科普漫谈 | 初探格理论（上）

在之前的文章中，我们对现阶段国际上主流的同态加密库做了一个简要的归纳与总结。本篇科普文章将介绍同态加密的数学基础——格理论。

提到格理论，可能大家会感到有点陌生，但是如果我告诉你，大名鼎鼎的同态加密的数学基础就来自格理论的话，这时你是否对它产生兴趣了呢？

在介绍格理论之前，我们必须要明确一个概念，那就是向量空间。

那什么是向量空间呢？这听起来仿佛有点抽象，究竟什么是向量？什么是空间？

01

向量

事实上，我们的潜意识里早已把向量看作是一个有长度的箭头，即矢量。

三维空间中的矢量

但是这种类比，对于维数小于三的空间是可适用的，一旦空间的维数超过三，这种类比就失去了普适性，而应该用有序数组表示的方法。

有序数组

实际上，向量是一个抽象化的概念，苹果可以是向量，梨可以是向量、笔也可以是向量。从向量的性质来说，万物皆可向量，只要保证向量相加以及数与向量相乘有意义即可。

万物皆可向量

现在，我们只需要有个直观的印象，即向量可以形象化为一个有长度的箭头，或是一个有序的数组。

02

向量空间

在明白了向量的概念之后，我们接下来说说向量空间。

我们把对向量的加法和数乘封闭且满足八条公理的向量的集合称为向量空间。

也就是向量的加法和数乘满足以下八条公理：

1. 八条公理

设  是一个非空集合，  是一个域，对  

向量加法满足：

• 结合律：

• 交换律：

• 零元：

    ，对一切  有  ，元素  称为  的零元

• 负元：

  对  ，都存在  使  ，  称为  的负元，记为  

数量乘法满足：

• 单位元：

• 结合律：

    有 

• 分配律：

    有

• 分配律：

    有

则称  为域  上的向量空间。一般我们取  为实数域。

域的概念等相关知识可查阅《近世代数》相关书籍，这里我们不做进一步讨论。

线性空间是在考察了大量的数学对象的本质属性后抽象出来的数学概念，并不真实存在，但我们仍能将它具象化理解，还是用上文提到的苹果的例子来说明。

苹果的例子

我们知道，一个苹果加一个苹果等于两个苹果，一个苹果的三倍等于三个苹果，若我们能够证明所有苹果构成的这个集合仍满足上述提到八条公理，则称该苹果集合构成了一个苹果空间。

该苹果集合对加法和数乘封闭，并满足上述八条公理。

2. 线性相关与线性无关

在向量空间中，向量有两种关系，要么线性相关，要么线性无关。什么意思呢？

对于向量组  ，如果存在不全为零的常数  使得 则称  是线性相关。否则称  是线性无关。

若  ，那么向量  总可以写成 -的形式，即向量  是向量组  的一个线性组合，我们也说向量  可以经向量组  线性表出。

3. 基向量

最后，我们再介绍一个概念：基向量。

什么叫基向量呢？我们想象一下，在一个向量空间中，有无数的向量，在这无数的向量中，存在一些特殊的向量。

他们彼此线性无关，且空间中其余所有的向量均可由它们通过缩放和加减操作生成。这样，任何的向量都可以用基向量线性表出。

二维空间中的基向量及生成的i+j向量

好比在自然数中，我们可以把所有的数字都看作是对一的操作。

自然数中的1可看作基向量

在对向量、向量空间、线性无关，基向量有了初步的认知后，在下一篇文章中，我们即将打开格理论世界的大门。

—END—

  文案 | 刘晨      图片 | 杨雅清

本文为同态科技整理

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