今天给大家安利一本神奇的数学家庭教育书。这本书在小花生社区被各路数学牛娃爸妈推荐了超过400次！
这本书，就叫《妈妈教的数学》！
豆瓣上有位年轻家长@ 麦朵的评价让人很有共鸣：
就像曾经受到的教导那样，我打心眼里认为：数学很重要，数学高大上。可没办法我就是对它不感兴趣，觉得它跟自己生活几乎毫无关系。
但有了小孩以后，忽然心生焦虑。
我怕。
我怕孩子像自己当年一样，把学数学视为一件艰难的事。
我怕孩子像自己当年一样，看到那些数字、公式就头大。
我怕孩子像自己当年一样，被逼着整夜不睡觉背下整本书的例题和公式却仍然学不好数学。
更怕的是，如果真的遇到这些问题，原本应该成为孩子强大后盾的自己，毫无还手之力。
所以，能够遇见这本《妈妈教的数学》，很开心 ...
花友@Amy应这样评价：
最初被这本书吸引，是他教的一些方法，譬如九的乘法可以用手指像变魔术般计算。作者更想表达的是，要给孩子耐心和时间去发现数学的规律，要给他们机会去表达自己的想法和计算的过程。
到后面，感觉说的不只是数学，而是教育，譬如对于错误只是反复纠结于让他不要粗心，而不是寻求不同的路径启发他的思路，真正把主动性还给孩子。
其实对于入学后的孩子的数学学习启发会更大，譬如如何理解应用题，如何多在生活中使用数学语汇等。
作者孙路弘老师，自己从小就表现出了优秀的数学能力，70年代就成为中国首届奥数竞赛获奖者。他毕业于北京师范大学数学系，后来又执教北京师范大学附属实验中学的奥数班，有“中国奥数第一人”之称。他曾公派澳洲交流，对中西数学教育方式有着深度的观察和思考。
在孙老师看来，相比西方，我们数学教育的一个比较大的缺陷在于没能让孩子透彻理解数学概念！对“概念”认知的缺失，使得 ...中国的孩子不是输在了起跑的时间上，而是输在了起跑的姿势上。起跑的时间越来越早，起跑的姿势却越来越不正确。
孙老师的两本家庭教育书：《妈妈教的数学》、《爸爸教的数学》，都讲的轻松又明白，有实操建议，可参考性很强。
今天的文章，就摘自于《妈妈教的数学》中的一章：“孩子懂了吗？妈妈怎么知道”。看了这篇，我们就能明白，为什么理解概念对学数学如此重要，也能学到很多“接地气”的数学启蒙方法。就像孙老师在书中所说：妈妈教的数学不是招数、技巧，也不是口诀、宝典，而是让心智开启的钥匙，让兴趣迸发的力量。
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我的日记 ...
1974年9月19日 星期四 晴
今天是我（孙路弘）弟弟的生日，妈妈让他先挑，是要小豆冰棍还是北冰洋汽水，他挑了冰棍，我挑了汽水，妈妈说如果我也吃冰棍的话，可以要3根，这次吃不了，下次出来也可以吃。
1975年1月21日 星期二 阴
晚上吃饭我想吃包子，妈妈问我吃多少个，我要吃5个。吃饺子更好，能吃30个，妈妈让我想一想5个包子和30个饺子更想要哪个，我说都一样，反正不吃馒头。
1975年1月25日 星期六 晴
今天算术考试，有一道题是：1支铅笔、2块橡皮、3把转笔刀一共26.5元；2支铅笔、3块橡皮、4把转笔刀一共39.5元；3支铅笔、3块橡皮、5把转笔刀一共48元。问：1支铅笔、一块橡皮、一把转笔刀各多少元？
这道题我没有做出来，妈妈让我多想想。
1975年1月26日 星期天 晴
妈妈带我去商店买铅笔、橡皮还有转笔刀，昨天的题我做出来了，把三个东西都摆在一起，就做出来了。
看了小时候我（孙路弘）日记中这四天的内容，再来看现在各地课外数学补习班或者奥数班的内容，我才感到妈妈让我理解题目的过程是多么精心和巧妙。我的妈妈并没有学过心理学，也没有当过老师，她都没有念完初中就参军了。当我在自己50岁生日那天问她这四段日记内容的时候，她想了许久，说：“不太记得了，不过确实不知道怎么讲给你听啊。”然后我问妈妈知不知道“等量代换”。妈妈说，当然知道啊。我让妈妈给我解释这个词汇，妈妈说，就是“等量交换”的意思啊。我没有继续难为她，妈妈已经在我小的时候，用行动给我解释了“等量代换”。
如果你是一个想为孩子学好数学而尽心尽力的妈妈，就一定思考过应该如何给孩子解释“等量代换”这个概念。通过互联网，你会了解到以下内容。等量代换的定义：用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。“等量代换”是指一个量被与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
狭义的等量代换思想通过等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b, b=c，那么a=c。真正使用到的等量代换为：f（a=b）就是f（a）→f（b），其中f是函数公式。
广义的等量代换举例来说就是：“如果李四是张三的同义词，张三是人，那么李四也是人。”
这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础，是一个非常重要的知识点，甚至到了大学都还会使用。
接着，你还可能会查到曹冲称象的故事，于是，你觉得应该给孩子讲讲这个故事。把故事讲完，孩子终于应该懂了吧？小朋友说不出来自己懂什么，也说不出来自己不懂什么。孩子到底懂不懂，大人怎么能够知道呢？只有一个办法，那就是做道题试试。李老师买了3个足球，张老师买了4个篮球，王老师买了1个足球、1个篮球、3个皮球。他们每人所用的钱数都相等。问：5个足球的价钱相当于几个皮球的价钱？孩子头脑中仍旧是迷雾重重。这些迷雾中有：曹冲是谁？干吗要称象？称象行，干吗又称石头呢？石头与大象有什么关系啊？象重多少是什么意思？什么是等量？代换又是什么意思？接着足球与篮球之间有什么关系？皮球又是什么？都混在一起干什么呢？做题并不能验证孩子对数学概念的掌握情况。作为妈妈，能够用来检验孩子对数学概念掌握情况的唯一方式，就是观察或者询问。以上这些问题其实反映的是孩子头脑中从具象到抽象的过程。当孩子不清楚一件事情的目的或者不理解目的的时候，就不太能够将注意力集中到这个目的的实施过程上。目前中国小学教育中三年级就开始教等量代换了，如果你的孩子没懂，你就知道他在课堂上的表现是似懂非懂。孩子可能只是机械地解决题目表面的问题，如果你追问他一些具象的问题而他却回答不出来，那么说明他表面上能够操作符号，但没有理解其在现实生活中的意义。孩子在这样的灌输下长大，也就没有了联系实际的能力，没有了从具象过程中抽象出问题来的能力。通过许多名牌学府，中国向世界输出了不少人才，却很多都是操作型的人才，而缺乏独创型的人才、提出问题的人才、开拓型的人才。这与目前中国小学教育所采用的方法不无关系。要知道，即使一些特级教师都没有思考过这个本质性的核心问题：如何教育孩子掌握概念？在现实生活中，妈妈让我体会到了冰棍与汽水之间是可以交换的。要不选这个，要不选那个，这让我理解了交换的意思。接着用晚饭吃的包子和饺子来体现一种关系，就是吃两样都可以饱，不过包子是5个，饺子是30个。
这都是来自生活中的案例，隐含的意思就是都能吃饱的情况——5个包子与30个饺子是一回事儿。用钱来衡量的话，那就是3根冰棍与1瓶汽水的钱是一样的。孩子在不理解等重的情况下，如何理解曹冲称象呢？在不知道铅笔、橡皮、转笔刀的情况下，又如何借助价钱的线索寻找不同物品之间的关联呢？学数学，并不是能够模仿过程就等于学会了，重要的是真的从概念的层面理解词汇。第一类问题是：你见过的猴子是什么样子的？或者可以稍微变化一下问这种问题：你见过的鸡翅是什么样子的？见过的菠菜是什么样子的？
然后再问第二类问题：你见过的7是什么样子的？等量是什么样子的？
对第一类问题，孩子的回答中多数都包括颜色、状态的描述，有时还可能包括见过的地点、时间，以及当时在场的人。对第二类问题，麻烦就来了，孩子几乎无法回答，回答的语言中往往会陷入用7来解释7。这说明孩子对数字的理解停留在表象上，甚至都没有透彻理解数字的真正意义。关于这一点我对澳大利亚数学教学与中国数学教学进行过比较。澳大利亚小学3～5年级的孩子的数学做题速度、准确度都明显不如中国同年龄孩子的表现，但在概念理解上，中国孩子就明显薄弱了。澳大利亚9～11岁的孩子在解释7的时候，会说出类似这样的话：7是一周的天数啊，7就是你拥有的东西的一个数字记录，7就是一年级小学生的岁数，7就是电梯中的数字说明要去的楼层……
而中国的孩子，还有日本、韩国、印度、俄罗斯的孩子，我都曾经直接接触并调研过，他们的反馈十分相似，那就是用数字来解释数字，缺乏运用与现实的结合来理解数字。这样一来，中国的孩子不是输在了起跑的时间上，而是输在了起跑的姿势上。起跑的时间越来越早，起跑的姿势却越来越不正确。随着年龄的增长，这个不正确的姿势无论是对跑步的成绩还是身体形态都会造成越来越明显的影响。因此，重视起跑的时间不如重视起跑的姿势！对数学概念的理解是孩子数学能力发展的一个重要基础。这个基础从3岁就开始形成了，然后每3年一个阶段，直到18岁。这是数学教育中抽象概念的理解发展规律，具体解释就是对词汇的理解。首先是对数字这个词汇的理解。与大象、牡丹花、猴子不同，数字在现实生活中没有具象的物体，只能从已有的量入手来建立数字概念。这里涉及另外一个话题，那就是孩子对一个概念的理解是不是只有两个表现，要不就是理解了，要不就是不理解。通过我自己从1985年到现在不间断地对各个年龄段的孩子的观察和测试，得出的结论是：认知过程在理解抽象事物上分为5个阶段。以对数字的理解为例。- 浅层阶段：仅仅是一个字，与“大”、“天”这样的字是一样的。
- 中级阶段：一些事物的关系，比如8点总是在9点的前面先到。
- 深层阶段：数字是数量的符号，可以代表任何事物，任何事物都可以被数字量化。
根据皮亚杰对儿童思维发展的研究结果：孩子3岁可以建立初级阶段的数字认知，6岁可以发展到中级阶段，9岁可以到高级阶段，12岁左右应该实现深层的抽象认识。
皮亚杰 (Jean Piaget ,1896～1980) 是瑞士日内瓦大学心理学教授，当代世界著名的儿童心理学家。他的认知发展阶段理论是人类认知发展方面最具影响的研究。
皮亚杰认为，儿童的认知发展经历：感知运动阶段（0-2岁）、前运算阶段（2-7岁）、 具体运算阶段（7-11岁）、形式运算阶段（11-15岁）。所有儿童的认知发展都是按照这样的发展顺序发展起来的。
对于3岁前就能够从1数到20的孩子来说，他们多数都停留在浅层阶段，理解的仅仅是字而已。这个时候需要父母带领孩子进行大量的清点物品的活动，比如，帮孩子清点有多少双袜子、喝了多少水、吃了几个饺子，渐渐培养孩子抽象出数字中的量，在量的基础上开始建立中级阶段的认识。如果孩子能够主动说出“我这次吃了18个饺子”或者“我现在又有了1双袜子，这样我就有7双袜子了”这样的话，就说明他已经达到初级阶段了。如果孩子说话中主动运用了数字，而且用对了，就说明孩子对数字的认知能力进步了。这种能力不是依靠考试能够测量的。只有依靠妈妈对孩子平时表现的观察，尤其是言谈话语中流露出来的数字运用的表现。运用语言其实就是大脑层面对各种词汇的操作，运用了数字，大脑神经元的活动区域就扩大到了左脑。只有当左脑中的数字混合了右脑的形象描述时，数字概念才会得到进一步发展。有许多孩子到了9岁时，对数字的抽象理解才仅仅到达中级阶段。根据历史记载的曹冲称象的故事来看，实际上是曹冲在6岁时数字概念就发展到了深层阶段，可以对任何事物进行数量的操作，并且不受事物表象差异的影响。我是从小学四年级起开始写日记的，也就是说，9岁之前，我的生活中爸爸妈妈的许多做法都没有文字记载可以查看了，只能通过我9岁之后的一些记载来推测妈妈对我在数学方面的启蒙作用。目前的学校教育中，从教科书到老师的教学方法，99%的内容都是直接发展到对数字的操作上，比如加减乘除。但就连加减乘除的概念都没有做到让孩子真正理解，而只是让他们机械地、照猫画虎地当成一套流程来操作，以期熟能生巧。当然，耐心、符合认知规律、阶段性辅助孩子建立概念、从具象到抽象和深刻掌握概念的意识都完全没有，更不要说教学行为和教学方法了。面对这些问题，每个家庭都是无意识地走过来的，孩子似乎只好听天由命了。我也只能感谢妈妈从我小时候在概念上对我进行的循序渐进的引导——让我上楼的时候数楼梯、坐车的时候数站数、数米粒、称重量，大量的量化活动让我较早地建立了数字概念，虽然自己说不出来等量代换，却能够完全自如地做出等量代换这个概念下涉及的任何题目。比如，加法对孩子来说也是一个抽象的概念，也有四个理解的层次，并不是会做加法就等于理解了加法的概念。层次一：知道加法是一个操作动作，是数量的增加过程。多了一个苹果的意思就是原来苹果的数量多了1。
层次二：知道加法是一种运算，可以针对任何事物进行。苹果也可以加梨，意思是总体拥有的数量增加了。
层次三：理解加法不用考虑次序，先多了1个、后多了3个，与先多了3个、后多了1个是一回事儿。
层次四：加法概念的扩展。和、总和、一共、多了、所有、全部，这些词汇都是加法的不同表达，都是一个意思，就是加法。
同样，减法、乘法、除法都有这样的四个认知过程。学校教育中依靠大量的模仿、类型练习，强迫孩子熟悉操作过程，在完全不理解加法核心本质的基础上生硬地运算，结果会造成三方面的不良影响：破坏了认知次序。孩子失去了询问或者思考原因的能力。
破坏了对数学的感觉。对孩子来说，觉得数学就是与生活没有什么关系的一堆操作、运算，只要记住就好了。
破坏了求知的能力。泯灭了孩子认识事物的好奇心，从而养成看一遍然后照猫画虎就可以了的惯性，更导致今天的中国到处山寨流行。没有创新的能力并不是缺乏制度、缺乏激励，而是人们的创造力从小就已经被非常彻底地扼杀了。
我清楚地记得，在上我家四楼楼梯的过程中，我认识到先上三级台阶然后再上五级台阶到达的位置，与先上五级台阶再上三级台阶的位置是一样的。这是我自己认识到的，而不是像许多其他孩子一样，嘲笑地说这你都不知道啊。其实，他们是在学习了加法法则中的先后次序无关后才知道的，而我是通过生活体验知道的。结果都是知道了，由于知道的过程不同，我对加法法则的理解就更加深刻，而其他的孩子则仅仅就是知道而已。妈妈能做的事情很多。不妨参考我提供的认知过程、概念，从具体到抽象的发展阶段，运用孩子生活中的事物作为与孩子交流的切入点，让孩子通过参与活动，渐渐建立起头脑中的数字概念、加法概念。在杭州有一个妈妈群，带头人是一个听过我讲子女教育课的学生，她是一个5岁孩子的妈妈。这个群每周会从我这里领取一个任务。其中有一个周末的任务是让孩子搭积木，比如乐高的积木，搭成什么形状都可以。要求搭好后，清点一下用了多少积木、用了多少种不同的积木，搭出来的东西的长宽高是多少。这些数字都要写在纸上记录下来。四周后，用同样数量、同样类型的积木重新搭建一次，看看在长宽高上能否超越前一次做的。这个过程本身，就是孩子理解数字概念的过程。表面上，孩子说不出来自己理解了数字的概念，其数学成绩也不会立刻表现出来有明显进步，但是他们在脑海中渐渐形成了更加深刻的数字概念，等上了小学二三年级，就能够比较明显地表现出来。妈妈教的数学不是招数、技巧，也不是口诀、宝典，而是让心智开启的钥匙，让兴趣迸发的力量。大脑智力健康没有灵丹妙药，只有长期坚持正确的方法，才能日久天长，牢固而不动摇。
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《妈妈教的数学》激发了我对数学的兴趣，生活中的点点滴滴都可以悄悄地变成数学的形式，比如清点包了多少个饺子，下楼数楼梯，记住家里的楼号、门牌号，或是收电费。我至今都有这样的习惯，走楼梯数台阶，看地板上瓷砖的数量等。通过这些细小的事情，我不害怕数字，对公式也不恐惧，并渐渐爱上了数学。
《爸爸教的数学》更多的是规则；约束自己的行为，用的就是规则。吃饭、睡觉，这些生活中的事情都有规则，上学放学也有规则，做数学题也要依靠规则。爸爸引导我重视规则，遵守规则，并按照规则做事。规则仅仅是数学思维方法中的一种，我自己小学期间的日记中，出现爸爸的次数并不多，但每次出现都是伴随着想法、做法和方法的，都是基于思考方式的。由此，爸爸打开了我认识世界的多个小路，多个小窗户。当我成为父亲以后，延续了这个做法，譬如陪伴儿子打篮球的过程，就是一种规则意识和对抗角色的思维排练。
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