秦漢简 | 鄒大海：從出土文獻看秦漢計量單位石的變遷
從出土文獻看秦漢計量單位石的變遷
鄒大海
（中國科學院自然科學史研究所）
一
問題的背景與意義
度量單位的建立和選取，不僅涉及各種社會活動，而且與科學特别是數學密切相關。從歷史的角度看尤其如此。中國古代數學活動的主要方面，通常是創造和發展解决實際問題的數學方法，因此計量系統就從社會的各個方面對數學方法和數學知識特别是其表示方式産生影響。本文不打算系統討論這樣非常廣泛而複雜的問題，而是專注於以一個古代常用的單位石在中國上古時代（從戰國時秦國，經秦朝到漢代）的變遷爲中心，從數學、計量和社會經濟等互動的角度，對有關問題做一較爲深入的討論。希望能以小見大，深化我們關於上古時代計量系統的認識，幫助我們解答多種古代文獻中存在的若干疑難問題，促進我們對中國古代數學史及其與社會背景的關係的理解。
二
研究現狀和本文關注的問題
有關本論題的研究很多。這裏只能擇要加以介紹。很多的古文字學家和歷史學家整理了大量的考古文獻和傳世文獻，是我們這一研究的基礎。其中最重要的工作是以下幾種：（1）彭浩先生等對出土於湖北省江陵張家山247號漢墓（約公元前186年）的《算數書》的整理研究[1]，（2）肖燦博士等對湖南大學嶽麓書院藏秦簡《數》（約公元前212年）的整理研究[2]，（3）陳松長先生對香港中文大學文物藏簡牘的整理研究[3]，（4）郭書春先生對《九章算術》（約公元前1世紀中期）的整理研究[4]。
楊聯陞[5]、陳夢家[6]和很多學者對大石、小石的研究[7]。
魯惟一（Michael Loewe）、張世超等對秦漢穀物計量的研究[8]。
丘光明[9]等學者對中國古代度量衡的研究。
筆者[10]和彭浩先生[11]對睡虎地出土秦律和張家山漢簡《算數書》中幾段關鍵材料的校釋。
筆者曾提出在戰國時秦國、秦代到西漢初期的政府倉儲部門中，存在着一種根據不同種類的糧食，採用不同的數量作爲單位石之標準的計量系統[12]。爲便於行文，本文把這種特殊的計量系統稱爲多值制。
本文將集中討論以下幾個方面的問題：
（1）秦國、秦朝到西漢早期政府倉儲事務中的關於單位石的多值制系統。
（2）西漢中期以降大石、小石制系統的特點。
（3）多值石制向大、小石制的轉變。
（4）從石的計量制度及相關法規看《九章算術》的社會背景。
三
秦漢政府倉儲事務中多值制的石
學術界都知道，在秦漢時代，石一方面是重量單位，等於120斤。秦朝前後的一斤約當253克[13]，一石約爲33.36千克。另一方面，石是一個體積、容積單位，等於10斗或100升。當時的一升約當200毫升[14]，因此一石約爲20公升。以前，很多學者利用這一標準來解讀上古時代的大量相關文獻，導致了不少矛盾或做出强爲之説的解釋。我在2003年曾發表一篇論文，注意到同是一石，不同的糧食具有不同的體積標準。當時參照《説文解字》的記載，認爲這種差異的産生，在於一石重量的不同糧食，具有不同的體積[15]。這一觀點得到一些學者的贊同。後來我注意這裏存在一些問題，2009年發表了一篇論文，認爲這種差異産生的原因并非以前認爲的一石重量的不同糧食容積不同，而是出於法律的規定。我進而明確地提出這樣一種觀點：在戰國時的秦國、秦朝至西漢早期的政府倉儲事務中，存在着一種特殊的計量單位石，它在計量糧食時，直接針對容積採用不同的標凖：對於粟類穀子（禾、粟、黍等）一石爲16斗，對於稻穀一石爲20斗，對於由粟類、稻類穀子舂出的米（糲、粺、糳、毇、粲等）一石爲10斗；對於荅、菽、麥、麻則一石爲15斗。
近期公佈的嶽麓書院藏秦簡《數》包含了很多新的材料，爲我們檢驗上述結論，并進一步系統地考察相關問題提供了新的契機。
我們先看下面兩張表：
表1： 張家山漢簡《算數書》中一石物品的數量
段落序號 | 原始文獻來源 | 一石物品的數量 | 備注 |
1 | 并租 禾三步一斗，麥四步一斗，荅五步一斗，今并之租一石，問租幾何？得曰：禾租四斗 | 租：10斗 | 信息不足以判斷租爲何種物品 |
2 | 金賈 金賈兩三百一十五錢，今有一朱，問得錢幾何。曰：得十三錢八分一。术曰：直一兩朱數以爲法，以錢數爲實，實如法得一錢。廿四朱一兩，三百八十四朱一斤，萬一千五百廿朱一鈞，四萬六千八十朱一石。[17] | 金：120斤 | 重量單位 |
3 | 舂粟 稟粟一石，舂之爲八斗八升。今得米一石，當爲益秏粟幾何？曰：二斗三升十一分升八。术曰：直所得米升數以爲法，有值一石米升數而以秏粟升數乘之，如法得一升。[18] | 通過計算確定 | |
4 | 銅秏 鑄銅一石秏七斤八兩。今有銅一斤八兩八朱，問秏幾何？得曰：一兩十一朱百 | 銅：120斤 | 重量單位 |
5 | 傳馬 傳馬日二匹共芻稾二石，令芻三而稾二。今馬一匹前到，問予芻稾各幾何。曰：予芻四斗、稾二斗泰大半斗。术曰：直芻三、稾二，并之，以三馬乘之，爲法，以二石乘所直各自爲實。[20] | 芻：10斗 稾：10斗 | 通過計算確定 |
6 | 石 | [10斗] | 原文信息不明，但據第7條“賈鹽”可推測出10斗爲一石 |
7 | 賈鹽 今有鹽一石四斗五升少半升，賈取錢百五十。欲石 | 鹽：10斗 | 通過計算確定 |
8 | 程禾 程曰：禾黍一石爲粟十六斗泰半斗，舂之爲 | ||
9 | 誤券 租禾誤券者，术曰：毋升者直税田數以爲實，而以券斗爲一，以石爲十，并以爲法，如法得一步。其券有斗者，直輿田·步數以爲實，而以券斗爲一，以石爲十，并以爲法，如法得一步。其券有升者，直輿田步數以爲實，而以券之升爲一，以斗爲十，并爲法，如·法得一步。[24] | 券（租禾）：10斤 | 指記録於券上作爲租税的禾，應該屬於尚未進入政府倉儲之前的情形 |
10 | 租誤券 田一畝，租之十步一斗，凡租二石四斗。今誤券二石五斗，欲益耎其步數，問益耎幾何？曰：九步五分步三而一斗。术曰：以誤券爲法，以輿田爲實。[25] | 券（券上所記的）、 租：10斗 | 租和記録於券上的租税，不能確認爲何種糧食。但無論如何應該屬於尚未進入政府倉儲之前的情形 |
11 | 秏 粟一石秏一斗二升少半升。稟米少半升者得粟七百八十九分升之五百，稟米一升者得粟一升二百六十三分升 楊一〇五H131之二百卅七，稟米一斗者得粟一斗九升有二百六十三分升之三，稟米一石者得粟十九斗有二百六十三分升之卅。一〇六H130粟石秏五升。稟米少半升者得粟百七十一分升之百，稟米一升者得粟一升有二百八十五分升之二百一十五，稟米一斗者 楊 得粟十七升有二百八十五分升之百五十五，稟米一石者得粟十七斗五升有二百八十五分升之百廿五。[26] | 通過計算確定 | |
12 | 米粟并 有米一石、粟一石，并提之，問米粟當各取幾何？曰：米主取一石二斗十六分斗八，粟主取七斗十六分斗八。术曰：直米十斗、六斗，并以爲法，以二石扁乘所直，各自爲實。六斗者，粟之米數也。[27] | 粟：10斗米：10斗 | 此條粟與米的相當率爲5：3。但“米主”和“粟主”的説法表明，此條與政府倉儲部門的事務無關 |
13 | 粟米并 米一粟二，凡十斗，精之爲七斗三分升一。术曰：皆五，米粟并爲法，五米三粟，以十斗乘之爲實。王 〼□□□得幾何？曰：粟□□□□卅□□□米〼 〼□□□□□□□□□□□□□得幾何？得曰：米六升四分升之一。术曰：直米五升、 楊 粟五升，粟五升爲米三升，并米五升者八，以爲法，乃更直五升而十之，令如法，粟米各一升。 〼□□二斗五升，其术曰：直米粟，五米三粟， 楊[28] | 粟：? 米：? | 竹簡殘壞甚多,其中尙能顯示由粟到米的比例爲5：3。但不能據此推斷粟、米一石的數量。同時也没有信息表明此條是否與政府倉儲部門的事務有關 |
14 | 負炭 負炭山中，日爲成炭七斗到車，次一日而負炭道車□到官一石。今欲道官往之，負炭山中，負炭遠到官，問日到炭幾何？曰：日得炭四斗十七分斗二。术曰：取七斗者十之，得七石爲實。七日亦負到官，即取十日與七日并爲法，如法得一斗。[29] | 炭：10斗 | |
15 | 旋粟 旋粟高五尺，下周三丈，積百廿五尺。·二尺七寸而一石，爲粟六石廿七分石之八。其述曰：下周自乘，以高乘之，卅六成一。·大積四千五百尺。[30] |
（本表以拙文 “關於《算數書》、秦律和上古糧米計量單位的幾個問題”中表格爲基礎修訂而成）
表2： 嶽麓書院藏秦《數》中一石物品的數量
段落序號 | 原始文獻來源 | 一石物品的數量 | 備注 |
16 | 簡0809+0802 秏程。以生 斗之二┕，爲之述曰：取一石者十之，而以七爲法┕，它秏程如此。 0802[31] | ||
17 | 簡0939 租誤券 田多若少，耤令田十畝，税田二百卌步，三步一斗，租八石。·今誤券多五斗，欲益田。其述曰：以八石五斗为八百。 0939[32] | 租或券上所記的租：10斗 | 未説明租爲何種糧食 |
18 | 簡1654 禾輿田十一畝，兑二百六十四步，五步半步一斗，租四石八斗。其述曰：倍二百六十四步爲……〼 1654[33] | 租：10斗 | 未説明租爲何種糧食 |
19 | 簡0813+0785 爲積二千五百五十步，除田十畝，田多百五十步。其欲減田，耤令十三斗，今禾美，租輕田步，欲減田， 0813 令十一步一斗，即以十步乘十畝，租二石者，積二千二百步，田少二百步。 0785[34] | 租：10斗 | 未説明租爲何種糧食 |
20 | 簡0842+0757： 田五十五畝，租四石三斗，而三室共叚之，一室十七畝，一室十五畝，一室廿三畝，今欲分其租。述曰：以田提封數爲〼 0842 法，以租乘分田，如法一斗，不盈斗者，十之，如法一升。 0757[35] | 租：？ | 文字未顯示租爲何種糧食，亦不足以確定一石的數量。 |
21 | 簡0973+0941, 簡1839 芻一石十六錢 ，稾一石六錢。今芻稾各一升，爲錢幾可？得曰：五十分錢十一。述曰：芻一升百分錢十六，稾一升百分錢 0973 六。母同，子相從 0941 稾石六錢，一升得百分錢六┕，芻石十六錢，一升得百分〼 1839[36] | 芻：10斗 稾：10斗 | 通過計算確定 |
22 | 簡0458 十六兩一斤 卅斤一鈞 四鈞一石。 0458[37] | 鹽：10斗 | 通過計算確定 |
23 | 簡0303 四萬六千八十朱一石 千九百廿兩一石 百廿斤一石。 0303[38] | 一石= 120斤= 1920兩= 46080朱 | 重量單位，講換算，不涉及具體事物 |
24 | 簡0780 黍粟廿三斗六升重一石 •水十五斗重一石 䊪米廿斗重一石 麥廿一斗二升重一石 0780[39] | 水：15斗 黍粟：23斗6升 麥：21斗2升 | 明確給出一石重的不同種類物品的容積或體積 |
25 | 簡0981 | 稷毁（毇）：19斗4升 稻粟（稻穀）：27斗6 升 稷粟（稷穀）：25斗 | 明確給出一石重的不同種類糧食的容積 |
26 | 簡0886 稻米十九斗二升重一石 0886[41] | 稻米：19斗2升 | 明確給出一石重的稻米的容積，此稻米可能是指毇米 |
27 | 簡0852 荅十九斗重一石 麻廿六斗六升重一石 叔廿斗五升重一石 0852[42] | 荅：19斗， 麻：26斗6 升, 叔 (菽)：20 斗 5 升 | 明確給出一石重的三種食物的容積 |
28 | 簡0760 〼稻粟三尺二寸五分寸二┕一石 麥二尺四寸十分寸三一石 0760[43] | 明確給出兩種糧食各一石的容積，這是規定，而不是從重量來定義的 | |
29 | 簡0834 芻新積廿八尺一石 稾卅一尺一石 茅卅六尺一石 0834[44] | 芻新（薪）：28尺 (立方尺) 稾：31尺 (立方尺) 茅：36尺 (立方尺) | 明確給出三種物品各一石的容積，這是規定。不知道這是否是從重量一石來定義的 |
30 | 簡2066 〼秶一石十六斗大半斗┕。稻一石〼 2066[45] | ||
31 | 簡0918+0882+C100102 〼秶甬少稻石三斗少半斗〼 0918 〼秶甬六之五而得一□有□□〼 0882 〼得一，以稻甬求〼 C100102[46] | 甬（桶）与石是同級的體積、容積單位 | |
32 | 簡C140101+1733，0791，0938 〼一石爲秶一石三〼 C140101 〼百石爲秶百廿石 1733 秶千石爲稻八百卅三石三斗少半斗。稻千石爲秶千二百石。 0791 粢萬石爲稻八千三百卅三石三斗少半斗。稻萬石爲粢萬二千石。 0933[47] | 通過計算確定 | |
33 | 簡2173+0137+0650 〼粟一石爲米八斗二升，問米一石爲粟幾可？曰：廿斗〼 2173 〼百廿三分斗卌爲米一石，术曰：求粟〼 0137 爲法，以十斗乘粟十六斗大半斗爲，實如法得粟一斗。 0650[48] | 通過計算確定 | |
34 | 簡0649 粟□……廿一分升十一，□□一石□□升廿二分升…… 0649[49] | 粟：？ | 信息不足以確定一石的數量，只能確定石爲容量單位 |
35 | 簡0836 券朱升┕，券兩斗┕，券斤石┕，券鈞般，券十朱者 0836[50] | 券：? | 信息不足，只能確定石爲容積單位 |
36 | 簡0772+1659+0858 衰分之述。耤有五人，此共買鹽一石，一人出十錢，一人廿錢，一人出卅錢，一人出卌錢，一人出五十錢，今且相去也，欲以錢少多 0772 分鹽。其述曰：并五人錢以爲法，有各異置錢□〼 1659 〼以一石鹽乘之以爲實，實如法一斗。0858[51] | 鹽：? | 信息不足，不能確定 |
37 | 簡0978+0950+0915 大夫、不更、走馬、上造、公士，共除米一石。今以爵衰分之，各得幾可？大夫三斗十五分斗五，不更二斗十五分斗十，走 0978 馬二斗，上造一斗十五分五，公士大半斗。述曰：各直爵數而并以爲法，以所分斗數各乘其爵數爲，如 0950 法得一斗，不盈斗者，十之，如法一斗。不盈斗者，以命之。 0915[52] | 米：10斗 | 通過計算確定 |
38 | 簡C410106+1193+1519 一牛一羊一犢共食以禾一石，問牛、羊、犢各出幾可？曰：牛五斗有七分斗之五〼 C410106 〼羊出二斗有七分斗之六，犢出一斗有七分斗 1193 之三〼羊直二，犢直一而并之，凡求□〼 1519[53] | 禾：10斗 | 明顯與政府倉儲事務無關。 |
39 | 簡1826+1842+0898 一人斗食，一人半食，一人參食，一人駟食，一人 〼欲以食數分之，問各得幾可？曰：斗食者得四斗四升 1842 九分升四，半食者得二斗二升九分升二，參食者一斗四升廿七分升廿二，駟食者一斗一升九分升一，食者七升 0898[54] | 米：10斗 | 通過計算確定 |
40 | 簡0946, 0839 | 米：10斗 | 通過計算確定 |
41 | 簡0305 米賈石六十四錢，今有粟四斗，問得錢幾可？曰：十五錢廿五分錢九。其述以粟米求之。 0305[56] | 米：10斗 | 通過計算確定 |
42 | 簡0896 段鐵一鈞用炭三石一鈞┕，斤用十三斤┕，兩用十三兩。 0896[57] | 炭：120斤 | 通過計算確定 |
43 | 簡0498+0645 □□二丈五尺，問袤幾可容禾萬石？曰：袤卌丈。术曰：以廣乘高法，即曰，禾石居十二尺，萬石，十二萬 0498 尺爲 | 禾：12尺（立方尺） | 這裏的禾很特别。不知是穀子還在秸稈上的禾，還是禾的秸稈或其他什麽情形 |
44 | 簡0801+0784 倉廣五丈，袤七丈，童高二丈，今粟在中，盈與童平，粟一石居二尺七寸，問倉積尺及容粟各幾 0801 可？曰：積尺七萬尺，容粟二萬五千九百廿五石廿七分石廿五。述曰：廣袤相乘，有以高乘之，即尺。以二尺 0784[59] |
從上面的表格可以看出，除少量段落信息不足以判斷一石的數量，以及我們後面要做專門討論的第16段外，其他段落可以推出以下結論：
（1）作爲一個重量單位，石總是等於120斤，這與我們以前關於秦漢時代這個單位的認識是一致的。
（2）作爲容積和體積單位，對於鹽、銅、炭、租、税、券（指券記録的租税）以及米一石都是10斗。對於芻、稾，可以確定多數情形下一石是10斗；對於禾、粟也存在以10斗爲一石的情形，但這與政府倉儲部門的事務無關。這説明以10斗作爲石的體積、容積標準，具有廣泛性、普遍性。
（3）在政府倉儲部門的事務中，石的標準具有特殊性：
對於粟類（粟、秶、禾、黍，還應包括稷）穀子，
對於稻穀，1石=20斗；
對於各種米，1石=10斗；
對於菽（叔）、荅、麥、麻，1石=15斗。
按上述數量標準定義的一石的各種物品，其重量都小於1石（120斤），所以上述一石的標準，確實不是以一石重的物體的體積、容積來定義的。
這些標準，是由法律規定的。下面對此做一探討。
1975年從湖北省雲夢睡虎地秦墓（約公元前217年）出土的法律中有一條屬於《倉律》的條文是這樣的：
“禾黍一石为粟十六斗大半斗，舂之爲
這條律文可以與《算數書》的“程禾”條相對照：
“程曰：禾黍一石爲粟十六斗泰半斗，舂之爲米一石，米一石爲糳米九斗，糳米九斗爲毀米八斗。
程曰：稻禾一石爲粟廿斗，舂之爲米十斗爲毀，粲米六斗泰半斗。麥十斗，麥啇三斗。
程曰：麥、菽、荅、麻十五斗一石，稟毀糳者，以十斗爲一石。”[61]
程是法律的一種形式。《算數書》“程禾”條與前面所引睡虎地秦律非常接近，應該屬於漢承秦律的結果。兩種文獻的一致性證明石這個單位在秦漢政府倉儲部門的事務中確如我前面所説的有其特殊性。在兩種文獻中，都没有提到重量，根據表2中第24-27段材料記録的一石重物品的容積——黍粟23斗6升、糲米20斗、麥21斗2升、荅19斗、麻26斗6升、叔（菽）20斗5升、稻米19斗2升、粲米19斗、稷毇19斗4升、稻粟27斗6升、稷粟25斗，都比上述政府倉儲部門規定的數據要大，且增大的程度在彼此間不成比例。所以可以肯定上述律程規定一石禾黍、稻、菽、荅、麻、麥以及各種米的數值，的確并不是以重量一石爲依據的。
兩種文獻中，對於粟類和稻類，都是一石穀子舂出一石米（粟類舂出糲米，稻類舂出毇米）。因此，我們可以推斷，秦律以通常的標準10斗作爲米一石的標準，而以得到米（粟的糲米、稻的毇米）一石的穀子的數量作爲粟和稻一石的標準[62]。
《數》還説水一石重15斗，體積小於一石重的上述各種穀米的容積，似乎水比這些穀米都要重。但現實中我們常看見米、穀沉在水下，則水反而輕些。由此我們可以推知，古人所説一石重的穀米爲多少斗多少升或多少尺多少寸，包含穀米之間的縫隙，與現代糧食學測定的穀米的體積不同，而與其容積相同。古人所測的重量與容積之比，不對應於現代糧食學的比重，而對應於容重（具有單位容積的糧食的重量）[63]。當然上述《數》中一石重物品的容積，在數量上與容重是互爲倒數的關係。
上表2中，粟類一石爲2尺7寸（2.7立方尺），稻一石爲3尺2寸5分寸2（3.24立方尺）。這兩個數據分别等於上述政府倉儲事務中粟、稻一石的數量標準。
表2第24-27段材料記載，一石重的菽、荅、麥、麻的容積，最大的麻達26斗6升，最小的荅只有19斗，相差比較大。爲什麽秦律把它們都規定爲15斗爲一石呢？這確實找不到明確的證據來説明。不過，我們發現菽（20斗5升）和麥（21斗2升）差異很小，荅19斗也與它們比較接近，三者都較黍粟爲少，比與黍同類的稷則更少些，因此把它們的一石定爲比粟類一石的
《數》中記録芻新（薪）、稾、茅一石分别爲28、31、36尺（立方尺）。其依據不清楚。考慮到與《算數書》同出的張家山漢簡《二年律令》中芻、稾也用重量單位石、鈞、斤來計量，我們似可以做出這樣一個假設：它們的一石可能是以一石重的這些物品的容積爲標準，或以一石重的這些物品的容積爲參照加以調整得到的。此外，《數》第43條中禾一石爲12尺（立方尺），這是一個特别的數據，遠比已知的粟類（粟、禾、黍、稷、秶）和稻、菽、荅、麻、麥等一石的數量（不論是直接規定的容積，還是一石重物品的容積）要大得多。聯繫到湖北江陵鳳凰山167號漢墓曾出土連梗帶穀子的稻穗（儘管藏於明器之中）[64]，我們可以假設，這裏的一石爲12尺的標準，可能是針對帶梗的禾穗而言的。當然，這兩個假設都需要更多别的證據來檢驗其對錯。
四
西漢中期以降的大石、小石計量系統
上世紀中期，有學者注意到居延漢簡中有大量關於“大石”、“小石”的用例，之後陸續有不少學者關注這一問題，并有新的資料出現[65]。這種資料集中在西漢中期至王莽時代,東漢時代也有。如：
1.《居延漢簡釋文合校》275.20號簡説：
“出穈小石十二石 征和三年十月丁酉朔丁酉第二亭長舒付第七亭長病已食吏卒四人”[66]。
其中“征和三年十月丁酉朔”是公元前90年11月10日，竹簡所記屬於漢武帝晚年的事。
2.同書16.2号簡説：
其中“始建國五年”爲公元13年，爲王莽新朝早期。
經過總結和檢驗前人大量研究，再加以探究，我們可以得出下面幾點意見：
(1) 3大石=5小石
(2) 大石和小石都各自有比自己更低級别的容積單位斗、升，且具有相同的進位關係。而兩個系列的同一級别的單位之間都具有相同的換算率。也就是説：
1大石=10（大）斗，1（大）斗=10（大）升；
1小石=10（小）斗，1（小）斗=10（小）升。
相應地，
3.（大）斗=5（小）斗， 3（大）升=5（小）升。
《居延漢簡釋文合校》273.8號簡説：
3“入穈小石十二石爲大石七石二斗征和五年正月庚申朔庚通澤第二亭長舒受部農第四長朱”[68]
漢武帝征和年號只有四年，此征和五年應該是後元元年，簡文作者當時可能還没改過來。此簡所紀爲公元前88年1月26日的事。
這裏把小石12石折成大石7石2斗，經過計算驗證，正好符合上述規則。另外，我們没有發現“多少大石”或“多少小石”後接“十幾斗”或“十斗”的用例，這也説明不論大石還是小石，一石的斗數都不會過十。
（3）大石和小石分别等於多值制系統中粟一石的數量和由一石粟舂出的糲米的數量。可見，小石取石的普遍標準（10斗）作爲標準，而大石則取更早時代多值制中粟的一石作爲標準[69]。這樣，小石的斗、升仍分别繼承了早先斗、升的標準，而大石的斗、升則分别增大到原來斗、升標準的5/3倍。儘管大石和小石分别取早先粟和糲米一石的數量爲標準，但它們并不限於度量粟系列，而是可以度量其他種類的糧食。這也是採用這種新石制的意義所在。
（4）在這個時期，有一個單位參，有時候寫作彖，其數量等於大石系列的2升，亦等於小石系統的1/3斗[70]。如：
4. 香港中文大學文物藏的一枚木簡（編號爲139）曰：
“媚稟大石十石，爲小石十六石七斗二彖。 稟大石廿二石，爲小石卅六石六斗二彖。”[71]
5．同書133號木簡曰：
“服稟大石二石六斗，爲小石四石一斗二參，二月食。”[72]
由這兩支簡容易驗證上述參和彖的數值。
以前有人認爲這兩個單位“乃是將大石換算成小石後的餘數單位”[73]。其實，小石系統的石和斗、升都繼承早期政府倉儲部門多值制以外的石、斗、升（也是多值石制中米的標凖）。參和彖的標準數量即是當時一般標凖下的1/3斗。早在秦國或秦代就有這種容器。睡虎地秦簡《效律》説“……半斗不正，少半升以上；參不正，六分升一以上；升不正，廿分升一以上；黃金衡羸不正，半朱以上，貲各一盾。”[74] 規定了參這種容器偏離標準值到1/6升以上就要受處罰。另外，現存的秦代量器中還有1/3斗的橢銅量[75]，其容量就等於參的數量。所以參、彖係現實容量單位而非出於運算。
在西漢中期以後的文獻中，我們没有發現石這個單位針對不同的糧米種類具有不同量值的情形。這意味著石的多值制在這時已經被大石、小石制所取代（儘管我們不排除還存在這種遺迹的可能）。
五
從多值石制到大、小石制的轉變
下面我們對西漢中期以降多值石制爲大石、小石制所取代的現象做一分析。
比較兩種計量系統，我們可以發現：
(1) 在多值制中，石的各種量值都基於同一個量值的斗。也就是説，不管是粟類（粟、禾、黍、稷、秶等）、稻、米，還是菽、荅、麥、麻，相應的石都是同一個斗的若干倍，倍數不同而單位斗則相同，從斗到石，有多種進法。而大石和小石則各有一套自己的下級單位斗和升，但從升到斗到石，大石系統和小石系統都同樣地採用十進方式。即，
粟類/稻/米/菽、荅、麻、麥的
3大（石/斗/升）=5小（石/斗/升） | …… | 大石、小石制 | |
10（大/小）升=1（大/小）斗 | |||
10（大/小）斗=1（大/小）石 |
(2) 小石系統中的斗和升分别與實行多值制時代的斗和升對應，而大石系統中的斗和升則根據大石對小石的比例5:3從新確定。
(3) 從升到斗、從斗到石的十進方式，無論哪個時代都是更普遍的進制。多值制時代對此的偏離，只是在特定的場合推行。大石、小石制取代多值石制，正是對普遍進制的回歸。
(4) 早期多值石制有其優勢，它使得粟類和稻類兩類主糧在舂成米的前後保持同樣的度量值，這大概是它使用那麽長時間的原因。
(5) 多值石制對於相關官員來説太麻煩了。而且，這種系統主要在政府倉儲部門及相關事務中實行，這就很容易引起混淆。即使在實行這種制度的時代，這個缺點就顯示出來了。下述嶽麓書院藏秦簡《數》的一個問題（簡0809+0802，表2中的第16段），正好説明了這一點：
“……今有禾，此一石舂之爲米七斗，當益禾幾可（何）？其得曰：益禾四斗有七分斗之二┕，爲之述（術）曰：取一石者十之而以七爲法┕，它秏程如此。”
通常情形下，多值制下1石禾穀（
增加的禾穀數量按上述問題的行文方式，應表達爲“七斗有七分斗之一”。這與原文給出的答案“四斗有七分斗之二”相差很遠。這個錯誤是不是僅僅因爲抄錯導致的呢？三個數字抄錯两個，這種可能性不大。而從原文給出的術文看，作者是把1石禾也視爲10斗來計算的：
計算結果正好是原文給出的答數（術文有省略，不能判斷古人用的上述兩種中的哪一種）。因此，我們認爲題目的答案没有抄寫錯誤。這就意味著10斗禾舂爲7斗米（這本是一個比正常出米率還高不少的出米率）還被視爲太低，而正常的出米率被作者當成了10/10（作者可能没有意識到這點）。這自然是荒謬的。造成這一問題的原因正是作者無意中把本來應該是
這個例子説明，即使在法律被嚴格執行的秦代（或秦國），多值石制也容易引起混淆。而隨着時代的遷移，漢代地方官吏不再像秦代那樣嚴格執行那些對朝廷統治影響不大的法律，這種混淆就會加劇而引起更多的問題。這樣，石的多值制度就有必要改變了。
另一方面，多值石制在官員的俸祿和品秩等方面已經産生影響，這意味着完全回歸到10斗一石的標準也有不便。這樣，一種折中的替代方式——大石、小石制度應運而生。新的計量制度採用了多值制中的兩個值，并分别命名：大石維持原來粟類（應是當時最廣泛種植的糧食）的石的值，而小石則保存米的石的值（這也一直是最普遍的石的標準）。這樣，一大石的粟類穀子就正好舂出一小石的米，與多值制下的一石穀子舂出一石米的思想也正相對應。新的計量制度用兩個單位（名稱）表示兩個值，避免了混淆，但没法兼顧多值石制下稻、菽、荅、麥、麻的值。如果再多用兩個或多個單位（名稱）定義幾種石，固然既可避免混淆，又能兼顧多值石制的很多方面，但單位名目太多，無疑過於複雜。於是大石、小石就施用於其他糧食了。
六
從石的計量制度及相關法規看《九章算術》的社會背景
中國古代最重要的數學經典《九章算術》第二章開頭説：
這裏給出的各種食物的比率，在《九章》全書中統一地使用。 除了誤用糳米和糳飯分别代替毇米和毇飯，缺少由稻穀舂出的米和相應的飯外，其他如粟、糲、粺、糳（誤用来代替毇）、菽、荅、麥、麻、稻的比率關係，與秦律規定的一石穀子及由之舂出的米的容量正好一致[77]。這説明《九章》的相關問題，以秦律的實行爲社會背景[78]。
儘管《九章》中單位石只用於表示重量，斛在書中則代替了表示容量的單位石，但多值制的石仍在《九章》中留下影響。商功章第25題術文説：
“程粟一斛，積二尺七寸。其米一斛，積一尺六寸五分寸之一。其菽、荅、麻、麥一斛，皆二尺四寸十分寸之三。”[79]
這裏的一斛粟、一斛米及一斛菽、荅、麥、麻的容積各不相同，和早期的石一樣，這裏的單位斛也是根據不同的糧食種類採用不同的容積標準，林力娜（Karine Chemla）教授已注意到這一點[80]。除本題外，這組數據還用在該章第23-24，27-28題中。可以推算，斛對於粟、米、菽（還有荅、麻、麥）採用的不同標準與上述多值石制中的三個標準正好相同。考慮到其他材料中没有發現這種多值制在西漢中期以後使用的痕迹，甚至與大石、小石相對應的大斛、小斛也難得一見（陳夢家[81]提到兩例包含“大斛”的簡：居延漢簡77.24簡 “〼爲大斛二斗六升〼”，306.2號簡 “〼凡大斛二百五十六斛”[82]，是很罕見的用例），而上引《九章》文字中的“程”字説明這樣的標準可能來源於律程，因此，《九章》斛的多值現象應該是後來把早期多值石制中的石替換成斛時造成的結果。因此，這幾個問題極有可能是在先秦或秦代使用多值石制的背景下首先設立的，在西漢後期整理《九章》的過程它们被稍加改變了。
上述的討論説明《九章》有關食品的大量問題受到行用於秦國、秦代、西漢早期的度量衡制度的影響。另一方面，書中不見大石、小石制度的痕迹，雖然在計量容量時採用西漢晚期流行的斛，但這些問題應該主要以早期的社會爲設立問題的現實背景。有學者以爲斛可能是從王莽時期才使用的，不會比這早很多[83]。從所給出的證據看，最多只能説明到王莽時期斛才比較流行。因爲斛在戰國時期的金文中就已作爲容量單位使用[84]，西漢中期司馬遷的《史記》“魏豹彭越列傳”已用斛爲容量單位（“彭越復下昌邑旁二十餘城，得穀十餘萬斛，以給漢王食”[85]），因此，如果在王莽時代之前《九章》整理的整理者刻意把既表示重量又表示容量的石區分開來，用斛代替後者，也是可能的。由於石作爲容量單位一直用到東漢時期，所以《九章》中石、斛涇渭分明的分工，就顯得很特别，更像是數學家出於一致性的考慮而刻意爲之。這樣的理解與劉徽關於《九章》成書的記載是吻合的[86]。當然，是否如此，還需要更多的證據來檢驗。
大石與小石的換算在居延、敦煌漢簡以及香港中文大學藏簡牘中大量出現，編輯包含這類換算問題的算書來教授人們特别是官員學習相應的算法，在當時是需要的。我們可以推論當時應該有這種算書。很遺憾，這些算書早已失傳了。
結 語
從戰國時秦國到漢代，石作爲重量單位很簡單，它總是120斤。石作爲容量和體積單位則比較複雜，並且隨著時代的變遷而發生變化。儘管如此，以10斗爲一石在每一時期都具有普遍性。在西漢早期以前的政府倉儲部門的事務中，法律的規定形成了一種根據不同糧食的種類採用不同數量標準的多值石制，這種制度容易産生混淆的缺陷導致了大約從西漢中期起採用大石、小石制取代多值石制的局面。大石、小石制度後來爲單一的斛制所取代。《九章算術》有關食物換算的問題雖無多值石制的直接使用，但以反映多值石制的法律爲社會背景；而書中少數涉及多值斛制的問題，則是早期多值石制下的問題在後來整理時由於以斛代石的結果。這種情形與劉徽關於《九章算術》成書的記載是一致的。《九章算術》關於食物換算的問題受多值石制及相關法律的影響而較少直接反映這一度量制度，這在體現中國古代數學以社會實際爲背景的同時，還體現了數學家更關注其中數量關係的傾向。
參考文獻
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[5]楊聯陞：“漢代丁中、廩給、米粟、大小石之制——勞榦《居延漢簡考釋》錢穀類跋”，《國學季刊》1950年7第7卷第1號。
[6]陳夢家：“關於大小石、斛”，《考古學專刊》甲種第十五號《漢簡綴述》，中華書局，1980年12月，第149-151頁。
[7]這類文獻很多。如①勞榦：“龍岡雜記：二、大石與小石”，《大陆雜誌》第1卷第11期（1951年），第21頁；②宇都宫淸吉：《漢代社會經濟史硏究》，弘文堂，1955年，第203-237頁；③高自强：“漢代大小斛（石）問題”，《考古》，1962年第3期，第92-94轉98頁；④張壽仁：“漢代米與粟及大石與小石之換算與秦數用六關係之推測”，《簡牘學報》第7期，1980年，第176-179頁；⑤曹懷玉：“‘大石’、‘小石’考辨——兼論‘大’、‘少’二字之含義”，《寧夏大學學報(哲學社會科學版)》，1981年第1期，第40-42頁；⑥王忠全“秦漢時代‘鍾’、‘斛’、‘石’新考”，《中國史研究》，1988年第1期，第11-23頁；⑦楊哲峰：“兩漢之際的‘十斗’与‘石’、‘斛’”，《文物》，2001年第3期，第77-79頁，等等。
[8]①Loewe, Michael, “The Measurement of Grain during the Han Period”, T’oung Pao, 49 (1961), pp. 64–95.②張世超：“容量‘石’的産生及相關問題”，吉林大學古文字硏究室編《古文字硏究》第21輯，中華書局，2001年，第314-329頁。
[9]丘光明編著：《中國歷代度量衡考》，科學出版社，1992年。
[10]①鄒大海：“從《算數書》和秦簡看上古糧米的比率”，《自然科學史研究》第22卷第4期（2003年10月），第318-328頁；②鄒大海：“關於《算數書》、秦律和上古糧米計量單位的幾個問題”，《内蒙古師範大學學報（自然科學漢文版）》第38卷第5期（2009年9月），第508-515頁。
[11]彭浩：“睡虎地秦墓竹簡《倉律》校讀（一則）”，北京大學考古文博學院編《考古學研究 六：慶祝高明先生八十壽辰暨從事考古研究五十年論文集》，北京：科學出版社，2006年，第499-502頁。
[12]鄒大海：“關於《算數書》、秦律和上古糧米計量單位的幾個問題”。
[13]丘光明編著：《中國歷代度量衡考》，科學出版社，1992年，第340-341，394-395頁。
[14]丘光明編著：《中國歷代度量衡考》，第184-187，202-203，244-253頁。
[15]鄒大海：“從《算數書》和秦簡看上古糧米的比率”。張世超先生已提出睡虎地秦簡《倉律》中幾處“石”为重量單位，并進而認爲容量單位石由一石重帶梗的全禾加工成的糲米之容量（十斗）來定義。見張世超：“容量‘石’的産生及相關問題”。筆者當時未注意到張先生大作，是不應有的疏忽。但筆者現在對這些意見持保留態度，因爲張文改字太多，推理尚不嚴格。
[16]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第255頁。整理者的釋文對通假字、校勘以及重文號等，在正文中均保留兩項，爲避免繁瑣，不標通假；如無新的意見，校勘、重文號表示的文字，均取最後的結果。下同。“麥乘荅爲禾實”早期釋文缺，筆者已補。三處“分”後整理者補“斗”字，無必要。仍其舊。見鄒大海：“出土《算數書》初探”，《自然科學史研究》第20卷第3期（2001年7月），第193-205頁。郭書春先生對這類分數和除法的表示法有討論，見郭書春：“試論《筭數書》的數學表達方式”，《中國歷史文物》，2003年第3期，第28-38頁。下引文獻如遇此類情形，皆不從整理者補。又“各異直之，以一石各乘之。并禾、麥、荅實七爲法而一斗”，整理小組原作“各□直（置）之以一石各乘之禾、荅、麥爲實，七爲法而一斗”，張家山漢簡『算數書』硏究會作“各異直之，以一石各乘之。并禾、麥、荅實七爲法。[実如法]而一斗”。見《漢簡『算數書』——中國最古の數學書》，京都：朋友書店，2006．第60-61頁。除補“実如法”三字及在“爲法”之後斷句外，均可從。
[17]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第255頁。
[18]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第255頁。整理小組曾做過多的校改，筆者曾提出改字很少的校勘意見，見鄒大海：“出土《算數書》校釋一則”，《東南文化》2004年第2期，今從。但“今得米一石”中“得”字爲新意見。
[19]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，255-256頁。
[20]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，256頁。整理小組曾將“二匹”校改爲“三匹”。吴朝陽以爲不當改，可從。見吴朝陽：張家山漢簡《算數書》校證二題，簡帛網，2012年11月2日。
[21]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第258頁。
[22]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第259頁。
[23]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第259页。整理者原校作：“程禾 程曰：禾黍一石爲粟十六斗泰半斗，舂之爲糲米一石，糲米一石爲糳米九斗，糳米九斗爲毀米八斗。 王程曰：稻禾一石爲粟廿斗，舂之爲米十斗，爲毀（毇）粲米六斗泰半斗。麥十斗爲麥啇三斗。程曰：麥、菽、荅、麻十五斗一石，稟毀糳者，以十斗爲一石。”現據筆者在彭浩先生的基礎上所做的校勘。見鄒大海：“從《算數書》和秦簡看上古糧米的比率”。彭浩：“中國最早的數學著作《算數書》”，《文物》，2000年第9期，第85-90頁。
[24]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第261頁。兩“輿”字，整理者原釋作“與”。後來又將前一字釋作“輿”并校正爲“與”，後一字仍釋爲“與”。見張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》（釋文修訂本），文物出版社，2006年，第145頁。彭浩先生後又把兩字均釋作“輿”，并以爲不誤；此外，還在第一個“輿田”之後有圓點“·”。今從。見彭浩：“談秦漢數書中的‘輿田’及相關問題”，《簡帛》第6輯，上海古籍出版社，2011年，第21-28頁。
[25]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第261頁。其中“輿”字原作“與”，據彭浩先生意見改。見彭浩：“談秦漢數書中的‘輿田’及相關問題”，《簡帛》第6輯，上海古籍出版社，2011年，第21-28頁。
[26]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第262頁。“二百一十五”中的“一十”字，整理者釋爲“七十”。蘇意雯等校正爲“一十”，見蘇意雯、蘇俊鴻、蘇惠玉等：“《算數書》校勘”，《HPM通訊》，2000年11月，第3卷第11期，第2-20頁；郭書春先生則删去“一”字，見郭書春：“《筭數書》校勘”，《中國科技史料》，第22卷第3期（2001年9月）第202-219頁。茲采前説。又“得粟十七升”中，整理者於“粟”後衍“稟”字，今删。上述校勘取捨的理由并見鄒大海：“關於《算數書》、秦律和上古糧米計量單位的幾個問題”。
[27]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第263頁。
[28]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第264頁。
[29]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第264頁。“七石”後原無“爲實”二字，今補。整理者於“爲法”之後補“七石爲實”，似不佳。
[30]張家山二四七號漢墓竹簡整理小組編著：《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》，第267頁。“二尺”前，整理者最早的釋文有“·”，與照片相合。今從。見：江陵張家山漢簡整理小組：“江陵張家山漢簡《算數書》釋文”，《文物》，2000年第9期第78-84頁。
[31]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第37頁。
[32]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第37頁。
[33]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第53頁。
[34]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第54頁。
[35]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第57頁。原釋文於“數”字後只有殘斷符號，今以意及殘存筆劃補“爲”字。
[36]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，上海辭書出版社，2011年12月，第73-74頁。簡0973+0941爲同一問題，簡1839爲另一與之相關的問題。
[37]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第77頁。
[38]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第77頁。
[39]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第87頁。
[40]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第88頁。“
[41]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第88頁。
[42]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第89頁。
[43]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第89頁。“十分寸三”爲筆者所補。由於《數》中“稻粟三尺二寸五分寸二一石”、“粟一石居二尺七寸”分别對應於20斗和16斗，與睡虎地秦簡所載倉律的規定相同，因此我們據該律推算，麥一石應爲3尺2寸×15÷20=2尺4寸。又〈九章算術〉商功章“程粟一斛，積二尺七寸。其米一斛，積一尺六寸五分寸之一。其菽、荅、麻、麥一斛，皆二尺四寸十分寸之三”中關於粟的斛值與《數》的石值相等，而麥、麻等一斛正好爲2尺4寸。因此760號簡補“十分尺三”是合理的。
[44]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第90頁。
[45]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第90頁。
[46]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第90頁。簡0882中“秶”只存部首禾及右邊一點殘痕，也可能是“稻”字。“□”有點像“甬”。所以“秶甬（桶）六之五而得一□”有可能是“稻甬六之五而得一甬”。
[47]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第90-91頁。
[48]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第92頁。
[49]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第92頁。
[50]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第93頁。
[51]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第94頁。
[52]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第94頁。“十之，如法一斗。不盈斗者，以命之”有誤，整理者疑有衍文，謂“只需説‘不盈斗者，以法命之’”。我覺得有另一種可能性：此句校爲“十之，如法一升，不盈升者，以法命之”，即“斗”校改爲“升”，而在“命”字前補“法”字。
[53]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第97頁。整理者認爲從“牛五斗”开始的文字，可以復原爲“牛五斗有七分斗之五，羊出二斗有七分斗之六，犢出一斗有七分斗之三。述曰：牛直四、羊直二，犢直一而并之。凡求……”。可從。
[54]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第107-108頁。0898簡之後當有一簡作“廿七分升十一”。《數》第1853簡有“□□十一”，末二字與之相合，但之前的二字殘存筆劃不太與“分升”相合，故不能肯定此即本問題之末簡。
[55]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第111頁。
[56]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第114頁。
[57]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第117頁。
[58]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第126頁。首二字殘損，整理者釋爲“倉廣”，不一定妥當。從題意看，應有廣和高兩項的數據，一項丈二尺，一項二丈五尺。但首二字具體是什麽字不能確定，故改爲“□□”。
[59]朱漢民、陳松長主編：《嶽麓書院藏秦簡（貳）》，第127頁。
[60]睡虎地秦墓竹簡整理小組：《睡虎地秦墓竹簡》，北京：文物出版社，2001年，《釋文》部分，第29-30頁。原簡文有訛誤，此爲筆者吸收彭浩先生的部分意見校勘後的結果。見①鄒大海：“從《算數書》和秦簡看上古糧米的比率”；②鄒大海：“關於《算數書》、秦律和上古糧米計量單位的幾個問題”；③彭浩：“睡虎地秦墓竹簡《倉律》校讀（一則）”。
[61]此段校讀依據鄒大海：“從《算數書》和秦簡看上古糧米的比率”。
[62]參考鄒大海：“關於《算數書》、秦律和上古糧米計量單位的幾個問題”。
[63]參考福建省糧食廳《糧油保管》編寫組：《糧油保管》，福建科學技術出版社，1983年。
[64]江陵鳳凰山一六七號漢墓發掘整理小組：“江陵鳳凰山一六七號漢墓發掘簡報”，《文物》1976年第10期，第31-37頁。
[65]如新出的居延漢簡（可參考：甘肅省文物考古研究所、甘肅省博物館、文化部古文獻研究室、中國社會科學院歷史研究所 編：《居延新簡 甲渠候官與第四燧》文物出版社1990年7月。）、敦煌漢簡（可參考：甘肅省文物考古研究所：《敦煌漢簡》，中華書局，1991年6月）、香港中文大學文物館藏簡牘、肩水金關漢簡（參考：甘肅簡牘保護研究中心、甘肅省文物考古研究所、甘肅省博物館、中國文化遺産研究院古文獻研究室、中國社會科學院簡帛研究中心 編：《肩水金關[壹]》（上中下），上海：中西書局，2011年8月。）等。
[66]謝桂華、李均明、朱國炤：《居延漢簡釋文合校》（上下册），文物出版社，1987年。第464-465頁。
[67]謝桂華、李均明、朱國炤：《居延漢簡釋文合校》（上下册），第25頁。
[68]謝桂華、李均明、朱國炤：《居延漢簡釋文合校》（上下册），第460頁。
[69]有的學者把大石視爲傳統的石，小石視爲與之并行的另一小量系統，張世超先生認爲這是錯誤的，小石才是傳統的石，大石是得到一小石糲米的粟之容積；一大石粟或一小石糲米，則由一石重的帶梗的全禾得到。見張世超：“容量‘石’的産生及相關問題”。除由一石重的全禾確定一大石粟和一小石糲米外，其他都可接受。
[70]陳松長編著：《香港中文大學文物館藏簡牘》，第5頁。
[71]陳松長編著：《香港中文大學文物館藏簡牘》，第66頁。
[72]陳松長編著：《香港中文大學文物館藏簡牘》，第58頁。
[73]陳松長編著：《香港中文大學文物館藏簡牘》，第55頁。
[74]睡虎地秦墓竹簡整理小組：《睡虎地秦墓竹簡》，《釋文部分》，第70頁。
[75]丘光明：《中國歷代度量衡考》，第194頁。編號爲量-95、量-96。
[76]郭書春匯校：《匯校九章算術》第二版，第69頁。
[77]鄒大海：“從《算數書》和秦簡看上古糧米的比率”。
[78]參考鄒大海：“睡虎地秦簡與先秦數學”，《考古》，2005年第6期，第57-65頁。English edition: ZOU, Dahai: “Shuihudi bamboo strips of the Qin Dynasty and mathematics in Pre-Qin Period”, Frontiers of History in China, Higher Education Press, Springer-Verlag, 2007, Vol.2, no.4, pp.632-654.
[79]郭書春匯校：《匯校九章算術》第二版，第191頁。
[80]Karine Chemla et Guo Shuchun, Les Neuf chapitres. Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires (Paris: Dunod, 2004), pp.201-205.
[81]陳夢家：“關於大小石、斛”。
[82]兩簡分别見謝桂華、李均明、朱國炤：《居延漢簡釋文合校》（上下册），第137、501頁。
[83]Loewe, Michael, “The Measurement of Grain during the Han Period”, T’oung Pao, 49 (1961), pp. 64–95.
[84]如《殷周金文集成》（修訂增補本）第二册（中華書局，2007年）5.2701號有“谷（容）一斛”字樣。
[85]司馬遷：《史記》，中華書局，1963年，第2592頁。
[86]關於解讀劉徽對《九章》成書的記載，參考以下文獻：①郭書春：《古代世界數學泰斗劉徽》，山東科學技術出版社，1992年，第94-105頁；②鄒大海：《中國數學的興起與先秦數學》，河北科學技術出版社，2001年，第126-161頁；③鄒大海：“睡虎地秦簡與先秦數學”，《考古》，2005年第6期，第57-65頁；④鄒大海：“出土簡牘與中國早期數學史”，《人文與社會》學報，第2卷第2期（2008年6月），第71-98頁。
説 明
本文原刊於RIMS Kôkyûroku Bessatsu B50: Study of the History of Mathematics August 27~30, 2012, edited by Tsukane Ogawa, Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, June 2014, pp.137-156.文章最先以《對上古時代計量單位石的一些新考察》爲題在2011年7月24-27日舉行於合肥的“第十三届國際東亞科學史會議”（“The 13th International Conference on the History of Science in East Asia”）上報告；其後以《從出土文獻看秦漢計量單位石的變遷》（“The change of the measurement unit shi in the period of Qin and Han: a study on the basis of unearthed documents”）爲題在2012年 8月24 -31日舉行於日本京都大學數理解析研究所(Research Institute for Mathematical Sciences at Kyoto University)的“2012 RIMS研究集会 「数学史の研究」”（“2012 RIMS Workshop on the Study of History of Mathematics”）上報告。
本文屬於中國科學院自然科學史研究所“科技知識的創造與傳播”重大項目子課題“中國早期數學知識的創造與形態特徵——以若干典型案例爲中心的研究”。
編輯 | 張志鵬
審核 | 魯家亮