一个简单的问题让我掏出了高一数学：如何求任意两个平面的二面角？

上周末有个小伙伴问我，二面角怎么求？

我当时是很迷茫的，因为我给过他如何使用相关可视化工具进行二面角测量的教程，这个问题本不该存在。

问了后才发现，他问的是两个相邻比较远的环的平面的夹角。这当然是二面角，但是目前的计算化学工具可视化是做不了这种的二面角测量的。

如果大家知道什么软件可以进行该测量，请留言分享一下。

那么此时该如何去处理？

01什么是二面角？

有同学可能比较茫然，这里用下面一张图简单说一下这个问题。

图自：http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mds21/thesis/node64.html

如果想知道蓝色平面和绿色平面的二面角，只需要测量N-C4-C5-O1就可以得到该二面角。

大家可以看出，这里的二面角对应的两个平面的交线其实就是C4和C5的连线。

02怎样计算平面二面角？

现在问题来了，我如果要计算蓝色平面和黄色平面的二面角，这个该如何去做？

我们思考一下，此时你能找到类似于C4-C5那种可以连线成为平面交线的原子吗？这里显然是不可以。根本找不到这样的。

此时就该从立体几何角度去解决这个问题了。

平面的二面角其实就是他们的法向量的夹角或者夹角的补角，具体问题具体分析，主要和向量的方向有关系。

而法向量可以直接从平面方程得到，那么问题现在就简化成“如何求平面方程”。

三个不在一条直线上的三个点可以确定一个平面，此时可以随便在所需要计算平面的环上面找三个原子（非同一直线上的），然后就可以计算平面方程。

如上图所示，如平面方程设定为ax+by+cz+d=0，法向量则为(a,b,c)

三个原子的坐标分别为A(Ax,Ay,Az)，B(Bx,By,Bz)，C(Cx,Cy,Cz)

则

图自：https://keisan.casio.com/exec/system/1223596129

平面方程和法向量数值是一次性得到的。

在得到了法向量后，接下来就是求向量夹角。如果向量为(a1,b1,c1)和(a2,b2,c2)。那么夹角的余弦为

然后做一步arccos就好了。

针对本期内容，唯理计算工程师还录制了视频哦，便于大家学习。

曾经有人说，我们的智力巅峰就是高考那会儿了，我没有当真。现在回想起来，那一年，我上知天文下知地理，将进酒木兰诗随口就来……

现在……

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