第3期：数学大单元作业设计与实施丨《大单元作业学习周》

本期分享 | 北京十一学校数学教师  郑子杰

介绍：北京大学信息科学技术学院博士；入职十一学校以来，在每学期都设计和实施了大单元学习任务，具有丰富的大单元教学经验

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什么是大单元作业？

我在操作层面的理解是，面向一个单元或者一章内容的核心概念和核心目标设计的作业。比如，初一的第一章内容为有理数，它的核心概念就是有理数，只要跟有理数相关的，能够帮助学生理解和应用有理数的作业都叫大单元作业。所以，刚开始进行大单元作业设计的时候不要给自己太多束缚，凡是与有理数相关的都可以进行尝试。

为什么我能够进行大单元作业教学实践呢？主要因为我们集合了团队的经验，大家一起完成学生任务的设计与实施，我和学校的邓芸老师、张伟老师、曹磊老师、漆玲老师组成了2019级直升初一、初二项目组，我们在每个学期都设计了大单元作业学习任务。在整个设计过程中，我和漆老师会先提出一些关于作业的设计想法，然后邓老师、张老师、曹老师再对这些想法雏形进一步加工，确保最终的学习任务能够实现整个单元的学习目标。在这个过程中，有经验的老师很重要，我们需要他们把握住教学的大方向。

接下来就跟大家分享一下，我们是怎样给北京十一学校2019级直升区学生设计实施每学期大单元作业学习任务的：直升初一上，我们先基于数学的有理数单元，设计了二进制学习任务；直升初一下，我们在疫情的背景下设计了几何画板线上任务；直升初二上，如果学生已经在初一的学习任务中有所体会和感悟，能力也得到提升，我们可以提供给学生更具开放性和自主性的选题，让他们进行PPT展示和答辩；直升初二下，这时学生已经进行了三个学期的学习和积累，我们可以布置一些数学课题的论文让学生进行撰写。

需要注意的是，随着学生年龄的增长和知识储备的增加，以及他在这些单元任务学习过程中能力的增强，我们最后的任务设计也会更综合一些。

直升初一上：

有理数单元二进制学习任务

设计二进制学习任务

我来学校后设计的第一个有理数单元作业是二进制学习任务。简单介绍一下这个学习任务的设计过程。

首先了解一下概念，二进制数是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。简单理解一下，十进制是逢十进一，比如19可以写成

相应的二进制逢二进一就可以写成

最后，“逢二进一”就将一个十进制的数字“19”改写成了二进制的数字“10011”。

但是为什么会想到设计二进制学习任务呢？原因主要有两点。

第一，这跟我的学科背景有一定的关系，我是北大信息科学技术学院毕业的，所以对计算机比较熟悉，而在计算机中，最常用的是以“开关”来实现基本逻辑，开关就是二进制，其中开代表二进制的“1”，关代表二进制的“0”。

第二，二进制与有理数的进位和借位规则不太一样，但是其他的运算规则完全一样。比如，有理数单元中出现的“负数”，在现实中的二进制数字前面加上“负号”，同样可以表示“负数”，对于计算机中的二进制，虽然它只能由小开关来实现运算逻辑，只能用“1”和“0”来表示负号，但是我们还可以进行“补码”，最终也可以表示出“负数”。（补码：对于负数a，在计算机中用2N-|a|；N为存储位数。）

提出二进制学习任务的设计想法之后，教研组的老师们先一起讨论提炼出了有理数单元的教学目标：

1）让学生了解数系扩充的重要性与必要性。小学只有正数和0，本单元最重要的内容就是引入了负数，进而有了相反数和绝对值的概念。

2）让学生掌握数形结合的数学方法。在有理数单元，第一次引入了数轴工具来形象化地描述数字。

3）发展学生的数学运算核心素养。由于有理数单元引入了负号，所以一些运算会变得更加复杂，比如加法和乘法的有关运算律、指数的运算等等。

然后我再将计算机中的二进制补码与有理数单元中的教学目标进行了对标分析：

1）在数系扩充部分，有理数单元是让学生学会用负号来表示负数，而计算机中的二进制补码用2N-|a|也可以表示负数。

2）在数形结合部分，有理数单元引入了数轴工具，数字可以表示到负无穷和正无穷，在计算机中也有一个数轴，把二进制的码从8个0排到8个1，数轴就变成了一个圆形，如果在某一点剪开，从这个点开始就是最小负数，这个点的右边就是最大正数，这些也都可以跟二进制的补码对应上。所以一些学生也可以用这样一个旋转的、形象化的工具来表示有限的位数，同时对应上补码的运算规则。

3）在运算与运算律部分，有理数单元是引入“负号”，那怎么进行处理的呢？就是全部变成减法运算，加上一个负数等于减去它的相反数。在计算机的二进制补码中，是刨去溢出部分，把所有的负数当成正数进行加法运算。

我们设计这个学习任务的主要目的是，希望学生能够自发地去讨论和思考，一个数系扩充之后它的数字该怎样表示？新的运算规则和运算律会变成什么？应该怎样用形象化的工具去表示不同的数？

实施二进制学习任务

正式学习中，直接跟学生讲“补码”大家肯定听不懂，所以我们也设置了学习任务梯度。

首先将教材上的有理数内容讲完，让学生掌握正负数的运算和数轴工具的使用；然后引入难度1——现实中的二进制，让学生了解现实中二进制与十进制除了进制转换不同，其他全部相同；接着引入难度2——计算机中的原码，不用“—”来表示负号，而用“1”来表示负号；最后引入难度3——计算机中的补码，用2N-|a|表示负号。

我们具体是怎样操作实施的？

1）学习任务讲解。针对难度1、难度2、难度3的学习内容，我们会在布置作业的时候通过PPT进行简单讲解，并为学生提供正反面学习任务清单，之后还会将一些基本运算规则制作成海报贴在墙上，让学生可以随时查看。

2）学习任务设计。有理数的任务主要是教材；现实中二进制的任务主要是学校自编读物和用来熟悉“0”与“1”的计算题；计算机原码和计算机补码的任务主要是阅读材料+计算+简答。对学生来说最重要的是要清楚原码和补码到底是什么，所以我们给学生的任务单上会有很多阅读材料、链接，以及计算、思考和简答的题目。

3）学习任务实践。整个学习任务实践花费了将近一个月的时间，主要安排为先让学生个人用一个周末了解现实中的二进制，然后小组花费1到2周的时间完成原码、补码任务，最后小组用三天时间进行任务汇总整理。

4）任务结果反馈。最后，学生还需要按组提交一份整理版的答案，然后每个人进行自我评价并记录下在学习过程中的收获。提交答案和评价之后，老师也需要对每组的答案进行评阅，并评选出优秀作业进行统计。在这个环节中，学生的自我评价表是非常重要的，学生需要通过填表进行自我总结，老师也需要通过表格统计学生们在学习中的困惑。

5）作业讲评。一个小学段结束之后，老师会面对所有学生进行一个报告，报告中不仅会讲清楚学习任务的设计意图，也汇总了学生们的各种问题并对大家进行讲解，同时我们还整理了学生们的原创想法，并告诉大家这些想法对未来会有哪些启发。

直升初一下：

几何画板线上任务

初一下学期的学习内容是平面几何，而当时正好赶上疫情，学生们需要在线上进行学习，为了保证调动学生的学习热情，让大家更自主地学习平面几何，我们设计了一个几何画板挑战赛，让学生在居家期间可以利用几何画板工具来学习平面几何。

那么，几何画板线上任务是怎么设计的呢？

接到线上开课的通知之后，教研组就马上来开会决定如何为学生设计居家任务，经讨论我们设置了基础任务、可选任务和展示性任务三类分层任务。其中，基础任务主要帮助学生理解平面几何的基本定理，比如过直线外（上）一点，怎样做已知直线的垂线或者平行线；可选任务主要是引领学生想办法验证和证明角平分线定理，但是他们能够执行这个任务的前提是，提前自学并掌握角平分线定理；展示型任务是更进阶的学习任务，比如让学生用画板做一个设定条件下的钟表。同时，根据任务的设置，我们还制作了结构化的说明文档和任务表单。

在实施过程中，我们将几何画板线上任务分为三个时间段进行，第一周让学生完成基础任务，第二周让学生完成可选任务，第三周让给学生完成展示型任务，并自发地使用几何画板讲题。

直升初二上：

一些数学课题的选题课题PPT答辩

在整个初一阶段学习任务的驱动之下，学生综合解决问题的能力已经有了一定程度提升，所以大家都已经能够习惯并且接受一些开放性的问题和综合性的问题了。

所以，初二上学期的时候，我们会在小学段期间组织学生进行选题答辩，由教师为学生提供课题，然后每个学生选择两个学科在小学段期间（一周）完成答辩。并且，对于每一个学科，我们也会提供若干个课题，让学生根据兴趣进行选择，比如数学学科就设计了6个课题：

1）棋类游戏中的必胜策略；2）万年历和同余：已知1600年的3月1日是星期三，计算国际固定历法的第N年底m月第k天的星期数，并在Python中实现；3）新冠感染人数预测：预测美国4月1日的新冠感染人数；4）数学答题闯关赛：基础类+建模类题目现场作答；5）常见的几何数论解题方法；6）常见的几何数论解题方法。

具体跟大家分享一下，我设计的关于新冠疫情预测的任务。

首先，我们从美国疾病预防控制中心（Center for Disease Control and Prevention，CDC）的官网下载了2020年1月以来CDC报告的全美每日感染人数的报告，并通过列表法将2020年3月16日至31日的数据提取了出来。为什么选择这个时间段的数据？因为当时正在新冠爆发期，还没有受到政策等其他因素的干预，所以数据比较平稳也容易进行拟合。

（纵轴代表日新增人数）

之后我再开始布置课题，让学生预测美国4月1日的新冠感染人数，此课题包括了5个小任务，比如，学生必做任务，用分段一次函数法给出函数的解析式，并绘制图像，最后给出预测得到的4月1日新冠肺炎的感染人数；学生选做任务，给出一个你认为合理的函数解析式，并仿照之前方法的说理过程，给出理由……

但是因为学生各方面能力都受限，很难直接执行任务，所以老师还需要为学生提供一个任务解决案例作为参考。刚好当时我看到了北京市2020年的中考题“垃圾分类预测”，所以直接用题目中的数据给学生进行了示范，比如跟大家分享怎样在这个案例中，使用分段函数差值、拉格朗日差值公式、最小二乘法等方法进行解题和建模预测。

另外，除了这些可以选择的课题，学生在学习过程中也会提出一些课堂中不方便讲解的问题，我们就会直接留成作业。

举两个例子：

1）当时刚好学了一元二次方程和十字相乘，有个同学就问三次方程要怎么解？我就让学生自己搜索，然后在小学段期间要跟同学们讲明白关于三次方程求解的核心，经过这样的过程这个学生就会三次方程和一次方程的基础内容。

2）我们正在学数论、同一方程的时候，有同学问身份证号的编码是怎么来的？我也是让学生自己去搜索了解，然后让他用一小段时间跟大家进行分享。

直升初二下：

一些数学课题的选题课题论文撰写

在十一学校，直升初二的下学期就相当于初中结业，因为学生已经在之前练习了一年半时间，所以他们现在已经具备极强的问题探索能力了。这时除了最后的考试，我们还会设置一些数学选题来让学生撰写课题论文。当时几个老师一起讨论了6个题目，提供给不同水平、不同偏好的学生进行选择，要求大家用1个月时间完成研究和撰写，这6个题目分别为：

1）一元二次方程根的分布问题的研究。一元二次方程根的分布问题，可能到了高中阶段才会讲，但是我们依靠初中积累的知识就已经足够对它进行分析了。

2）新类型函数的性质研究。学生已经在初中阶段学过一次函数、二次函数和反比例函数，就意味着他们可以进行一些新类型函数性质的研究了，所以我们要求学生仿照课本对一次函数、二次函数以及反比例函数的讨论过程，自己找到感兴趣的函数进行研究。

3）尺规作图不能问题的研究。之前学生已经学习了平面几何，也用几何画板做了很久的作图任务，所以我们决定让学生去进行一些尺规作图不能问题的研究。

4）将军饮马问题的更多可能。将军饮马是初中数学课本上的标准题型，我们想让学生自己去探索将军饮马的更多可能，比如河的形状是弯的或者是椭圆形的，又或者有多条河、河流转了好几个弯等等。

5）无处不在的测量。学生在中学阶段已经学习了相似三角形，所以也可以让学生去寻找和探索我们平时无法直接用尺子测量的问题。

6）初中平面几何知识总结。为了保证全员都可以参加这个项目，我们也要给一些基础较弱的学生保留发挥空间，在这个课题中，学生只需要总结一下两年来学过的平面几何知识就可以了。

但是，在这个任务环节中，老师不会再为学生提供像之前那样特别详细的内容和资料，以尺规作图问题研究为例，我们只给了一个尺规作图的背景描述，然后就要求通过查阅资料，总结和归纳常见的不能用尺规作图完成的图形（问题），并将其与代数方程进行关联，从而推导和证明出为什么这些类问题不能用尺规作图解决，最终撰写研究论文。

论文模板

时间安排

结语

首先在初一上、初一下的时候让学生学会解决具体任务，然后在初二上的时候引导学生解决综合性的问题，同时为大家设计一些参考和指引性的子任务，最后在初二下的时候让学生开始探索更加开放的综合性问题……初中两年我们都在进行这样的面向单元整体的任务式学习，其中需要重点提到的是，这整体是一个系统性设计和实施过程，需要组织的有利支持和保障，单靠我们个人或者一个团队是没有办法完成的。

那么，我为什么想做大单元作业呢？在最初面试的几所中学中，十一学校是唯一愿意听我聊理想的中学，当时我跟校长说，给我20年的时间我会让计算机数学发展成为中学的一个学科，这是我的理想和承诺，我一直没有忘记也一直在实践和探索。

“用教育的方式改变世界”，这是我们十一学校常提起的一句话，也在最后送给大家。

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