Stata：RDD与RKD的最优模型选择-pzms
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连享会 · 2022 面板数据因果推断专题
作者：高净鹤 (东北财经大学)
邮箱：jh.gaook@gmail.com
编者按：本文主要参考自下文，特此致谢！
Source：Kettlewell N, Siminski P. Optimal model selection in RDD and related settings using placebo zones[J]. Life Course Centre Working Paper, 2020 (21). -PDF-
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目录
1. 简介
2. 理论背景
3. Stata 实操
3.1 命令介绍
3.2 命令应用
4. 注意事项
4.1 在模糊 RDD 和 RKD 上的应用
4.2 如何为安慰剂区检验设定最大的带宽？
4.3 允许异质性的处理效应
5. 相关推文
1. 简介
断点回归 (RDD) 和拐点回归 (RKD) 是实证经济学中重要的工具。然而，估计方法的变化是多维度的，如带宽、函数形式、核密度、协变量等，并且在阈值两侧也可以不一致，这使得研究中在实证中通常要面临许多潜在估计方案的选择。在特定的应用情境下，估计值可能会因研究人员的选择而存在较大差异。虽然在模型选择过程中存在各种指导准则，但这些准则通常只针对其中一个维度。
本文提出了一种用于 RDD、RKD 和相关 IV 估计模型选择的新方法。该方法允许产生带宽、多项式和任何其他选择参数的最佳组合。同时，这种方法还可以告知模型类别的选择 (例如 RDD 与 cohort-IV) ，以及任何其他选择，包括协变量、核密度或其他权重等。
2. 理论背景
参考精确 RDD 模型，考虑一个随机样本 ，，其中 和 分别为接受和未接受处理的潜在产出。处理 由超过 这一阈值的驱动变量所决定，即 。因此观察到的样本 满足 。
感兴趣的参数是在阈值处的平均处理效应 。 的候选估计方式有很多，在一些充分的条件下，本文的模型选择方法最终收敛于 的所有估计方式中具有最低 的估计方式，那么该方法是渐进最优的。随着安慰剂区重复次数 趋于无穷大，连续安慰剂阈值之间的距离保持不变。
为了建立渐进最优性，就要证明对于每一种候选估计方式，阈值估计的 与每个相关安慰剂估计的 相同，即要证明：
其中，其中 是每个安慰剂阈值的位置， 是用于此估计方式的带宽。对于每个候选估计方式，我们观察每个 的 。因为 ，所以 。如果等式 (1) 成立，那么 与 无关，且 。
本文在以下假设条件下证明等式 (1) 成立：
是均匀分布的； 和 同方差； 和 关于 的条件期望是连续的、平滑的，并且四阶导数为零； 平均处理效应关于 的二阶导数为零。
考虑一组局部线性候选估计方式，每个估计量具有独特的对称带宽 。 表示带宽为 的局部线性估计的处理效应。估计的处理效应是 。其中 和 可以使用阈值两侧的两个独立线性回归来估计。为简单起见，去掉下标 ，这些回归方程为：
类似地，定义 为在安慰剂阈值 (真正的断点为零) 处的断点估计，使用的是与上述相同的局部线性估计和带宽。，其中 和 是来自以下回归的估计：
任意估计方式的处理效应的 为：
对于每一个局部线性回归， 是两个回归 (式 2 和式 3) 的方差及估计量偏差的函数：
假设 (3) 和 (4) 意味着真正的 DGP，采用以下形式：
换句话说，这些假设意味着 CEF 可以是全局立方的，在阈值处有潜在的断点 和拐点 。在 CEF 条件下， 和 是式 (2) 和 (3) 中线性回归的省略变量，而 和 。因此使用线性模型估计 和 是有偏差的。使用遗漏变量偏差公式：
其中， 是 对 估计的常数项：
是 对 估计的常数项：
同样，
因此，
然而，，，因此
。接下来证明 ，对于 。替换 ，式 (4) 和 (5) 等价于：
式 (8) 中的 DGP 可以表示为：
展开式 (17) 并且合并同类项：
其中，，，。式 (18) 也可以做类似的展开。式 (15)、(16)、(19) 分别等价于式 (2)、(3)、(8)。
如上所示，RDD 估计值的偏差仅与真实 DGP 的 CEF 三阶导数成正比。式 (19) 中的三阶导数 与式 (9) 中的相同，因此对于 。
在给定假设 (1) 和 (2) 的情况下，很容易证明 。因此，，在假设 (1)-(4) 下，本文的方法满足渐进最优性。
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3. Stata 实操
3.1 命令介绍
命令安装：
net des pzms
net install pzms.pkg, replace
net get pzms.pkg, replace // 范例数据
命令语法
pzms depvar runvar [if] [in], maxbw(real) [options]
其中，maxbw(real) 用于估计的最大带宽。options 包括：
c(#)：处理效应的断点值，默认为零。minbw(#)：用于估计的最小带宽，未指定时被设置为0.1*maxbw。pzrange(# #)：安慰剂区的范围，在用maxbw中指定的值划分该范围时，必须在其内部包括c(#)。默认值是驱动变量的全部范围。p(#)：估计时要考虑的多项式阶数，默认为 1，即线性候选模型；当指定为 2 时，将同时考虑线性和二次项。deriv(#)：指定候选模型的导数阶数，精确 RDD 默认是 0，精确 RKD 默认为 1。pzstenum(#)：要执行的安慰剂区迭代的次数，为最大迭代次数。如果还指定了pzstepsize，则不能使用pzstepnum。如果pzstepnum和pzstepsize都没有指定，则默认值为 50。pzstepsize(#)：连续安慰剂阈值之间的距离，如果还指定了pzstepnum，则不能使用pzstepsize。bwstepnum(#)：最大带宽maxbw和最小带宽minbw之间的带宽数。如果没有指定bwstepnum或bwstepsize，则默认为 20。bwstepsize(#)：考虑的候选估计之间的带宽增加 (以驱动变量为单位)。nolog：不显示迭代计数。vce(string)：指定标准误的类型。可以使用任何可用于 Stata 命令回归的vce。默认是同方差标准误差。covs(varlist)：指定要包含在候选模型中的协变量。如果选择了这个选项，将为每一级多项式p(#)、有和没有协变量都估计一个模型。例如，如果指定p(2)，将有四个模型进行比较，即无协变量的线性模型、有协变量的线性模型、无协变量的二次模型和有协变量的二次模型。kernel(string)：核密度类型。支持均匀核密度uniform和三角核密度triangular。默认为uniform。weight(varname)：指定分析权重。除mcustom#中指定的模型外，该权重将应用于考虑的每个模型。collapse(string)：实现算法之前在驱动变量的水平上折叠数据。如果指定了collapse(weight)，则估算值将根据折叠箱对应的观测数进行加权。如果不希望在数据折叠时对观测频率使用权重，则使用collapse(noweight)。当驱动变量是离散的，并且有许多观测值或安慰剂区迭代时，折叠选项可以大大提高速度，而不会影响估计。bwlfix(#)：在阈值左侧固定带宽长度。当受数据限制，如左侧带宽较短，右侧带宽较长时，或者研究非对称带宽，通常使用该选项。bwrfix(#)：在阈值右侧固定带宽长度。donut(# #)：生成一个核密度图，描述最优模型的安慰剂估计的分布。该图使用 Stata 的kdensity命令和默认设置。pzplot：删除指定范围内的观测值。第一个#指定在该值内的驱动变量的观察值将被删除。第二个#指定在这个驱动变量的值中，在临界值右边的观察值将被删除。mcustom#(# #, mcustom_options)：自定义特性候选集模型。通过使用mcustom1()，mcustom2()等，可以指定多达 10 个自定义模型。mcustom中的第一个参数是处理阈值左侧的多项式阶数，第二个参数是右侧的多项式阶数。例如，如果想估计一个左边是线性的，右边是二次的模型，可以指定mcustom(1 2)。mcustom_options包括：covs(varlist)：指定要包含在自定义模型中的协变量。kernel(kernal type)：在自定义模型中核密度类型。支持均匀和三角。默认为uniform。weight(varname)：在自定义模型中指定分析权重。
3.2 命令应用
虽然该方法可用于在一系列维度上变化的候选估计之间进行选择，但它的主要用途是帮助 RDD 估计选择带宽和多项式阶数。
. * 使用默认设置进行模型选择和估计
. use pzms_example_data.dta, clear
. pzms y x, maxbw(0.99)
Estimated Treatment Effect Using Optimal Model Observations: 1330
Threshold: 0
vce:
---------------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
Homoscedastic | .29204 .01644 17.768 0.0000 0.2598 0.3243
KS rand. infer. | .29204 .013 22.466 0.0000 0.2611 0.3230
---------------------------------------------------------------------------
. * 二阶多项式和聚类标准误
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x)
Estimated Treatment Effect Using Optimal Model Observations: 1330
Threshold: 0
vce: cluster x
---------------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
Robust | .29204 .01587 18.4 0.0000 0.2606 0.3234
KS rand. infer. | .29204 .013 22.466 0.0000 0.2611 0.3230
---------------------------------------------------------------------------
. * 增加带宽数和安慰剂阈值的距离
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) bwstepnum(25) pzstepsize(0.02)
Estimated Treatment Effect Using Optimal Model Observations: 1310
Threshold: 0
vce: cluster x
---------------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
Robust | .29196 .01614 18.089 0.0000 0.2600 0.3239
KS rand. infer. | .29196 .01235 23.645 0.0000 0.2653 0.3186
---------------------------------------------------------------------------
. * 考虑一个具有三角核的自定义线性函数模型，并利用最优模型绘制安慰剂估计
. pzms y x, maxbw(0.99) p(2) vce(cluster x) bwstepnum(25) ///
> pzstepsize(0.02) mcustom(1 1, kernel(triangular)) pzplot
Estimated Treatment Effect Using Optimal Model Observations: 1610
Threshold: 0
vce: cluster x
---------------------------------------------------------------------------
Inference method | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------------+-------------------------------------------------------
Robust | .29787 .01592 18.712 0.0000 0.2664 0.3293
KS rand. infer. | .29787 .0122 24.41 0.0000 0.2721 0.3236
---------------------------------------------------------------------------
4. 注意事项
本文的方法不应被视为能毫无问题地自动选择客观最佳模型。接下来将讨论一些复杂情况和使用该方法的建议。
4.1 在模糊 RDD 和 RKD 上的应用
对于模糊 RDD 和 RKD 这些依赖于第一阶段设计的模型来说，在安慰剂区内可能不存在处理变量和驱动变量之间的第一阶段关系。在这样的模型中，一种可行的做法是，使用本文的方法为简化形式的断点 (或拐点) 选择一个估计模型，即阈值范围内结果变量的断点 (或拐点)。
4.2 如何为安慰剂区检验设定最大的带宽？
本文的方法必须为估计模型选择最大带宽，当不存在自然约束时，建议在选择最大带宽之前对数据进行检查。对于给定的模型类型，一个关键的考虑因素是处理效应估计值和带宽之间的关系。当选择某一个带宽时，处理效应发生明显变化，可以选择该带宽作为最大带宽。
4.3 允许异质性的处理效应
对不同类别的模型进行比较是困难的，因为不同类别的模型通常估计不同的参数。例如，模糊 RDD 模型估计 LATE，而 RKD 估计 MTE，本文的方法可用于比较这些模型的表现。因此使用该方法时应考虑潜在处理效应异质性的影响。考虑到将处理效应异质性施加到安慰剂区的情况，在 Kettlewell 和 Siminski (2020) 中，作者演示了如何解决这个问题。
5. 相关推文
Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
lianxh 断点, m
安装最新版lianxh命令：
ssc install lianxh, replace
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