简约教学研究｜案例解析《数与形》——冯江浩工作室【第5期】
课例分析
名师课堂：《数与形》—徐长青
工作室主持人冯江浩老师自2013年度跟随徐长青工作室研修，观摩了徐老师不断出新的丰富案例、感悟了工作室不断沉淀的简约理念。我们工作室的案例分析板块特选择了徐长青老师的经典课例《数与形》的片段进行解析，因为课例精彩无限，特分为两期为大家做分享。一起先来走进这节课的第一部分吧！
简介
前 言
通过学生解读“数学是什么”和教师解读“数学是研究数量关系与空间形式的科学”后感受到数学中满是数与形的学问。而后通过教师展开的“观一年级小朋友的画形而猜数”环节初步体验到数与形有关系，而后进入例题教学。
01
案例片段 1
【案例片段1】
师：今天徐老师带你们推开数与形的一扇大门，我们看看门后面有谁？文化总和人物相连，他来了，谁呀？
生：华罗庚。
师：想听他说吗？
生：想。
师：可惜你们听不到了。为什么？
生：它是1910年11月生的，1985年6月去世的。
师：这位女生捕捉到了照片下面的生平信息，了解到华罗庚已经去世了，但是现在我们依然记得他，你知道为什么吗？
生：因为他留下了很多知识。
师：因为文化我们永远记住了他，虽然华罗庚不在了，那么今天就由徐老师把他的思想原原本本地传递给你，大家小声说说看。
生：数无形时少直观，形缺数时难入微。
【案例解析】
我们能从这个片段中看得出课堂承载的不仅仅是知识，课堂上的文化引领使得我们数学教育的“育”呈现了它应有的姿态。立德树人，树的是品格，树的是文化。无论是信息意识，还是文化浸濡，都满载一位简约教学创始人的情怀和深思。
02
案例片段 2
【案例片段2】
师：继续进行下一个小活动，（点击屏幕）来了，看到了什么？
生：我看到了一个正方形，
师：“一”是数，“正方形”是形，太简单了。下面敢挑战吗？现在是几个？
生：4个，1+3=4。
师：再来看，现在有多少个小正方形？
生：再加上5个，应该是1+3+5=9。
现在有多少个呢？
生：我已经发现了规律，是1+3+5+7=16，一次比一次多2，都是连续的奇数相加。
师：掌声送给他，由于他发现了规律，也就结束了这个游戏。我们知道沿着这样的规律写下去还有吗？
生：有，写不完。
师：我画上省略号。那你能直接猜下一个算式是什么吗？
生：1+3+5+7+9=25。
师：看来你们都会了，这不是重点，这就是你们之前学习的找规律，这有什么难的，徐老师想知道它们右面的结果有什么共同的特征？说说看。
生：右面的结果都是平方数。1是1的二次方，4是2的二次方，9是3的二次方，16是4的二次方。
师：下一个呢？说的完吗？谁能说出一个小式子就能代表所有的数？
生：n的平方。
师：五年级我们学过了用字母表示数，真棒！除了可以用n表示，也可以用a来表示。可以写作a的平方。现在写完了吗？
生：写完了。
师：写不完的是算术，当我们用字母表示数之后，我们用一个含有字母的小式子就概括了它全部的特征，一下子把它写完了。
【案例解析】
在这个教学片段中，我们能看到简约教学的课堂上学生与教师的共处状态的和谐自然，正如徐老师的简约教学理念所倡导的，让学习像呼吸一样自然和自由。学生跟着形出发，正如当时睁开眼睛看到的世界，满是形。循着学生学习经验的增长，这些散落的“形”在学生的眼里进行了“数”的加工，在课堂上的学生看着看着就算了，算着算着就找规律了，找着找着就模型化了。其中的从“算术到代数”的设计巧思，引得学生去具体与抽象、有限和无限的深处探寻。
03
案例片段 3
【案例片段3】
师：我们说了半天，光在研究数，我们今天不是研究数与形吗？看到a的平方，你们想到了什么形呢？
生：正方形。因为正方形的面积S等于a的二次方，也就是a的平方。
师：好熟悉的小式子，这是正方形面积公式，会联想，真棒！你能找到a在哪吗？a的平方在哪里？
生：a表示边长，a的平方表示面积
师：也就是a的平方表示边长是a的正方形面积大小。谁能表述表述3的平方是什么含义？
生：表示边长是3的正方形的面积大小。
师：数能变成形，形能变成数。敢情我们看到的3的平方在你的脑里就是边长是3的正方形面积大小。这不算本事。1+3+5，你能想到正方形吗？
生：能，边长是3，面积是9。
师：你看看，数和形不仅有关系，而且关系还很密切。那密切的关系之间可以相互变化。那我们尝试着把左边的数变成形，万事开头难，我们把1和1的平方画成一个正方形。第二个算式1+3谁能继续画，把它表示出来？
生：我再画3个正方形，这样就是1+3=4，也可以想成2×2=4。
师：谁能画出1+3+5？
生：我再后面继续画5个。
师：请你和大家说一说加法算式在哪里？
生：最里面的1个，加上外面的3个，再加上最外面的5个就是9个。
师：你脑子里除了用加法算出来得9，还能怎样知道是9？
生：3乘3。
师：3的平方就得9，掌声欢送。唉，你看看，刚才经过我们一起研究，发现很有意思，我们把加法算式转变成这样的正方形，用乘法一下就能求出结果。其实他们刚才画的过程在屏幕上，（点击屏幕）就是这样，还记得吗？现在加法算式是多少？
生：1+3+5+7。
师：得多少？
生：16。
师：你这么快想到16，你有一个什么算式？
生：4乘4
师：也就是你看到这个算式，你想到了什么形？
生：正方形。
师：边长是几的？
生：4的
师：刚才边长是几的？
生：3的。
师：你发现正方形的边长和什么有关系？
生：加数的个数。
师：真棒，那继续来挑战一下，看到这个图，你知道又加几了吗？
生：加9。
师：现在有多少个小正方形？
生：25个。
师：你是用什么算的？
生：乘法算的。
师：下一个？
生：36，加的是11。
师：太快了，再看下一个？
生：49。
师：像这样说不完，我们已经找到了规律。就像他说的，有几个加数就是几的平方。这就是我们五年级、三年级、一年级都学过的找规律，今天的关键不是找规律，关键是我们看到的数，转化成我们脑里的形，那从此以后，还是数是数、形是形吗？
生：不是。
师：其实形就是数、数就是形，当数走不通的时候，我们可以把它转化成形，当形走不动的时候，我们可以把它转化成数。
【案例解析】
解析：寻出数的规律，再度走进形的对应，徐老师引导学生通过式的分析及图的观察对相邻奇数为加数的个数、边长数，边长平方表达的面积数的关系梳理清晰、理解透彻。其中，学生体会到数与形不仅“有关系”，而且“很密切”，从而形成了规律认识，为练习提升部分做好了铺陈。正是因为徐老师的教学实施循着学生的认知发展序而生长，课堂才呈现了“思维共振、情感共鸣、个性共扬”的三共简约课堂。
【尾 篇】
通过以上片段，我们看到了徐长青老师作为“数学人”的数学功底，使得抽象、推理、建模数学思想在课堂呈现如行云流水般，同时那“简约人”的标识，让我们能看到在数与形关系展开过程中，体现了简约关键要素中的“约取”与“简构”的深度演绎。最后，我们工作室将简约教学成果凝练而成的“简约教学数字诀”分享给大家，我们可以在思考中期待《数与形》第二部分案例分析的呈现。
简约教学数字诀
一区两序三关键，四步五疑七个简，
六一八三九个二，教学评价十个yu。
撰稿：孙亮
审核：冯江浩
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