未来论坛 | 张益唐：数论中的朗道-西格尔零点问题
作为2019未来科学大奖周系列活动的一场国际科学盛宴，11月16日在京举办的未来科学大奖科学峰会大咖云集。本次科学峰会邀请到了15位世界顶级科学家莅临现场，分享前沿学术成果，探讨学科交叉创新，推进科学产业应用。这些全球最有智慧的大脑们通过最精彩的主题演讲、最深刻的交流，共同开启科学的想象和未来。
本期我们分享的是加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授张益唐在科学峰会上的主旨演讲“The Landau-Siegel Zero Problem in Number Theory”。张益唐2013年因在《数学年刊》提交论文《素数间的有界距离》，证明了存在无穷多个差值小于7千万的素数对，从而在最终解决世纪难题孪生素数猜想这一百年数论难题的道路上前进了一大步，做出了突破性的工作。他也因此于2014年获得麦克阿瑟天才奖并任职于加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授。
张益唐教授于1982和1984年获得北京大学的学士和硕士学位，并于1991年获得普渡大学博士学位。他获得了诸多奖项，包括晨兴数学卓越成就奖、奥斯特洛夫斯基数学奖、罗夫·肖克数学奖以及“全美亚裔年度杰出工程师奖”（AAEOY）杰出终身成就奖等。
本次主旨演讲，张益唐教授向大家分享了一个在数论中很有名的问题，即Landau-Siegel零点问题。张教授首先由黎曼假设引出了黎曼ζ函数并介绍了黎曼ζ函数的发展过程。从黎曼ζ函数和素数的关系出发，张教授对素数的研究历史进行了概括。进一步，张教授详细地阐述了Landau-Siegel零点问题，并将该问题分为零点存在和不存在两种情况。结合这两种情况，他给出了相应的推论。最后，张教授向大家分享了自己的研究成果，论述了现阶段该领域的进展。
演讲场次：2019.11.16科学峰会主旨演讲6：数学
演讲嘉宾：张益唐，加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授
演讲主题：The Landau-Siegel Zero Problem in Number Theory
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张益唐《数论中的朗道－西格尔零点问题》
张益唐：谢谢大家！也感谢未来论坛给我提供这么一个机会做一次科普。我今天要讲的问题在数论中很有名，就叫Landau—Siegel零点问题，这是一个什么问题呢？
黎曼
要讲这个问题，我们就要回顾很有名的黎曼假设，而黎曼假设又涉及到什么东西呢——黎曼ζ函数。有这样一个极数定义来定义黎曼ζ函数，但是我们需要用一点数学知识来解释这个极数。就是说，它不是在任何地方对任何变量S都是有定义的，只有当S的实部大于1的话有定义，而实部要是小于等于1，我们学一点微积分就知道，这个极数是一个发散的极数，所以它只是在一定范围内是这样一个原始定义，但是黎曼是解析数论的开创者，是他证明这个函数是可以有一个解析延拓到整个全平面，即对所有的S，这个函数都是有定义的，在S等于1的地方有一个简单的极点，就是不解析，而且留数是等于1，而且它满足一个很特殊的函数方程，是把S，ζ（S）和ζ（1-S）改过来，而对于黎曼ζ函数，是欧拉在黎曼更早以前研究这个函数，但是他们只是把S看成是实变量，那个时候基本上没有复变函数的概念。黎曼ζ函数与素数有直接联系，当实部大于1时，它是一系列自然数的和，同时又是素数的乘积，这里这个P实际包括了所有的素数，这样就通过对黎曼ζ函数的研究会得到很多素数方面的信息。这里有一个基本的例子，即所谓的素数定理，那是在1986年第一次被证明的，就是通过对黎曼ζ函数的研究而得到的。
黎曼猜想
在素数定理中，当X趋于无穷的时候，不超过X的素数个数作为它的主阶来讲，是X除以ln x这么多个素数，这结果写成极限的形式就是这样一个表达式。该表达式是在1986年首先被解决的，数学家们通过研究黎曼ζ函数的解析性质，证明黎曼ζ函数当实部正好等于1的时候不等于0。以上结论可以证明素数定理，而且这方面关于素数更精确的信息在于进一步对黎曼ζ函数零点的研究。
最著名的黎曼假设认为所有的这些非实的零点都在ζ（S）上，它的实部都等于二分之一，这实际上等价于：如果实部大于二分之一的话，这个函数不等于0。这里我介绍一下黎曼ζ函数的现况，这是非常有名的，很遗憾目前对于零点所知道的知识还是非常少的，我们现在远远不能得出大于二分之一就能证明它不等于0的结论，我们得到非0区域的结果是什么地方不等于0呢？实际上这比黎曼假设弱得多，为什么弱得多？我们可以追溯到更早，还是欧拉的预言，因为黎曼假设研究就很大程度上等价于素数分布，如果在素数分布方面有一个什么结果反过来也能推到黎曼假设这一方面去，而在这个问题上，我们对素数知道的还很少，这是在黎曼之前大概100年时欧拉做过的一个很悲观的预言。
欧拉
大家知道欧拉，他给出了存在无穷多的素数的第二个证明。刚才欧拉乘积公式证明了存在无穷多个素数，第一个证明者是欧几里得，这中间差了2000年，欧拉出名的一点是因为哥德巴赫给他写过一封信，哥德巴赫猜想是信里提出来的，欧拉说我相信哥德巴赫猜想应该是对的，但是我现在还没有能力证明，他说素数的奥秘可能要等100万年才能全弄清楚，是不是黎曼假设也要等100万年呢？但是目前很遗憾我们只能讲，跟黎曼假设比，我们对解析数论的全部知识是远远不够的，像一辆马车和一架航空飞机的差距那么大。
狄利克雷
这里先把黎曼猜想函数放在一边，它是一类更广泛的特殊情况，也是最简单的一个情况，另外还有一类就叫狄利克雷L函数。这套函数的引进比黎曼还早了一点。首先我们要对这个函数定义一个特征，在整数环上取的是复数的值，而且并不全为0，它满足这样条件，它有一个周期性，它对于任何两个素数乘积有可乘性，另外如果N和D不互素的话就等于0，那么狄利克雷L函数是这样定义这一特征的，跟黎曼ζ函数很像，如果你把分子换成1的话就是黎曼ζ函数，也有解析、延拓，也有函数方程，跟黎曼ζ函数很像。在数论里面还有一大堆的问题，特别要提到哥德巴赫猜想，他的解析部分需要归到狄利克雷L函数在传统意义上对零点分布的研究，而且这方面也有同样的对于黎曼ζ函数相关猜想，叫广义黎曼猜想。
他就是说对任何一个特征，它本身是复变量S的一个函数，如果S实部大于二分之一不等于0。而现在我们有很多很多特征，还没有一个人能够证明这些东西的某一个单独特征。
从19世纪末，数学已经在解析数论有很大发展，他们发展一整套工具去研究这些函数的零点，重要结果也有，而且这些结果也是极大用在比如说像哥德巴赫猜想，还有一连串关于素数分布问题上。但是如果要跟广义黎曼假设原始要求的结果相比，这些结果都是非常非常弱的，现在我们所能做的ζ函数和L函数不等于零，只有当实部在一定意义下很接近1的时候才能证明它不等于0。虽然这差了二分之一，但这个差异却是十万八千里。我要强调一下，所有我们要用的，他归根到底都是一个初等的不等式，就是这样一个东西，这个东西可以直接证明，他可以等于某一个东西的平方，所以大于等于0，最后一定要用不等式才能够得出我们所要的一些结果。所以现在什么时候能证明黎曼假设乃至更一般的广义黎曼假设还是很遥远的事情。
但是很多数论问题，分布问题，也确实需要引起重视。只要函数实部接近1时不等于0也就够了，这里就留了一个特殊的问题。这一类特殊的L函数，在log D的10个特征中，只取了三个可能值，或者是0或者是1或者是负1，这个函数实部接近1的时候，或者就是实零点，接近1的时候很难得到我们所要的结果。在接近1时，1减去一个常数除以Log D，如果D很大，你要证明他不等于0，现在远远做不到，但是现在如果可以证明存在零点，他最多只有一个，如果有的话，这就被称为Landau—Siegel零点。
因为这两名数学家最早研究这个零点。我们只考虑D很大的时候，这个1减去这个东西实在是很接近1的事情，所以如果这个Landau—Siegel 零点真存在的话，广义黎曼假设就错了，所以事实上，我们说的这个Landau—Siegel 零点问题就是证明这样一个零点不存在。这里我插一段话，我没有提到很著名的Siegel零点，但那个Siegel零点，就像张寿武教授讲的数论不可算的问题一样，Siegel定理本身是不可算的，本质上是说了这一定范围之内，其实比这个要求还是要弱得多，在一定意义下，一定范围之内最多只有一个零点，不可能有两点，但没有证明零点不存在。于是我们研究零点问题，我们希望能够证明一个零点都不存在。
这个问题这里就顺便提一下，类似非实特征，一大堆那些L函数，至少在这个意义上实部特别接近1的时候已经解决了，不会等于0。但是实特征是实零点的情况，很接近1，这个现在还是open的，我们使用了所有的经典办法，前面跳过了不等式，但是用在这个问题上一点用都没有，根本没法解决。有一种说法，这个问题在数论中就是瓶颈，如果解决的话会带来一连串推论，不仅是在解析方面，而且是在代数分论里会产生很大影响，可以说是一项革命。自从20世纪初有很多数论专家都想做这个问题但是没有成功，这里不提这位数学家的名字了，他甚至预言Landau—Siegel 零点问题的解决比原黎曼ζ函数的猜想更难。
陈景润一九六六年解析“哥德巴赫猜想”的论文手稿
在我们很多研究方面，因为我们不知道他到底存在不存在，于是数论学家只好讨论两种情况，如果存在会得出什么结论，如果不存在会得出什么结论？这里顺便提一下，我们知道陈景润1+2非常有名的，他的原始证明是一个不可算的东西，一个充分大的偶数能够表成一个素数和不超过两个素数的乘积集合，这是陈景润定理。在数学里头就叫存在一个数X，大于等于X，就一定可以表示两个素数之和，这个X到底有多大，用陈景润原来的办法算不出来了，因为他用到Siegel的定理，而那个Siegel定理可能有例外，但最多有一个例外，即便有一个例外也没有关系，比这个例外更大还是一个素数，不超过两个素数乘积之和，所以他算不出1+2。反而前几年一个日本人才是把这个问题绕过去，现在能够算出来的。另外我就说存在无穷多个素数对之差，不超过多少，这里头其实也有一个有效和无效性的问题，我原来那个证明严格讲，实际上也有不可算问题在里头。在我之前有一个英国数学家用另外一个办法，如果一个零点存在的话，这也是对的，所以这个问题现在也算是解决了。
这是我们下面要讲的，有一种说法，这个Siegel零点问题可以划成两个宇宙，第一个宇宙存在Siegel零点，第二个宇宙不存在Siegel零点，现在我们的问题是不知道我们到底生活在哪一个宇宙里。如果我们生活在第一个宇宙，那会出来什么样的结果？如果在第二个宇宙里头又会出来什么样结果？那在下面我们可能要问，如果是一个零点真得存在，那也不得了，黎曼假设被证明是错的，在这个宇宙里头到底会怎么样？
这种情况下我们也会得到很多很多的推论，而且非常强，有些推论强得有点过头了。像这种现象，就是基于下面这一个事实，就是ζ(2S)除以ζ(S)，它有一个简单零点是在S等于1的时候产生的，如果L的这个S也有一个零点，是在1这个地方，也就是Landau—Siegel 零点存在的话，这个东西和这个函数就非常像，而这个函数在别的地方会等于0，它会有极点，因为分母是0，这个函数在全平面都是解析的，于是这个差别就会产生很多很多有意思的事情。如果他这一个函数为零点，那么在确定范围里头，甚至就说ζ(s)倒数反而没有零点，所以一定范围里头原来黎曼假设反而是对的，他这里有一个坏零点靠近1，ζ(s)大于二分之一都没有零点，原来黎曼假设可能都对了。
面列一连串推论，我们现在来给出一些例子，如果零点是存在的，其实那么多年我们梦寐以求想做的是证明它不存在，它的第一假定是存在无穷多个零点，不过这也是在一定意义下Siegel零点才存在，这跟前面我说Siegel最多只有一个，意义、范围、参数都不一样，都有零点。那推论会是什么样，孪生素数猜想是对的，由此，这个可以推出孪生素数。如果假定只有一个Siegel零点存在，那在对一堆L函数，对它们来讲在一个区域里头，连广义黎曼假设都是对的，但是这都是要有条件的。
再回到Landau Siegel零点问题，如果说它可以推出一连串，某种意义上比原来黎曼假设更强的结果，我们希望能够通过由这些更强的结果某种程度来讲是过分强的结果，得出矛盾，而这矛盾是Landau-Siegel零点，某种意义下它确实是不存在的。这里我们刚才提到了有很多技巧可以用上，然后最后我介绍一下，因为我在这方面有些尝试，目前来看，应该是有一些函数还是会很有意义的一些进步。这个进步弄到最后是什么样，我就把Landau-Siegel零点，用他关系到的去估计一个离散的对零点的集合和对异族推理出来函数，这个sin是特征，cos是IOS的零点，就是说如果存在一个Landau-Siegel零点成立的话，我最后能够得出这个不等式来，而这个不等式我不用说了，明显是错的，于是这里就能够出矛盾。从这个角度来讲，我们由Landau Siegel零点的存在性，我们就得到了一个矛盾。目前来讲，我能够做一个报告，至少一个弱形式这个问题方面还是有可能做出来，但是整个technical的东西是非常非常复杂的。
我想我就先讲到这儿，谢谢大家。
注：本文根据演讲内容整理而成，以视频内容为准。
最后，小未送上一张图，各位懂数学的盆友可以看看自己属于哪个级别了，反正小未是还在海面上漂着 😢
图片来源：网络，致谢
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