连玉君Stata33讲：面板数据模型简介-FE和RE有何区别？
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Note：本文为连享会 B 站视频课 连玉君公开课 Stata 33 讲中 「XT2：FE 和 RE 模型」的文字版。课程 dofile 和复现文档可以前往 https://gitee.com/arlionn/stata101 下载。
文字整理：冯超楠 (北京航空航天大学)
E-mail: fengcnhpy@126.com
内容提要：
本节学习最为常用的两个面板数据模型：固定效应模型 (Fixed Effects model，简称：FE) 和随机效应模型 (Random Effects model，简称：RE)
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目录
1. 基本原理
1.1 混合 OLS 估计 (POLS)
1.2 固定效应模型和随机效应模型
2．模型的 Stata 实现
2.1 估计命令
2.2 重点解读 Stata 中固定效应估计的具体思路
3. 混合 OLS 与固定效应模型估计之间的差异
3.1 举例说明
3.2 在 Stata 中的实例
3.2.1 不同模型估计: Stata 代码
1. 基本原理
1.1 混合 OLS 估计 (POLS)
首先回顾混合 OLS 模型，对于截面数据而言有以下线性表达式，其中 i 代表个体维度 (例如公司)，公式如下:
对于 Panel Data 而言有以下表达式，其中 i 代表个体维度，t 代表时间维度
若直接用 OLS 方法应用于 Panel Data，则被称为混合 OLS 估计 (POLS)。在 Stata 中直接输入 reg y x 就可以实现对该模型的混合 OLS 估计。其缺陷在于忽视了实际中个体效应对被解释变量的影响，如面试官的特征会对面试结果产生影响，公司不可观测的公司文化、CEO 的特征等会影响公司的业绩表现及财务决策，因此，将不变的截距项 替换成随个体变化的截距项 后， 在经济意义上反映了每家公司不可观测的个体特征 (公司文化、CEO 特征等等)。
接下来就转入考虑个体特征的模型。
1.2 固定效应模型和随机效应模型
1.2.1 固定效应模型
首先看一下固定效应模型，模型右边所有的解释变量为 ,其中 为随机扰动项，前两项中 项既随个体 i (公司)，又随时间 t 发生变化，而 项仅随个体 i 变化，不随时间 t 变化，被称为 “个体效应”。可以看到，固定效应模型在混合 OLS 模型基础上作了改进，允许个体之间有不同的截距项，这种截距项用来反映不同个体间不可观测的 “个体效应”。
1.2.2 随机效应模型
再来看一下随机效应模型，与固定效应表达式相同，不同的是此时 被认为是模型的 (复合) 扰动项，第一项 只随个体i发生变化，在时序维度上维持稳定 (即上述提及的 (“个体效应”))，第二项 同时随个体和时间发生变化，即随机效应模型是在干扰项的设定上反映 “个体效应”。
1.2.3 固定效应模型与随机效应模型不同之处
固定效应模型和随机效应模型的表达式完全相同，但背后的含义完全不同。固定效应模型假定“个体效应” 为模型解释变量的一部分，可与其他解释变量 相关；随机效应模型将“个体效应”将 放入干扰项 (作为随机变量)，与解释变量 不相关，这是两个模型假设方面的主要差别。
在估计方法上，固定效应模型只需要在OLS基础上加入一系列 firm dummies，用来反映不同公司间截距项的差别，即“个体效应“；随机效应模型的干扰项相对复杂，由 (不随时间变化) 和 (随时间变化) 两部分构成，导致异方差问题出现，此时需要采用广义最小二乘估计 (GLS) 方法。
2．模型的 Stata 实现
2.1 估计命令
2.1.1 固定效应模型在Stata中的估计命令
xtreg y x, fe
reg y x i.id
areg y x, absorb(id)
2.1.2 固定效应模型在Stata中的估计命令
xtreg y x, re
2.2 重点解读 Stata 中固定效应估计的具体思路
2.2.1 原理
(5) 式为固定效应模型的表述
(6) 式为每家公司内部进行了“压缩“处理，对每家公司时序上的作了平均处理 (计算组内平均值)：
(7) 式为整个样本的“压缩“处理，得到：，被解释变量在整个样本内的平均处理：
(5) - (6) 去除了不可观测的 “个体效应”， (8) 式通过 (5) - (6) + (7) 得到，该变换称为组内去心，据此得到的估计量称为 Within-group Estimator (组内估计量) 或 De-meaned Estimator (去心估计量）
2.2.2 Stata 中的操作
先用数据处理方式计算 (5) - (6) + (7)，随后采取 OLS 方式：reg ****，可得到固定效应模型估计值 。
3. 混合 OLS 与固定效应模型估计之间的差异
3.1 举例说明
3.1.1 Case I
如下散点图，若直接进行 OLS 估计，得到红色的拟合线，反映 y 与 x 之间的负相关关系。
若了解数据背后的特征：每个红圈内样本点对应三家公司，假设三家公司有相同的斜率，对应截距不同三条拟合平行线 (更好反映数据拟合的结果) 为我们通过固定效应模型估计得到的结果。
同样的数据，POLS 和 FE 估计结果可能完全不同 (Case I 中 POLS 估计结果显著为负，而 FE 估计结果显著为正)。
3.1.2 Case II
散点图：三家公司在不同年份的样本点 (Panel Data)，整体拟合，可得到一条紫色的拟合线，即 x 和 y 存在正相关关系。
考虑到个体特征，使用固定效应模型估计，得到三条平行蓝色拟合线 (斜率相同)，每家公司有其特定的截距项
该种情形下，两种估计方法得到的估计值 (斜率) 都为正，但在数值上有所差异。
3.2 在 Stata 中的实例
3.2.1 不同模型估计: Stata 代码
我们使用 invest2.dta 作为研究数据，invest2.dta 包含 100 个观察值：5 家公司，每家公司有 20 年资料，涉及公司 id、时间 t、投资支出 invest、市场价值 market、资本存量 stock 五个变量。有多种方法估计投资支出 invest、市场价值 market、资本存量 stock 三个变量之间的关系，假设我们想研究投资支出、资本存量对市场价值的影响，则在回归模型中被解释变量为市场价值 market，解释变量为投资支出 invest、资本存量 stock，不同模型和估计方法 Stata 命令如下：
webuse "invest2.dta", clear
xtset company time
global y "market"
global x "invest stock"
regress $y $x //POLS
est store POLS
tab company, gen(dum)
regress $y $x dum2-dum5 //OLS+Dummies(id)
est store OLSdum1
regress $y $x dum1-dum5, nocons //OLS+Dummies(id)
est store OLSdum2
xtreg $y $x, fe //FE
est store FE
xtreg $y $x, re //RE
est store RE
local m "POLS OLSdum1 OLSdum2 FE RE"
esttab `m', mtitle(`m') nogap compress ///
scalar(N r2 r2_w r2_b r2_o) ///
star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01)
3.2.2 不同模型估计和解释
---------------------------------------------------------------
(1) (2) (3) (4) (5)
POLS OLSdum1 OLSdum2 FE RE
---------------------------------------------------------------
invest 4.453*** 3.053*** 3.053*** 3.053*** 3.847***
(9.24) (6.67) (6.67) (6.67) (7.96)
stock -0.115 -0.676*** -0.676*** -0.676*** -0.798***
(-0.33) (-3.05) (-3.05) (-3.05) (-3.11)
dum2 -2404.0*** 512.3***
(-12.40) (5.96)
dum3 -1016.6*** 1899.7***
(-4.59) (19.03)
dum4 -2318.4*** 597.9***
(-11.30) (7.15)
dum5 -1979.4*** 936.9***
(-15.50) (5.92)
dum1 2916.3***
(14.99)
_cons 849.6*** 2916.3*** 1372.6*** 1212.8***
(7.42) (14.99) (17.83) (7.84)
---------------------------------------------------------------
N 100 100 100 100 100
r2 0.667 0.936 0.978 0.417
r2_w 0.417 0.416
r2_b 0.696 0.705
r2_o 0.632 0.638
---------------------------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01
结果解读如下：
列 (1) - (5) 分别是 POLS、OLS+Dummies(id) 有常数项、OLS+Dummies(id) 无常数项、FE、RE 模型估计结果。 (2) - (4) 估计系数以及 t 值完全一样，即无论是 OLS+Dummies(id)还是reg，fe进行固定效应的估计，估计系数及标准误完全相同。唯一的差别在于 R2，固定效应 reg，fe组内去心方式在计算 R 平方的时候已经去除了 “个体效应” 的贡献，及列 (2) R 平方 (0.936) 与列 (4) R 平方 (0.417) 的差异在于 Dummies(id) 对 R 平方的贡献。列 (5) 是随机效应模型估计结果，从系数值及方向上比较而言，与列 (4) 固定效应模型估计结果更相似。
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