共线类- 旁心+对称- 2020Iran3rd-G3

大法

今天给大家继续分享第三轮的几何题目, 这个题目的点有些不好找, 来试试吧.

题目标签: 共线类- 旁心+对称-

知识储备: 旁切圆与内切圆位似关系

题目如下:

中内的旁心为, 旁切圆与, 延长线分别切于点, , 为关于的对称点, 与交于点, 为的外心. 求证: 穿过中点.

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首先第一感觉就是的构造太离奇了, 先放一边一会再说, 结合的构型, 应该不难想到内切圆与旁切圆的一个位似的小性质, 下面先来解决一下的结构.

引理1: 中, 为内心, 为内的旁心, 与分别为内切圆与旁切圆与的切点, 与旁切圆交于, , 则, 且为旁切圆切线.

引理的证明: 根据与关于点位似, 得到, 为相似对应点,

因此为的直径.

则为中位线, 故.

结合, 为中点,

得到.

因此证毕!

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回到原题:

设, 分别为旁切圆与内切圆与的切点, 与的第一个交点为,

则由引理1得: 且为切线.

位置刻画的差不多了, 现在该思考怎么证明这个命题了, 结合与均为圆心, 因此考虑从公共弦入手. 那么其实我们只需要说明与的公共弦被垂直平分即可!

思路来了, 下面我们更希望利用对称性, 因此作出关于的对称点, 则只需要证明在上即可, 也就是证明四点共圆. (消去)

下面我们证明四点共圆:

注意到

• 因此只需要证明即可!

这里注意到:

得, 结合对称性得到

.

旋转相似得

故

故证毕!