，不採用已知條件中的具體數據而採用抽象性用語，它們語言結構也是一樣的。
第23題是已知一人一日分别矯矢、羽矢和筈矢的數量（亦即做三種工序各自的效率）,求一人一日做全套這三道工序時能完成的矢的數量（亦即做整套工序的效率）。
第22～23題是同一類。從數學上説，與第22題中兩種瓦數量相等的要求類似，第23題是這三道工序所完成矢的數量相等。所以兩題數學結構上是相似的，只是第23題多出一個參數而已。
第24題是已知租種田地時第一、二、三年各自的租率，由總租金數求所租田的面積。這裏的關鍵前提是三年所租田的面積是相等的。術文作“置畝數及錢數。令畝數互乘錢數，幷以爲法。畝數相乘，又以百錢乘之，爲實。實如法而一”（[25]，239頁），除“百錢”外，全是脫離了已知具體數據的文字。
這與上面第22～23題的數學結構也相似，租率對應效率，田面積對應於每種瓦的數量或矢的數量（亦即每道工序所加工的矢的數量）。
第25題是已知一人一日分别發、耕、耰田的數量，求一人一日完成一套三種工序時治田的數量。這個問題在數學結構上與第23題即矯、羽、筈矢問題完全相同，但其術文作“置發、耕、耰畝數。令互乘人數，幷以爲法，畝數相乘爲實。實如法得一畝”（[25]，239頁），是没有用到已知條件中具體數據的抽象性術文。
第26題是已知由五條渠向池裏注水時，每渠分别單獨注滿水池的時間（效率），求五條渠一同注水時注滿水池所需要的時間。此題術文有兩條：“各置渠一日滿池之數，幷以爲法。以一日爲實。實如法得一日。其一術：各置日數及滿數，令日互乘滿，幷以爲法。日數相乘爲實。實如法得一日”（[25]，240頁），都是脫離具體數據的抽象性術文。
這個問題與上面問題的相似之處在於都是已知單獨的效率，不同之處在於此題中的等量關係是一同工作時每項的時間相等，而第23、25題則是效果相等。第22～26題可以視爲同一類，都涉及分效率與總效率的關係。
第27題：
今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，内關七而取一，餘米五斗。問本持米幾何?
荅曰：十斗九升八分升之三。
術曰：置米五斗，以所税者三之、五之、七之，爲實。以餘不税者二、四、六相乘，爲法。實如法得一斗。（[25]，241頁）
這是講帶米出三關，已知每關的税率和出三關後所剩米的數量，求原有米的數量。
第28題講帶金出五關，已知每關的税率和五關所收税的總數，求原所帶金的數量。
第27～28題數學結構相似，但後者比前者的關數多二，前者是已知税後所餘（即原有數减以各關所收税之和後的餘數），而後者是已知各關收税之和。前面關於持金過關的問題與第28題有很大的共性，也許該題原在第28題之前。
爲對上述25個問題進行定位，我們需要對《九章算術》中“粟米”、“衰分”、“均輸”三章的情形做一總體的概括。這三章都是關於比例算法的。“粟米”章除其率術問題、反其率術問題形式很特殊外，其他算題基本上是基於“粟米之法”所列比率的正比例算法，它們在三章中最爲簡單。“衰分”章中有一部分是按比例進行分配（用“衰分術”）或按倒數比例進行分配（用“返衰術”）的問題，它們與章名“衰分”很切合，可以稱爲衰分本術類問題；還有一些是正比例問題和可以較容易化爲正比例問題來解的問題，這些問題往往相對簡單些。“均輸”章的上述25個問題，雖然一般比該章第一類問題要容易，但其中的比例關係不僅比“粟米”章的比例問題要複雜，而且也大多比“衰分”章的非衰分本術問題要複雜，只有很少的問題與之難度相當。從數學結構上看，“均輸”章除第7題與“衰分”章最末關於息錢的算題結構相同外，其他問題都與前幾章的情形不同，所以從《九章算術》的分類情况看，上述25個算題放在“均輸”章而不是其他章，其實是相當合理的。而如果把“衰分”章的那個息錢問題也移入“均輸”章，或者把“均輸”章的第7個算題移入“衰分”章，則兩章的歸類在數學結構上就不存在模棱兩可之處了。不過，上述第7題是鹽的運送問題，而漢代常常把鹽、鐵的經營與均輸作爲一起討論的話題（詳第3節所引《鹽鐵論》），所以編者把第7題置於“均輸”章而不是“衰分”章大概不是出於偶然而是有意爲之的。從這一角度看，衰分章的息錢問題置於“均輸”章纔是最合理的。此題没有出現在“均輸”章，雖然也有可能是流傳過程中的差錯，但更大的可能還是編者考慮不周的結果,畢竟我們不宜假設古人對每個地方都考慮得那麽周密。
總之，“粟米”、“衰分”、“均輸”三章中算題的安排是有規律可尋的：一方面，編者按算法上從易至難的順序把它們安排到三章中去；另一方面，在同一章内則是按現實背景或相關性，基於以類相從的思想進行歸類和編排的。當然，此章中算題的順序在現存不同版本中有所不同，其中略有不合理之處，是源於流傳之誤還是編者的疏忽，還不能完全確定，大概這兩種因素都是有可能的。
2.3“均輸”的含義與“均輸”章問題的歸屬
從字面意思看，“均輸”不像算法的名稱。它含有兩個詞素：“輸”有運輸、輸送之義，是具體的勞動；“均”有均等、均衡之義。在“均輸”中“均”可以理解爲對“輸”的要求。“均輸”在其早期使用的階段，應該是指針對一種輸送活動，要求在某些方面能做到均等或均衡，這自然需要數學方法的參與。當初古人在解决具體算題時，自然會用到範圍很窄的特定算法，但這並不意味着當初就限定了“均輸”只能對應這樣的特定算法。在“均輸”一詞中，讓什麽事物均等、輸送什麽東西，是完全看不出來的。那麽，在歷史長河中，它可以隨着時間的推移包容不同的問題。前輩學者用對賦税的負擔公平（均等）來理解“均”字，將其字面含義窄化了。前面已經説到，對於前4個多指標下的公平負擔問題，用“均輸”遠不如用“均賦”概括來得妥當，而且“均賦”一詞就出現在第3、4題的首句中。所以從章名與這4個同類問題相契合的角度看，此章應該題名“均賦”。那麽此章之所以題名“均輸”，很大可能性不是認爲它能很好地體現公平負擔的含義。
“均輸”章前4個問題化爲衰分術求解，而衰分術中各衰之間是有比例關係的，也可以説各衰之間存在着對應於某物的相等關係（比如在第1題中，甲、乙、丙、丁四縣的衰分别爲125、95、95、61,那麽它們分别出125份、95份、95份、61份時，四個縣中平均每户的負擔是相等的）。至於該章後24個算題以及王孝通所引的一個算題，如上一小節所分析的，它們要麽以相等關係爲前提，要麽以存在某種比例關係爲前提，而比例關係又以相等關係爲前提，所以這些問題能體現“均”字之義。不過，“粟米”和“衰分”兩章也處理比例問題，所以“均輸”章中無關公平攤派賦税的算題在某種意義上具有“均”的含義，只是它們置於“均輸”章的必要條件而非充分條件。那麽《九章算術》第六章爲什麽題名“均輸”？該章按什麽標準納入算題？這些問題，目前還難窺全豹，但部分原因還是可以通過分析得出的。
“均輸”章第1、2兩題首句分别作“今有均輸粟”、“今有均輸卒”，其中“今有”是設問起首用語，在其他各章都用，没有區分度，兩題區别於其他章算題的共同用詞就是“均輸”，這很可能就是此章取名“均輸”的一個重要原因。這種命名法，與《論語》第一篇由首句“子曰：‘學而時習之，不亦説乎？……’”取名“學而”、第二篇由首句“子曰：‘爲政以德，……’”取名“爲政”的方式相同。
《九章算術》本文没有對“均輸”的含義做解釋，但劉徽注中有多處涉及。在第1題術文的注中有三處講到“均”（爲便於指稱，用印度-阿拉伯數字標記文字單元）：
1.（1）此均輸，猶均運也。令户率出車，以行道日數爲均，發粟爲輸。（2）據甲行道八日，因使八户共出一車；乙行道十日，因使十户共出一車；……計其在道，則皆户一日出一車，故可爲均平之率也。
2．各置所當出車，以其行道日數乘之，如户數而一，得率：户用車二日四十七分日之三十一，故謂之均。
3．車、牛、人之數不可分裂。推少就多，均賦之宜。([25],218頁)
第1條的(1)中“均輸，猶均運”實際是用“運”解釋“輸”字後做的代換；而“以行道日數爲均，發粟爲輸”與第2題術文注中説的“此亦以日數爲均，發卒爲輸”、第3題術文的注中説的“此以出錢爲均也”（[25]，217～221頁），都把一個具體的東西“（行道）日數”、“出錢（數）”作爲均的對象，顯然這裏要“均”的東西並不能理解爲考慮題設中所有因素下的負擔，也不能理解爲表示所有因素總體負擔效果的最終指標；而對“輸”字則指明了具體所輸送的物品。
不過，第1條的（2）具體説了如何讓“行道日數”（從出發地點走到目的地所需天數）折算成户數，並認爲最終結果是“均平之率”。第2條也説通過計算得出每户用車之率，所以叫做“均”。第3條則明確説明在這樣的問題中，車、牛、人的數量是相互關聯的，可以通過“推少就多”來實現讓賦税均等（“均賦”）的要義。這裏“推少就多”含義模糊，字面上有將少的數量放到多的數量那裏去的意思，目的是讓賦税均等，但實際上應該是指爲了使不同縣在某一種指標上均等，要將各縣三種多少不一的數量進行特定的處理。第2、3題的劉徽注中也有類似的文字。可以肯定，劉徽確實意識到了這種問題要處理多指標下的公平負擔。不過，劉徽對這幾個算題中“均”字含義的具體解釋，不一定意味着“均輸”在其他語境中也一定有針對多指標下的公平負擔之義。
劉徽對“均輸”章章名的注釋只有“以御遠近勞費”六字，從字面上看，他説的是“均輸用來處理遠近、勞費方面的問題”。“遠近”是距離；“勞費”既可以按常規理解爲勞動力費用，在此章的問題中對應於“傭價”，也可以理解爲“勞、費”，此時既包括勞動力（包括其費用）也包含物品的費用（價格）。這裏没有涉及“遠近”和“勞費”是否要統籌考慮的問題，所以並不能認爲劉徽心目中就一定有與前4題吻合得好的“均輸本術”。如果按統籌考慮“遠近”與“勞費”理解劉徽對章名的解釋，那麽還有第7題屬標準的均輸問題，因爲它也把距離和費用統一考慮。所以即使按狹義來理解劉徽的標準，也不止前4題屬均輸算題。
如果按廣義來理解劉徽對“均輸”章題名的解釋，即“遠近”與“勞費”可以不同時考慮的話，那麽符合其標準的均輸問題，還有“均輸”章第8～9、12～14、16、20～21題以及王孝通引的一個算題等9個算題，因爲它們都涉及距離，對應於“遠近”。其中第8～9題涉及運輸，與“均輸”中的“輸”對應。所以如果按寬鬆標準來理解劉徽對“均輸”的界定，那麽連同前4題、第7題，《九章算術》將有14個符合其均輸標準的算題，接近此章題數之半。另外，第5節將證明，第9題的問題情境正好是戰國時秦國或秦朝少府下均輸部門的工作，此類問題原本就在均輸的範圍内。因此，用是否“均輸本術（法）問題”來對前4題與其他問題進行劃分，很可能是不妥當的。所以，無論是否按劉徽的標準，也無論是按劉徽的嚴格標準還是其寬鬆標準，在“均輸”章前4題以外的算題中肯定有一部分不是張蒼、耿壽昌新補而是早已有之的。[7]
綜合上述討論，“均輸”不是一種特定算法的名稱，其字面意思是考慮某種均等數量下的輸送。古人將這類算題歸類置於一章之中時，由於公平攤派賦税的4個算題相似性大，把它們按從易到難的順序編排成前4題。可能考慮到這類算題涉及均等、輸送，於是以首題首句的關鍵詞“均輸”作爲章名。同時，還有一些涉及到均等觀念而不涉及運輸的比例算題，在數學結構上能與粟米、衰分等章的算題區分開來，編纂者也根據其相似性把它們納入“均輸”章中。
3
“古之均輸”與“今之均輸”
宋傑、胡平生提到《鹽鐵論》中談到古、今兩種均輸。這種區分很有意義，但他們的論述比較簡單。下面做比較詳細的討論。
元始六年（前81）西漢昭帝下詔，令丞相田千秋、御史大夫桑弘羊召集郡國推舉的賢良、文學討論民間疾苦之所在。桑弘羊與賢良、文學意見相左，進行了激烈的爭論，是爲著名的鹽鐵會議。桓寬（生卒年不祥，在宣帝時爲郎，官至廬江太守丞）根據會議記録，寫成了《鹽鐵論》。此會議所討論的主題中，有一項重要的議題爲是否還要保留鹽鐵、酒榷和均輸官。賢良、文學對此持否定態度，而桑弘羊則相反。《鹽鐵論》中有很多段落對於我們瞭解均輸有重要的價值，今引述如下（爲方便指稱，我們用印度-阿拉伯數字進行標序）：
“本議”篇説：
1．文學對曰：“……今郡國有鹽、鐵、酒榷、均輸，與民爭利。散敦厚之樸，成貪鄙之化。是以百姓就本者寡，趨末者衆。夫文繁則質衰，末盛則本虧。末修則民淫，本修則民愨。民愨則財用足，民侈則饑寒生。願罷鹽、鐵、酒榷、均輸，所以進本退末，廣利農業，便也。”
2．大夫曰：“……先帝哀邊人之久患，苦爲虜所係獲也，故修障塞，飭烽燧，屯戍以備之。邊用度不足，故興鹽、鐵，設酒榷，置均輸，蕃貨長財，以佐助邊費。今議者欲罷之，内空府庫之藏，外乏執備之用，使備塞乘城之士饑寒於邊，將何以贍之？罷之，不便也。”
3．大夫曰：“……陛下垂大惠，哀元元之未贍，不忍暴士大夫於原野；縱難被堅執銳，有北面復匈奴之志，又欲罷鹽、鐵、均輸，擾邊用，損武略，無憂邊之心，於其義未便也。”
4．文學曰：“……今廢道德而任兵革，興師而伐之，屯戍而備之，暴兵露師，以支久長，轉輸糧食無已，使邊境之士饑寒於外，百姓勞苦於内。立鹽、鐵，始張利官以給之，非長策也。故以罷之爲便也。”
5．大夫曰：“……故工不出，則農用乏；商不出，則寶貨絶。農用乏，則穀不殖；寶貨絶，則財用匱。故鹽、鐵、均輸，所以通委財而調緩急。罷之，不便也。”
6．大夫曰：“……隴、蜀之丹漆旄羽，荊、揚之皮革骨象，江南之楠梓竹箭，燕、齊之魚鹽旃裘，兗、豫之漆絲絺紵，養生送終之具也，待商而通，待工而成。故聖人作爲舟楫之用，以通川谷，服牛駕馬，以達陵陸；致遠窮深，所以交庶物而便百姓。是以先帝建鐵官以贍農用，開均輸以足民財；鹽、鐵、均輸，萬民所戴仰而取給者，罷之，不便也。”
7．大夫曰：“往者，郡國諸侯各以其方物貢輸，往來煩雜，物多苦惡，或不償其費。故郡國置輸官以相給運，而便遠方之貢，故曰均輸。開委府於京師，以籠貨物。賤即買，貴則賣。是以縣官不失實，商賈無所貿利，故曰平準。平準則民不失職，均輸則民齊勞逸。故平準、均輸，所以平萬物而便百姓，非開利孔而爲民罪梯者也。”
8．文學曰：“古者之賦税於民也，因其所工，不求所拙。農人納其獲，女工效其功。今釋其所有，責其所無。百姓賤賣貨物，以便上求。間者，郡國或令民作布絮，吏恣留難，與之爲市。吏之所入，非獨齊、阿之縑，蜀、漢之布也，亦民間之所爲耳。行奸賣平，農民重苦，女工再税，未見輸之均也。縣官猥發，闔門擅市，則萬物幷收。萬物幷收，則物騰躍。騰躍，則商賈侔利。自市，則吏容奸。豪吏富商積貨儲物以待其急，輕賈奸吏收賤以取貴，未見準之平也。蓋古之均輸，所以齊勞逸而便貢輸，非以爲利而賈萬物也。” [28]
“力耕”篇説：
9．大夫曰：“……往者財用不足，戰士或不得祿，而山東被災，齊、趙大饑，賴均輸之畜，倉廩之積，戰士以奉，饑民以賑。故均輸之物，府庫之財，非所以賈萬民而專奉兵師之用，亦所以賑困乏而備水旱之災也。”
10. 大夫曰：“……故善爲國者，天下之下我高，天下之輕我重。以末易其本，以虛蕩其實。今山澤之財，均輸之藏，所以御輕重而役諸侯也。汝、漢之金，纖微之貢，所以誘外國而釣胡、羌之寶也。夫中國一端之縵，得匈奴累金之物，而損敵國之用。是以騾驢馲駝，銜尾入塞，驒騱騵馬，盡爲我畜，鼲貂狐貉，采旃文罽，充於内府，而璧玉珊瑚琉璃，咸爲國之寶。是則外國之物内流，而利不外泄也。異物内流則國用饒，利不外泄則民用給矣。”([28],27～28頁)
“憂邊”篇説：
11.大夫曰：“……故君薨，臣不變君之政；父没，則子不改父之道也。春秋譏毀泉臺，爲其隳先祖之所爲，而揚君父之惡也。今鹽、鐵、均輸，所從來久矣，而欲罷之，得無害先帝之功，而妨聖主之德乎？有司倚於忠孝之路，是道殊而不同於文學之謀也。”（[28]，162頁）
“國疾”篇説：
12. 丞相史曰：“……大夫難罷鹽、鐵者，非有私也，憂國家之用，邊境之費也。諸生誾誾爭鹽、鐵，亦非爲己也，欲反之於古而輔成仁義也。二者各有所宗，時世異務，又安可堅任古術而非今之理也。且夫小雅非人，必有以易之。諸生若有能安集國中，懷來遠方，使邊境無寇虜之災，租税盡爲諸生除之，何况鹽、鐵、均輸乎！”（[28]，332～333頁）
上述引文中，“大夫”即桑弘羊，時任御史大夫。“文學”是漢代察舉制度選拔人才的一個科目，亦指從這個科目選拔出來擔任官員的人才，這裏指後者。
上述材料説明，文學們和桑弘羊對於鹽、鐵、均輸等經濟政策實施中的實際情况有不同的認識，對其利弊也有迥然不同的估價。前者認爲應該廢止這些經濟措施，後者則主張保留。
在文學們看來，均輸是商業行爲，“與民爭利”。本來如果罷去政府的商業行爲，似應能給民間留出更多的商業空間，但他們却覺得能够表現出政府重農抑商的一種態度，因而有利於農業生産而减少商業。
桑弘羊從歷史的角度説明由於邊塞過去長期受匈奴侵害，所以武帝要大力對匈作戰，修築邊塞的防禦設施，派兵屯戍。常規的賦税不足以支持其耗費，所以要通過“興鹽、鐵，設酒榷，置均輸”來增加財政收入，以維持軍費的開支。而如果按文學們的主張罷去這些經濟措施，就會使財政空虛，缺少武器裝備，致使守衛邊疆的將士們受到饑寒之苦。
針對桑弘羊爲了保衛邊疆，必須保留鹽鐵、均輸、酒榷等國有經濟措施以提供財政支持的觀點，文學們認爲，爲了征伐和備戰而設立鹽、鐵、均輸等職官來提供用兵的財用，會使百姓蒙受苦難，是得不償失的。他們主張不用兵戈壓服而用德化來使外夷歸服，這樣就可以取消這些與民爭利的政策。
不管是文學們還是桑弘羊，都認爲他們當時的均輸主要是商業活動，只是這種活動對國家和百姓的利弊，他們有相反的認識。在第8條中，文學們提到了歷史上“均輸”的不同之處，説到“蓋古之均輸，所以齊勞逸而便貢輸，非以爲利而賈萬物也”，説明“古之均輸”與當時買賣各種物品以牟取利潤的現實迥然有别，而是用來讓不同地方的人負擔均等從而有益於貢輸的政策。儘管没有“今之均輸”的用語，但作者顯然把不同時期的均輸視爲兩種截然不同的經濟制度。他們認爲：古代按照百姓的實際情况徵收賦税，他們産什麽就繳什麽，做法合理，當時採用的均輸之法是用來“齊勞逸而便貢輸”的，意思這種均輸法讓被徵收賦税的不同人之間的負擔相等，一旦使負擔合理了，人們就没有抵觸情緒，也就會很順從地遵循這種方法進行進貢和輸送賦税。與古代不同，現在徵收賦税時，不讓他們繳納自己生産的物品，而是要上繳他們自己不生産的物品，致使百姓賤賣自己的産品來換取官吏要求的東西。有的地方還命令百姓製作布絮，官吏恣意刁難，强行收購。而收購中官吏又用奸詐手段壓低價格，使農民承受雙重的苦難，女工負擔雙倍的税收，從這種均輸中實在看不到百姓輸送物品時的“均”字體現在哪裏。文學們認爲“今之均輸”不能合理分配賦税，而是爲了謀取利益而販賣各種商品，與古之均輸的主旨完全相反，所以應該取消。
文學所説大概不能反映當時實行均輸時的全面情况，對其中存在的弊端也可能有些誇大。這姑且不論。但他們關於古今均輸的區别很有意義，其對古均輸的描述“齊勞逸而便貢輸”與多指標下的公平負擔問題反映的場景一致，在字面上也與“均輸”章第4題中“粟有貴賤，傭各别價，以算出錢，令費勞等”相一致，也屬劉徽注均輸所説“以御遠近勞費”的範圍，所以《九章算術》“均輸”章前4題的現實背景確如宋杰、胡平生所説的屬文學之士所説的古之均輸。
在第7條中，桑弘羊也説“均輸則齊勞逸”，這來源於“古之均輸”的理念，但似乎在他看來均輸的“齊勞逸”的主旨不見得是爲了讓被徵賦税的人負擔相等，而是爲着“便貢輸”。這條的上文提到，以前地方貢輸的方式不好，貢輸來的東西質量差，甚至還有所貢之物抵償不了運費的情况，所以要設置輸官來轉運，從而方便遠方的人來進貢。他還提到，均輸與市場低價買入、高價時賣出的平準結合起來。其他條中也反映出通過均輸經商而牟利[8]，所以桑弘羊的均輸與上述“古之均輸”已有很大的出入。這個均輸雖然也要考慮到對不同地方的人的進貢要有公平性，但這是一種粗放的安排，其主旨不在於讓納税人負擔均平合理，而是要利用上繳來的賦税進行轉運經商以獲利，爲國家積累財富。這種今之均輸，可以從兩個方面來理解。從初衷來説，讓各個地方進貢當地盛産的物品，由均輸官收取到别處販賣，既不增加百姓的負擔，又能爲國家開拓財政收入。即使均輸官以稍低於市場價收購當地的主産物品，也不至於造成太大的問題。但從實際執行來説，掌管均輸的有關官吏們會濫用國家權力，産生文學們所指責的逼迫百姓進貢當地不出産的物品，導致百姓賤賣自己的産品來換取官吏要求的東西，以及强行以過分低賤的價格收購物品等粗暴、腐敗行爲。也就是説，實行這種均輸，除了爲國家積累財富，還會讓官吏大肆中飽私囊，使百姓受苦受難，出現與設置均輸官的初衷相反的弊病，爲賢良文學所詬病。這種均輸便是與賢良文學所贊同的“古之均輸”相對的“今之均輸”。
總之，“古之均輸”在於讓百姓公平負擔賦税，在理想情况下“今之均輸”是以國家賦税爲底本進行轉運販賣獲利。兩種均輸都與國家財政有關，前者限於收繳階段，後者重在收繳後的利用和生財。前者的對象是糧食、物産和徭役；後者的最初階段與前者相同，後面的階段則是各種商品。當“今之均輸”出現弊病以後，則收購、收繳的對象範圍擴大，獲利的不只國家，可能更多的是腐敗的官吏了。在均輸官經商過程中，交通運輸當然是一個重要方面，所以均輸涉及到交通運輸是自然的。
仔細審察《九章算術》“均輸”章算題的現實背景，可以發現，只有前4個問題和“古之均輸”相對應，而第9個問題涉及國家的運輸活動，但與前4個問題明顯不同。第9個問題既不涉及收繳物品，也不涉及買賣，所以要説它與“今之均輸”有關係，也没有證據。其他問題中雖然有第15、27～28題也涉及抽税和運輸，但不是針對國家的商業、運輸活動，而且是政府關税部門針對民間商業進行的徵税活動，所以它們與上述兩種經濟上的均輸都没有直接的關係。當然，如上所述，這些與均輸制度没有本質聯繫的算題被安排在“均輸”章，仍是出於一種有意的設計，其根據既在於數學結構上的某些相似性，也在於章名“均輸”有更寬泛的含義。
4
“古之均輸”與多指標下的
公平負擔問題
古之均輸的思想由來已久。前人已利用《周禮》、《呂氏春秋》、《荀子》等多種傳世文獻説明先秦時期已有均輸的思想，這裏再做强調。《國語•魯語下》云：
季康子欲以田賦，使冉有訪諸仲尼。仲尼不對，私於冉有曰：“求來！女不聞乎？先王制土，籍田以力，而砥其遠邇；賦里以入，而量其有無；任力以夫，而議其老幼……若子季孫欲其法也，則有周公之籍；若欲犯法，則苟而賦，又何訪焉。”[29]
季康子想要增加田賦，派孔子的學生冉有去向孔子諮詢。孔子對其正式訪問没有回答，但私下裏對他説，先王時按土地的肥瘠、勞動者體力的强弱、土地的遠近等方面分爲不同的檔次進行徵税。孔子講到徵税方法，顯然含有均輸（限於“均賦”）的思想。其中提到4個參數：土地的肥瘠，勞動力的强弱、老幼，距離的遠近，以及物産的種類。4個參數中至少前3個與負擔公平的思想密切相關。後文中，孔子説如果季孫氏真想執行合理的徵税方法，則已有周公徵税方法作爲樣版（“若子季孫欲其法也，則有周公之籍”），由此可知孔子認爲這種徵税的方法（“先王制土”之法）是本於周公的，這與相傳出於周公的《周禮》中關於負擔公平的思想有着一致性。可見，均輸（“均賦”）思想至少可以追溯至西周初年。上引《鹽鐵論》桑弘羊也説“今鹽、鐵、均輸，所從來久矣”，也反映了漢代人認爲均輸有古老的淵源。
上述均輸（“均賦”）制度實際是按公平的理念徵收賦税的方式，爲了貫徹這一理念，需要考慮影響公平的多項指標，設計算法來計算賦税的數量。而這就是多指標下的公平負擔問題的數學方法。所以這些數學方法應該有很早的淵源，在西周初期應有這類方法的原始形態。鄭衆注《周禮》“九數”時,提到其中有“均輸”這個科目，或許也反映了在西周時代已有適應於這種制度的均輸類算法和相應的算題。
《左傳》記載蒍艾獵、士彌牟築城等幾次大的土木工程，都要制訂計劃，考慮多方面的因素。這就必須用到多種類型的數學方法，其中包括與多指標下公平負擔的均輸問題在數學結構上相似的數學方法，同時也會用到與“均輸”章中相對簡單一些的數學方法相同或相似的算法。商鞅變法之後，秦國對工程修築的計劃和實施有着更爲嚴格的規定，其中用到這類方法自然不在話下。（[9]，146～152頁；[11]）
應該指出的是，上面的討論只是證明在先秦應該有多指標下的公平負擔問題的數學方法，並未證明“均輸”章這種問題産生於當時。不過，前面説到《九章算術》“均輸”章的多指標下的公平負擔問題與桑弘羊的均輸不合而與當時所謂的“古之均輸”相合，説明這4個問題來源於比桑弘羊更早的時代。出土簡牘證明了這一點。
阜陽發掘的文帝時一座墓葬有數學書，可惜保存很差，但其中有兩個殘片對於我們研究多指標下的公平負擔問題很有價值。這兩個殘片的文字是：
□萬一千二百户行二旬各到輸所 （28號簡）
千六百 （20號簡）[3]
胡平生認爲這是《九章算術•均輸》第1題的殘文，前一個對應於“丁縣一萬二千二百户，行道二十日，各到輸所”，簡文“一千”、“二旬”在《九章算術》中分别作“二千”、“二十日”，“皆無傷大體”；後一個簡文是“車一千六百二十二乘”的一部分。[3] 筆者在古文獻數據庫中，没有查到其他與上述殘文相合的文字，説明這不是巧合，而是同一個題目稍爲有異的文本（簡文“一千”可能是“二千”之誤）。因此，《九章算術》的這個問題，至遲在公元前157年就已存在。可以想見，該章大多數其他問題也應有更早的淵源，不必等到武漢帝時代纔出現。當然，此題的文字經過了整理者（應爲耿壽昌）的修改。
“均輸”章第4題用到一個常數“重車日行五十里，空車日行七十里”，這個常數又見於第9題（詳第5節），在後者中這個常數是作爲郵傳的程出現的，屬法律的範圍。果然，張家山漢簡《二年律令》中的“徭律”記有：
事委輸，傳送，重車重負日行五十里，空車七十里，徒行八十里。[30]
“重負”二字大概是要强調重車裝有滿負荷。這條徭律的規定中，用傳車委輸時空車和重車的速度標準與上述題目正好相同。該徭律甚至還規定了不用車步行時的標準速度爲日行80里。因此，這個算題是在這條法律實行時代形成的。這條法律在漢初施行，它有可能是漢初的新規定，也可能是漢初沿用前代的法律。到底是哪種情况呢？後面我們將説明，新公布的嶽麓書院藏秦簡和北大秦簡給我們提供了肯定答案，只是秦簡顯示戰國時代的秦國或秦代，採用了更爲嚴苛的數量標準。所以，“均輸”章的第4個問題，很可能在秦國或秦代有其藍本，只是採用了不同的數據。到了漢初，張蒼可能根據放鬆了標準的徭律，對問題進行了修改。可以想見，該章前3題，也可能是在更早時代就有其藍本的。
5
少府下的均輸與相應的均輸問題
《鹽鐵論》中的文學們認爲漢武帝以來實行的均輸不是他們所崇尚的“古之均輸”。那麽他們所理解的“今之均輸”是否就是漢武帝以來纔有而以前没有的呢？我們認爲今之均輸有兩方面的要素：一是政府在物資豐富特别是糧食豐産而價賤時買進，物資缺乏特别是糧食减産而價貴時賣出，以起到平抑物價、穩定社會的作用，實際相當於平準的作用；二是政府通過轉運物資、異地商賈，以達到增加財政收入的目的。通過對照可知，這兩方面在“均輸”章的問題中都没有反映。所以“均輸”章與漢武帝的均輸法是没有關係的。不過，均輸與運輸有關，這在張家山漢簡《均輸律》中有反映：
船、車有輸，傳送出津、關，而有將嗇夫、吏，嗇夫、吏與敦長、方長各□□見其□□將，有盜，出□□置皆如關□。二二五
■均輸律 二二七[9]
簡文（簡文後的漢字數字是竹簡的編號）保存不完整，具體的内容也不是很清楚，但可以看出這是講水路和陸路運輸的管理，涉及貨物運送出渡口、關卡時有關官員的職責和出現問題時的責任與處罰。除了講到的運輸會涉及到與數學有關的速度、時間、里程、貨物和人力的多少等因素外，看不出律文本身和數學上的均輸是什麽關係。所以，這種經濟上的均輸遠在漢武帝之前，不論數學上的均輸與經濟上的均輸是否完全對應，都不能由這種經濟上的均輸斷定《九章算術》的均輸在漢武帝中後期纔有。不過，上文提及“均輸”之名的材料都不早於漢代。那麽之前是不是已經有的呢？我們對此做一考察。
《越絶書》中有“均輸”之名：
吴兩倉，春申君所造。西倉名曰均輸，東倉一里八步。後燒，更始五年，太守李君治東倉爲屬縣屋，不成。[32]
這裏提到春申君（？～前238）所造的西倉取名均輸，可見戰國時代的楚國已此名。此均輸倉是否與商業活動有關，尚無法判斷，但這個倉名“均輸”係借用已有名詞的可能性，也不能排除。
《嶽麓書院藏秦簡》爲我們瞭解其他均輸算題的時代背景提供了證據。其中説到：
⍁少府均輸、四司空，得及自出者，吏治必謹訊，簿其所爲作務以[33]
這條簡文保存不完整，但所存簡文的“均輸”，明確證明“均輸”之名早在先秦或至遲在秦代就已存在。一般認爲，先秦時期韓國已有少府。秦漢時期的少府是管理帝王皇室財政的機構，供養國君，爲九卿之一。又有將作少府，掌治宮室。皇太后、皇后亦有宮官曰少府。將作少府下有司空，是負責工程營建的官。[34-35] 上引簡文前有殘斷缺失的部分，所存簡文内容太少，不能詳知，但從簡文應可推知在秦代（秦國），此均輸是少府（是不是將作少府？）下的一個職官。
前面説到，文學們指責“今之均輸”“爲利而賈萬物”，“與民爭利”；桑弘羊也説“均輸”“蕃貨長財”、“佐邊費”。他們對於均輸看法的一個共同點是，均輸官通過商業行爲獲取利潤。結合少府管理皇（王）室財政的職能看，上引秦簡中均輸作爲少府的一個職官，除了運送和儲藏帝王所需要的物資外，還可能通過商業交易獲利而積累財富。
無論如何，秦簡的均輸官，與皇家内府的財物有關，涉及皇室財物的運輸乃至經營。所以經濟上的均輸，在秦國或秦代至少有兩個方面，一是國家收税和徵役時考慮多個因素的公平負擔，二是皇（王）室私家財物的運輸、管理與經營。這兩種均輸，都涉及運輸，都屬官府的工作，就需要有相應的規定。上述漢簡中的《均輸律》雖不完整而没有提供與數學有關的信息，但《徭律》中的數據，應該運用於這種均輸，尤其是皇家的均輸。這種運用可以在數學問題中找到相應的根據，如上面提及的《九章算術》“均輸”章第4題（引文詳上文）和第9題。後者是這樣的：
今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉粟輸上林，五日三返。問太倉去上林幾何?
荅曰：四十八里一十八分里之十一。
術曰：幷空、重里數，以三返乘之，爲法。令空、重相乘，又以五日乘之，爲實。實如法得一里。（[25]，227～228頁）
首句的“程”字，有一異文作“乘”，郭書春在對應的第146條校勘記中認爲後者更好（[25]，262頁），但没有改動原文。這個取捨是有問題的。按筆者的考證[12]，此字作“程”遠比作“乘”字更合理。這個問題反映了官府利用傳這個交通系統從太倉向上林苑運送糧食的史實。但它不會是現實問題的直接移録，而可能是根據更早時代已有的問題改換數據而成的。
“均輸”章的這個算題中提到的“上林”即上林苑，是秦漢的皇家園林，屬少府管理。而秦簡又記載少府下有均輸，因此，“均輸”章的第9題，很可能其藍本原本就應該屬均輸。也就是説，均輸在秦代或更早時代，就至少有兩類問題，一類是多指標下的公平負擔問題，另一類是與少府下均輸官的職能有關的運輸問題。當然，當時的均輸問題應該還有其他類型的，但或已不存於今，或因信息太少而難以分辨了。在秦至漢武帝之間，我們能找到類似的算題，説明這類算題是的確可以向前追溯的。
21世紀初，在比漢武帝實行均輸法早四五十年的睡虎地漢墓中，出土了一部竹簡算書，名曰《算術》。其時間在西漢文帝末年（公元前157年）至景帝（公元前157年～公元前141年在位）初年之間。此書目前只有少量材料公布。這些公布的材料中有一張含有十支簡的照片，其中從左往右數的第2和第3支簡的釋文如下：
· 重車日行五十里，空車日行七十里。今一日七反，問載、輸所相去幾（第2支）
何里？曰：四里六分里一·術曰：幷空、重，以七反乘之，爲法。空、重相乘，爲實。（第3支）[12]
“反”通“返”，是指一個往返。“載、輸所”是指裝載物資出發地和物資運達的目的地。這兩支簡構成了一個算題，包括題設、答案和解法，文字是完整的。
《算術》這個問題與上述《九章算術》“均輸”章第9題互有異同。它們都用到重車每日所行里數、空車每日所行里數、某段時間内往返的次數、路途遠近這4個數據，都是已知前3個求第4個。前者是5日往返3次，後者是1日往返7次，時間正好是一日。與此對應的術文在求被除數（“實”）時，前者要比後多一個步驟“以五日乘之”，後者則没有用日數去乘的步驟，這實際也相當於用“一日”去乘。[12]這兩個問題的相似性、其中都用到西漢初期徭律規定的程，説明《九章算術》的這個問題即使其本身是漢武帝時代定型的，它也以更早時代的相似算題爲原型，與桑弘羊推行的均輸法没有關係。
筆者根據多方面的證據推論，“《二年律令·徭律》中對委輸的空車、重車和不駕車步行的速度的規定，很可能屬漢承秦制，而非漢初所增益。因此，相應的算題和算法應該在秦代或戰國時秦國出現過。”[12]果然，我們在最新公布的嶽麓書院藏秦簡中發現了與漢初《徭律》關於委輸的程相似的規定：
繇律曰：委輸傳送，重車負日行六十里，空車八十里，徒行百里。（[33]，150頁）
“繇”通“徭”，“繇律”即“徭律”。律文“重車負”，對比張家山漢簡《二年律令》的《徭律》，“負”字前少了“重”字，也可能是秦簡脫落了“重”字。比較兩條徭律，有兩點值得注意：（1）漢簡的數據與秦簡不同，説明漢律不是照抄秦律。《九章算術》“均輸”章第4題、第9題以及睡虎地漢簡《算術》的委輸算題採用的不是秦代而是漢代的數據，説明這三個算題的定型是在漢代而不是在戰國時代的秦國或秦代。（2）漢律與秦律的内容在性質和格式以至行文上都是一樣的，只是數據上比秦律要放得寬，説明漢律沿襲了秦律而修改了數據。我們知道秦律苛繁而嚴格，這兩條律文提供了新的實例[10]。秦簡的徭律説明秦國或秦代也應有這類算題，《算術》和《九章算術》的這些算題，應該是以前代的同類算題爲藍本結合漢代的數據進行修改而來的。而秦簡所記少府下有均輸，説明《算術》的委輸算題和《九章算術》“均輸”章第9題原本就是均輸類算題，後者本來就出現在耿壽昌之前《九章算術》版本的“均輸”章内，而且《九章算術》在秦或先秦的祖本中，就有這一問題的藍本。
秦律除了對陸路的行程做出規定外，秦簡中還發現了對水路的行程做出的規定。據辛德勇介紹[38]，在北京大學藏秦簡中，有一種水陸里程簡册，“比較詳細地記録了秦南郡内部及其迤北直至洛陽的道路里程”，“具有濃重的官府文書色彩”。它在記述各條道路行經的具體地點之前，開頭就記述了“每日行程的定額”：
·用船江、漢、員（溳），夏日重船上日行八十里、下百卌里，空船上日行百里、下百六十里。（04-211)
春秋重船上日行
冬日重船上日行六十里、下百里， 空船上日行
它小水，夏日重船上日行六十里、下八十里，空船上日行
春秋重船上日行卌五里、下六十里， 空船上日行五十里、下八十里。（04-053)
冬日重船上日行卌里、下五十三里，空船上日行五十里、下
辛先生指出“這種根據江河水量及其季節變化而制定的每日最低運行里程限制，應該是官方頒行的法規”。
引文中，簡文後括號内的數字是簡號。04-054號簡開頭有“它小水”，意思應該是其他水量小的情形（或河流），這是相對平常水量的情况而言。“它小水”除針對此簡外，亦針對以下的04-053號簡和04-046號簡。在簡文給出的這些規定中，按季節分爲夏日、春秋和冬日三種，船的情况分爲裝載貨物的重船和不裝載貨物的空船兩種，航行方向分爲逆流的上行和順流的下行兩種。從夏季、春秋到冬季，定的指標大都越來越低（只有一個例外,就是在水量小的河流裏，上行的空船在春秋與在冬日的標準相同,都是日行五十里）；從重船到空船、從上行到下行，定的指標都是從低到高。這種特點反映出秦人所訂標準的合理性。
這幾條前面有“用船江、漢、員（溳）”，説明針對的是官船在這幾條河的水運。雖然在其他水路的標準可能不完全相同，甚至有的小河也可能没有制定固定的標準，但這幾枚簡反映出秦律對官船運送貨物確實制定過嚴格的日速標準。可見秦代對官府從陸路和水路運送貨物都制定了程。按理説，爲了適應經濟管理和經濟活動的需要，兩類算題都應該在當時存在過。可惜的是，關於水路的算題已不存於今，關於陸路的算題也是絶無僅有了。
6
從出土算書看納入“均輸”章
的其他算題及算法
上節證明，“均輸”章第9題應該在《九章算術》先秦祖本中有其藍本，説此章後24題均爲漢代人新補的非均輸本術問題，是不合適的。那麽其他23題與王孝通所引的算題是不是漢代（主要是耿壽昌）新補的呢？我們先回顧一下前人是怎麽做出判斷的。前人判據有二：一爲是不是“均輸本術問題”，二爲是否具有術文統率應用問題的形式。
第2節已經證明，“均輸本術”並不是一個意義明確的概念，不宜用是否“均輸本術”來對前4題與其他算題進行區分，而且明確與“均輸”字面意思相合的也不限於前4題，故第一條判據不足爲憑。
第二條判據基於三方面的理由，一是把《九章算術》中體例爲“一題一術且術文未脫離題設的具體對象及數值”的部分剔除，則餘下的體例爲術文統率應用問題的部分與鄭衆、鄭玄所説的“九數”名目一致；二是邏輯水平的差異；三是物價差異。
先看第一方面的理由。剔餘部分内容而只保留術文統率應用問題的算題後，固然能與二鄭所列的“九數”一致，但保留一些“一題一術且術文未脫離題設的具體對象及數值”的算題也不見得就不一致。《九章算術》的章名與“九數”完全相同的有包括“均輸”在内的六項，兩者有差異的只有三項：“衰分”對“差分”、“盈不足”對“贏不足”、“勾股”對“旁要”，其中前兩項都公認是同義詞，存在區别的只有第三項。被認爲存在體例差别的有衰分（與差分）、均輸、盈不足（與贏不足）、勾股（與旁要）四項，而如果把算題與科目名稱做對照，可知算題超出科目名稱的還有方田（如關於分數四則運算的問題）、粟米（如其率與反其率算題）兩章。可見算題體例上的差别遠遠超出科目名稱上的差别，兩類差别對應得相當不好。另一個值得注意的是，就“均輸”章而言，前4題也是一題一術，第3、4題的術文中也出現了題設中給出的常數[11]；而關於負籠的第8題、關於鳧雁的第20題、關於牝瓦牡瓦的第22題、關於程耕的第25題以及關於五渠注池的第28題等五個問題都採用了“脫離題設具體對象及數值”的“抽象性術文”（2.2節有引文）。也就是説，從術文體例看，此章後24題中至少有5個與前兩題是一樣的，而第3、4題與它們接近而稍有區别。
第二條理由有關邏輯水平。戰國時期的邏輯水平可能總體上是比漢代高，但這不意味着某本具體的著作在總體邏輯水平較高時期的版本要比之後總體邏輯水平較低時期的版本在體例上要嚴整，後來者繼承已有的體例不是什麽難事，不必把已有的規整體例改亂。實際上，不管什麽時期，把多種多樣的數學方法和數學問題劃歸到若干科目中時，往往會有不少内容難以與科目名稱完全一致，這時按照相似性原則把這些内容劃歸到不同的科目中去，乃是自然之事。這種情况在現代也不少見。另外，按劉徽的説法，《九章算術》有在先秦時期的祖本，它又是從周公制禮時的“九數”發展而來，可見它們屬儒家一脉的數學，與墨家、名家特别强調辯論和邏輯的風格區别很大。所以，從戰國與漢代總體邏輯水平的差異來區分其内容的時代，有效性是不高的。
至於用物價討論《九章算術》内容的時代，由於所用戰國和秦代的物價材料太少，而漢代存續時間長，物價在不同時期、不同地域變化很大，故此種方法局限性比較明顯。不同學者所搜集的材料不盡相同，就可能得出偏向性不同的結論。就“均輸”章而言，主張用物價判斷算題時代的前輩學者只對第3、4、15題做了對比，結論是前兩題較接近戰國與秦代，後一題與漢代接近[7]。可是,也有學者指出，第3、4題粟價有8種，每石在10～20錢之間，與《秦律•司空律》每石30錢有明顯的差别。漢代粟的正常價格爲30～80錢，但早期的文帝時代和中後期的昭帝、宣帝時代却有很低的價格，文帝時曾低至每石“十餘錢”，正與第3、4題相合；而昭帝、宣帝時期也曾出現過低於正常值的價格，最低時曾下降到5～8錢，故主張此二題“很可能反映了漢朝文帝或昭帝、宣帝時糧價低廉的狀况”。（[2]，194～195頁） 如上所述，第4題用到漢代而非秦國或秦代的徭律數據，它並非戰國或秦代的原題，而是經漢代修改過數據的算題。無論如何，物價問題涉及的算題太少，對我們討論的主題意義不大。
總之，並没有較好的理由證明《九章算術》“均輸”章後24題都是在漢代補入的，其中確實存在早就存在的算題。下面我們從出土算書看這類算題是不是可以産生於比較早的時代。筆者曾通過對比發現，《算數書》中有一些問題與《九章算術》“均輸”章的一些問題在算法上甚至在問題情境上都相似。比如，前者第16條“負米”算題與後者第27題都是帶米過三關、由抽税後餘下的米求出關之前所帶米的問題，只是前者三關的税率都是，後者則外、中、内關的税率分别爲
無獨有偶，嶽麓書院藏秦簡《數》中被整理者置於“衰分類算題”下的問題中也有幾個與《九章算術•均輸》中上述5題以外的問題相似的算題。
1．有金以出三關，關五兌（税）[一]，除金一兩，問始盈金幾可（何）？曰：一兩有（又）六十四分兩之六十一。其述（術）曰：直（置）兩而參四之，[以爲法；又參五之，以爲實] 0832 [39]
簡文有通假字，整理者蕭燦在圓括内標出；兩“關”字在原簡上利用重文號寫作“關=”，今直接改爲所重之字；“除”字前方括號内的“一”字是蕭燦補入的。[12]“以爲法；又參五之，以爲實”是筆者校補的文字，已爲整理者所引。從運算上説，按術文進行運算後還應有“實如法而一”的運算步驟，但原文可能有，也可能省略了。這些意見筆者曾提出過，已爲整理者所引。《數》0832號簡的問題與《九章算術•均輸》第27、28題有相似之處。在數學結構上第27題與《數》的問題更接近，都是已知三關的税率和税後的餘數，求原來所帶物品的數量，只是《數》的問題三關税率相同而第27題三關税率不同，且前者是帶金出關，而後者是帶米出關。第28題與《數》的問題都是帶金出關，已知各關税率。但前者是三關税率相等，已知税後餘數；後者是五關且各關税率不同，已知抽税總數。無論如何《數》的這個問題如果按《九章算術》的分類，應該置於“均輸”章中。
《數》中編號爲0851、0838的兩支簡構成一個算題：
2．竹[十]節，上節一斗，下節二斗，衰以幾可（何）？曰：衰以幾可（何）？曰：衰以九分斗一。其述（術）曰：直（置）上下數，以少除多，以餘爲 0851 衰（實），直（置）節數除一焉以命之。 0838 ([39],95～96頁)
這個算題與《九章算術•均輸》第17～19題是一類。第19題與此題都是關於竹筒的，但前者已知的是上4節總容量與下3節的總容量，後者是已知上一節與下一節的容量，要簡單一些。從數學結構上看，《九章算術•均輸》第17題是已知金棍兩頭各一尺的重量，與《數》此題的數學結構相同。值得注意的是，第19題的設問句作“問中間二節欲均容，各多少?”（[25]，235頁）意思是“想要讓中間相鄰二節容量均勻地變化，問各節的容量是多少？”原文用到的“均”字，是“均輸”一詞中的一個詞素。這或許是此題納入“均輸”章的一個原因（另一個原因是此題能與“粟米”、“衰分”章的算題在數學結構上區分開來）。
3．米賈（價）石六十四錢，今有粟四斗，問得錢幾可（何）？曰：十五錢廿五分錢九。其述（術）以粟米[13]求之。 0305
蕭燦認爲，這個問題“與《九章算術》‘均輸’章第11題相類，但不是‘均輸’算法”。（[39]，96頁） 《九章算術•均輸》第10～11題與《數》的這個問題都具有這樣的結構：已知A:B和B:C，要由A的取值求C的值。在《數》此題中，A、B、C分别是粟、米、錢；在“均輸”章第11題中，A、B、C分别是稗、糲、惡粟，實物種類較近；而“均輸”章第10題講的是3種絲，實物種類隔得較遠。
4．□□且禀米五斗於倉，倉毋米而有糙，糙二粟一，今出糙幾可（何）？當五斗有（又）十三分斗十。倉中有米，不智（知） 0819+0828
蕭燦指出“倉中有米，不智（知）”“應是算題的另一問，或者是另一算題”的文字。她還認爲此題與《九章算術•均輸》“第6題相類，但不是‘均輸’算法”。（[39]，96～97頁） 兩題的數學結構完全相同，都是用兩種物品按1:2的比代替所要領取的物品：《九章算術》中所要領的是粟，用來代替的是（糲）米和菽；而在《數》中則是用糙米和粟來代替（糲）米。
漢簡《算數書》和秦簡《數》中都不分章、分篇來組織其内容，而是由一些相對獨立的條目構成，且都没有使用“均輸”一詞。這並不意味着“均輸”在先秦和秦代不曾作爲一個數學類别的名稱。“均輸”在鄭衆所注“九數”和現傳本《九章算術》中都作爲一個數學門類出現，劉徽記載《九章算術》有其先秦藍本，上述兩種算書是“以吏爲師”背景下的非經典系統的數學文獻，與從“九數”到《九章算術》的經典系統不同[40-42]，故不能用《數》和《算數書》否定在先秦和秦代有“均輸”這一數學門類。張家山漢簡《算數書》是來源於更早時代的不同算書的“撮編之書”[10]，嶽麓秦簡《數》也具有類似的性質（[39]，154～155頁），它們證明，《九章算術》“均輸”章後24題中有相當一部分的算題，很可能從先秦至漢初一直流傳着，不必等到西漢中後期由耿壽昌補入，甚至不必等到漢初張蒼纔補入。當然，不管是這些算題還是前4題，都可能經過張、耿的修改。
7
結 語
綜上所論，劉徽一方面認識到《九章算術》“均輸”章前4題具有處理公平攤派賦税的特點，另一方面也認爲這個數學分支具有更爲寬廣的範圍，能處理更爲寬泛的問題。他的認識與出土文獻中顯示出“均輸”不限於處理公平攤派賦税的事實可以互相印證。《九章算術》“粟米”、“衰分”和“均輸”三章都處理比例問題，但三者界限比較明顯，能彼此區分開來。“均輸”章内容豐富、貌似龐雜，但其編排並非如一些學者所認爲的具有很大的隨意性，而是具有高度一致性，這與之後的“盈不足”章選材的高度一致性[43]類似。這些反映出《九章算術》作爲經典在一致性上有着較高的要求。
不論是經濟措施上的均輸還是數學上的均輸，都有很早的淵源。經濟上的均輸至少包括兩種情况，一種是考慮多種因素下的公平攤派賦税的方式，一種是皇室（王室）少府所屬均輸官的財物管理與經營。兩種都涉及物資的運輸，都産生於先秦時代（至遲爲秦代，但可能性很小）。前一種可能更早一些，有可能開始用“均賦”來描述它，對應於多指標下的負擔如何公平的算題與算法，《九章算術》“均輸”章前4題屬這種類型；後一種對應於反映官府按特定的方式進行運輸、經營的算題和算法，“均輸”章第9題屬這種類型，但今存此類算題太少。
古人面對現實生活中較爲複雜的經濟活動時，可能會將其中的數量關係加以選擇和提煉，在有關數量的參數之間尋找當量關係，利用今有術、衰分術和率概念等知識，構造算題和相應的算法。其中有一些與輸送有關，算題中會有“均”、“均輸”、“均賦”之類的關鍵詞。由於賦税的徵收往往需要輸送，所以這樣的算題有時會出現“均輸”一詞，因此公平攤派賦税的算題可以用“均輸”來描述。同時，涉及運輸的其他類型算題亦可能用到均等的觀念，也可以用“均輸”來描述。古人還會將這些與“均輸”一詞相聯繫的算法靈活運用到與之有類似數學結構的其他算題中，或將這些算法進行變通與改造，運用到更多種類的算題中，形成新的算法。這些算題和算法由於與“均輸”有或近或遠的關係，當需要整理歸類時，古人可能會想到把它們歸到“均輸”名下。同時，由於早期對作爲數學科目的“均輸”一詞的含義只有大致的理解而没有明確的界定，所以一些從其他途徑得到的算題和算法，也可能被歸到“均輸”名下，從而豐富均輸的内容。《九章算術》在先秦的祖本的“均輸”章（或篇）可能是這樣形成的，其時“均輸”與“粟米”、“衰分”（或“差分”）兩部分能區分開來或大體上能區分開來。不過，這些算題也可能與其他關鍵詞發生聯繫，所以它們被歸類到“均輸”名下，還可能有别的原因，2.3節中提到的採用第1題首句中的關鍵詞命名的方式，就是原因之一。
經過秦始皇焚書事件和秦末戰火，《九章算術》在先秦和秦代的祖本受到損壞，“均輸”章也會遭受損失。張蒼和耿壽昌結合當時的社會實際對它們進行了不同程度的改造（比如用漢代的程中的常數、計量單位對原先的常數和計量單位[18]進行更換與調整），並增補若干算題與相應的算法，形成了流傳至今的《九章算術》“均輸”章。張、耿在編纂《九章算術》時，應該根據算法的複雜程度和相似性，對置於“均輸”章内的算題及其編排進行了考察和確認，使它們能與“粟米”和“衰分”兩章的比例算題區分開來。現傳本《九章算術》“均輸”章的算題中，上述第1～4、9題來源於其先秦藍本（經過漢代的改造），是可以肯定的；其他算題中有多少是漢代補入的，尚難論定。但是，第6、11、19、23、27～28題在秦簡《數》和漢簡《算數書》中有與之很接近的算題，第7題與對劉徽“均輸”章名注釋的狹義理解非常符合，它們很大可能性也有其先秦藍本；第8、12～14、16、20～21題與對劉徽“均輸”章名注釋的廣義理解也相合，也有一定可能性存在其先秦或秦代的藍本。
漢武帝時期作爲國家經濟政策的均輸，必然需要數學方法的參與，但以此爲問題情境的算題在《九章算術》中並没有明顯的體現。由此看來，耿壽昌在對《九章算術》尤其是“均輸”章進行整理和删補時，具有恢復原有經典的强烈意識。由此推論，他在補入算題時，可能很少補入全新的類型；同時，流傳至今的漢代編成本《九章算術》中“粟米”、“衰分”、“均輸”三章呈現出各自的内在一致性，列入各章中的算題是編纂者刻意爲之，而非隨意安排，這些特點也很可能主要是繼承自其在秦或先秦的版本。理解這一點，對於我們理解《九章算術》及其祖本的系統性和經典性，都具有非常重要的意義。
説 明
本文的大部分内容曾於2015年10月在中山大學舉行的第九届全國數學史學會年會暨第六届數學史與數學教育會議上以《從考古材料看中國上古時代的均輸問題》爲題報告過，其絶大部分内容於2016年12月在北京舉行的中國科技史家的使命與實踐——紀念中國科學院自然科學史研究所成立60周年學術研討會上以《均輸問題新探——基於出土文獻的研究》爲題報告過。
盲審專家提示補充《算數書》的資料，筆者在修改過程中一並補充了《數》的資料。謹致謝忱。
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注 釋
[1]《漢書·食貨志下》也有與《平準書》非常接近的文字。（[17]，1167～1168頁）
[2] 劉徽給《九章算術》作注時寫的序中説，先秦時期在西周“九數”的基礎上已形成了一部《九章》，此書經歷了秦始皇焚書事件（其實還應有秦末戰火）而受到損壞，張蒼、耿壽昌在收集其遺殘的基礎上進行删補，形成了漢代編定本的《九章算術》。也就是説，《九章算術》有很早的淵源，張蒼是流傳後世的漢編《九章算術》的首個編纂者，耿壽昌是最後的編纂者，因而《九章算術》成書於公元前1世紀中葉。關於《九章算術》的成書年代，曾有不同的意見，筆者利用多重證據對這一問題進行了論證，肯定了劉徽的記載，幷對耿壽昌在《九章算術》編纂中的作用進行了具體的分析。[18]
[3] 比如黃展岳的《張家山漢墓不會是張蒼墓》（《中國文物報》，1994年5月1日，第3版）、高大倫的《江陵張家山西漢墓主之謎仍是謎》（《中國文物報》，1994年5月29日，第3版）。
[4] 如李儼曾説，“均輸章二十八題中惟首四題係均輸本術問題，餘爲假借法之應用”[21]；李繼閔説“前四問爲均輸之本法”[22]，又説“均輸章各術皆未有其名，又均輸本術四題，術文皆各不相同，後三術未冠其名，此首題亦不應標名”，“類此叙述於均輸本術四題中，均見於注文”，“按均輸本術四問，劉注皆略述大要而李注則備説其詳”[23]；郭書春則説“均輸是《九章算術》的第六章，實際上該章只有四個均輸問題”（[5]， 20頁），這“四個均輸問題”是指錢寶琮所説的該章前4個均輸本術問題。劉鈍《大哉言數》[24]在前面提到“《九章算術》均輸章的前四題爲均輸本法”，用“本法”，但後面又説“《九章算術》均輸章中的題目幷不局限於均輸本術”，又用的是“本術”了。
[5] “算”，又寫作“筭”，是漢代一種人頭税的單位名，起徵或免徵年齡以及一算的多少在不同的時期可能有變化。常見的徵收算賦的年齡是15至56歲，一算爲120錢。筆者認爲用成年勞動力徵收人頭税概括這種税比較合適。[26] 一個地區算數的多少反映了這個地區主要勞動力的數量。
[6] 如果甲縣只需從數據上將所繳之粟劃分出來而不必從原倉庫裏搬運到其他倉庫，可以不必考慮這些因素。但原文説甲縣的粟“自輸其縣”，應該還是需要搬運的，所以裝、卸的時間、相應的人工費用仍應計入才合理。
[7] 早已有之的算題可能被他們做過程度不一的修改，不光後面的算題，前4題也可能被修改過，至少第4題就被修改過。詳見第5節。
[8] 如第2條中桑弘羊説的“置均輸，蕃貨長財，以佐助邊費”，第6條説“開均輸以足民財；鹽、鐵、均輸，萬民所戴仰而取給者”，第9條“賴均輸之畜，倉廩之積，戰士以奉，饑民以賑。故均輸之物，府庫之財，非所以賈萬民而專奉兵師之用，亦所以賑困乏而備水旱之災也” 。
[9] 《均輸律》在整理小組公布的材料中含有編號爲二二五、二二六和二二七的3支簡（[30]，39頁）。李冠廷、游逸飛[31]認爲二二六號簡應移入《津關律》，他們還對釋文做了修訂。本文採用他們的這些意見。但他們把“均輸律”譯爲“均平運輸之勞費的法律”，這是不妥當的，既對劉徽注理解不全面，也没有考慮到均輸的複雜性。
[10] 筆者曾對比過睡虎地秦墓出土的秦律與張家山漢墓出土的漢律，以及漢初與秦不同的社會背景，説明漢初在與統治無關的法律方面，不會制訂比秦律更爲嚴苛的法律，漢律可能將秦律的規定放鬆。[36] 針對這兩條律文，陳松長説：“一看就知道，秦代的徭役明顯苛重一些，特别是徒行，其日程的規定居然多出二十里，可見秦代對行徭之人的規定比漢代確實苛酷得多。”[37]
[11] 第3題術文中有“以一車二十五斛除之”，第4題有“加載、輸各一日，而以六人乘之，又以傭價乘之，以二十五斛除之”。
[12] 下面的引文也採用類似的記法和處理方式。
[13] “粟米”原作“粟=”，這裏的重文號表示所重之文爲“粟”字下的部首“米”而非整個“粟”字。蕭燦認爲“粟=”是“粟米”的合文。（[39]，96頁）
注：本文原刊於《自然科學史研究》2020年第39卷第4期第395-424頁，此次刊於簡帛網前糾正了個别錯訛。
感謝鄒大海先生授權發佈。
編輯 | 張志鵬
審核 | 魯家亮