艾俊川 | 古代算书中的“投”和数学解题时的“设”
《算数书》这个“投”字，既可训“取”，又可训“置”，但“取”和“置”独立使用时是两个相反的动作，并非同义词，只有摆设物品，从一边取来，到另一边放下，“取”和“置”对应着移动中的同一物体，才能表达同一过程。
1986年出土于湖北江陵的张家山汉代竹简，内有一部《算数书》，内容与我国最早的传世数学著作《九章算术》接近，成书年代则早于后者，在数学史研究中地位重要。
《算数书》有《少广》一章，内列一亩之田已知宽度、求其长度的解题方法和算题集。“少广”是古代“九数”之一，著名的数学课题，《九章算术》也专列一章，包含以最小公倍数通分、开平方、开立方等复杂公式和算题。《算数书》中的《少广》没有这么多内容，只是提供一个简便算法，用来解决生活中的土地步量问题。
对《少广》的整理注释，主要有彭浩先生《张家山汉墓〈算数书〉注释》的相关部分（科学出版社，2001年）与纪志刚先生《〈算数书〉“少广”“大广”二问的释读与校勘》（《自然科学史研究》，第24卷第3期，2005年）。现在看来，两个注本都有未愜之处，并且文中有一个难识之字，众说纷纭，影响到对文义的理解，有必要再作讨论。
下面从《张家山汉墓〈算数书〉注释》节录《少广》的术文部分：
少广
救（求）少广之术曰:先直（置）广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分以尽所救（求）分同之,以为法。即耤（藉）直(置)田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得從（纵）一步。不盈步者,以法命其分。
文中有几对通假字。第一个字前后出现两次，彭浩将其隶定为“救”，读为“求”，引来不少商榷意见。下面“直”读为“置”，“耤”读为“藉”，“從”读为“纵”，都是算术用语，在出土文献中常见，没有异议。
对彭浩释为“救”的字，吴朝阳释为“扱”，谭竞男释为“牧”，均取义为“求”，指“求解”“求取答案”。按“求”义在文中扞格难通。在第一处，“少广之术”是用来解题的现成方法，下面运算都据此进行，若此字确为“求取答案”之义，就应当说“以少广之术求之”，而非“求少广之术”，否则就变成对“少广之术”本身的推演了。岳麓书院藏秦简《数》“少广术”的类似起首语句，为“述（术）曰以少广”、“即以少广曰”，所用词皆为“以”，与“求”义无关。该简行文中又说“以少广求之”，可见古人言辞简练而逻辑严密。（见肖灿《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》，湖南大学博士论文，2010）在第二处，如果真是“所求分”，而且能相加（“同之”），那是“所求”已有结果，但实际情况是运算刚刚开始，远未有答案。所以这两处都不会是“求”义。
程少轩先生《小议秦汉简中训为“取”的“投”》一文（《中国文字学报》，第七辑，2017），将此字与放马滩秦简《钟律式占》中字形相同而较清晰的“投”字进行综合研究，认为此字也是“投”，在算数书中应训为“取”。
这是个通达的解释。在“取”的“采用”之义上，《少广》两处文字均可讲通，第一处即“取用少广之术”，第二处即“将所取用的算筹相加”，但若使用“求取”之义，依然不通。
既然此字即放马滩秦简中的“投”字，我们可以利用该简中的训诂资料更进一解（下文所引放马滩秦简文均据《秦简牍合集4放马滩秦墓简牍》，武汉大学出版社，2014）。
放马滩秦简中很多占法需要通过计算来进行，程少轩文中举出不少例子，但有一条与我们现在讨论的问题密切相关，他没有提及：
凡阴阳钟，各殳（投）所卜大娄（数）曰置娄（数）者。（《阴阳钟》，第130页）
此句通过“曰”建立起一个等式，“投大数”=“置数”，也就是“投”=“置”。
再看程少轩引用的两段文字：
凡人来问病者，以来时投日、辰、时数并之。（《问病》，第142页）
占病者，以其来问时直日、辰、时，因而三之。（《占病》，第144页）
程少轩认为从“直日辰时”可知占卜是用求卜时刻的天干、地支、时辰对应的具体数值计算，但未揭出这两句也直接表明“投”的词义等同于“直”。他将“直”读为“值”，解为“数值”，则可商榷。此“直”应和《算数书》中的“直”一样，释为“置”，即用算筹摆出数字，给出计算条件。上引文“置”用在“日辰时”前面，所置确是它们的数值，但“置”本身并不是数值。
用算筹摆出数字，给定条件，在《九章算术》中统称为“置”，在出土秦汉文献中多写作“直”，它们是没有争议的一对通假字。
《算数书》这个“投”字，既可训“取”，又可训“置”，但“取”和“置”独立使用时是两个相反的动作，并非同义词，只有摆设物品，从一边取来，到另一边放下，“取”和“置”对应着移动中的同一物体，才能表达同一过程。摆放算筹，这边放下多少枚，等于从那边取来多少枚，所以既可说“取筹”若干，又可说“置筹”若干，如换用一个能概括整个过程而包容“取”“置”二义的词，应该是“设”。
秦汉时“设”和“置”词义极近，毋须详辩；“设”与“取”也词义相近。如《管子》卷十三“心术上”：“感而后应，非所设也；缘理而动，非所取也。”又如《韩非子》卷十九“显学”：“宋荣子之议，设不斗争，取不随仇。”“设”与“取”均相对为言。
对《九章算术》中的“置”，魏晋时人刘辉曾用“设”来注释，其《少广》“以三乘所得数置中行”，刘辉注为“设三廉之定长”。“置”是具体操作，“设”是操作的全程。唐宋以还，数学书中“设”字渐多，如唐李淳风注《九章算术》，所用一些“设”即为“置”义；又如宋杨辉撰《详解九章算法》，将《九章算术·少广》中的“置全步及分母子”直接引述为“设诸分母子”。这种用法一直沿用到今天，现在解数学题也要先“设”条件。
通此一义，“投少广之术”即“设少广之术”；“所投分”即“所设分”。下面以通用字对《算数书·少广》录文，重新标点，对文义略加疏通，其中为厘清逻辑关系，使用了一个括号。
少广
投少广之术。曰先置广。即曰下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干……积分（以尽所投分同之）以为法。即藉置田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得纵一步。不盈步者,以法命其分。
“投少广之术”，设立少广术算式。
“曰”和下文“即曰”、“即”表示算式内容，也提示三个运算步骤。
“先置广”，首先设置“广”即田地的横边。
“下有若干步，以一为若干,以半为若干，以三分为若干，积分（以尽所投分同之）以为法”，算式下方此时摆出“广”的数值“若干步”，步数包含整数和分数。将一步设定为若干分，半步设定为若干分，三分之一步设定为若干分……以此类推。把“分”累积起来（算法是将所有设定的“分”加起来），作为除数（法）。
已知矩形面积和一条边长，求另一条边长，在使用小数的情况下，是简单的除法题。但中国古代没有小数概念，非整数都用分数表示，难做除法，于是发展出 “少广术”专门解决此类问题。其术是把除数中的分数化为整数，以便相除，从现代数学看，是求出最小公倍数，与各分数相乘，直接将所有分母约掉，再将通分后的分子加起来。《九章算术》中设有公式:“置全步及分母子,以最下分母乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左，命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之,并之为法。”看上去很是复杂。《算数书》是简单算法，没有给出求公倍数和通分的公式，而是在算题集中给出预先算好的数值，即当“广”分别包含1-9个相加的分数时，对“一步”、“半步”直到“九分之一步”均设定相应的“分”，供解题者使用。所以术文在求“积分”时，不用通分，直接以对应的数值即“所投分”相加即可。
在以前的研究中，对“下有若干步”，纪志刚认为即指“最下分数的分母”，实则不然。“若干”后面带有单位“步”，是步的数量，而非其中一个分数的分母。这就像一群人站队，个子高的站在最后，我们不能将“外面有若干人”说成“外面站着大个子”。再说这一步骤是求积分的，如果只有一个数，就不劳“以尽所投分同之”了。
在古代数学、天文书中，还没有看到“积分”可以解释成“各个分数”的例子。“分”是一个基本数量单位的下一级单位，“积”则是累加，“积分”是“分”的总和。就像纪志刚提出的《九章算术》“少广”术中的“全步积分”：
置所求步数，以全步积分乘之，为实。实如法而一，得从步。
“全步积分”指由“全步”（一整步）转化而来的所有“分”，相当于《算数书》中的“以一为若干”。两个“积分”虽然内涵不完全一致，但性质相同，都是“步”的向下拆分单位“分”的总和，只不过《算数书》中的“积分”除了一整步化成的分，还要加上各分数步化成的分。
纪文又认为 “所求分同之”指“通分后的分子相加”,但术中并未给出通分公式，也未提出通分要求，并不存在这样的运算。
“少广之术”最后一个步骤，都是常规算法：借筹（增加算筹）设置一亩田的步数二百四十步，将与“一步”对应的“若干分”与其相乘，求得240步的“积步”，作为被除数。用积分除积步，每满一个积分，得出纵边（从）一步，不足一步的余数，化成以积分为分母的分数。在这一步骤中，积分与积步形成新分数，因为分母乘过最小公倍数，所以分子也要乘以相同倍数（若干分），才能保证二者相除后得数正确。
除了张家山汉简和放马滩秦简，岳麓书院、北京大学等处所藏出土秦代算书中也有“投”字（岳麓简原释为“救”），若代以“设”字，均文从字顺。
北大藏秦简《算书》“方田”中有“其投所用三章”一句，旧释未能贯通，现在借机会讨论一下。术文说：
欲方田述（术），耤（藉）方十六而有余十六，耤（藉）方十五不足十五，即并赢（盈）、不足以为法；而直（置）十五，亦耤（藉）十五令相乘殹（也），即成步；有（又）耤（藉）卅一分十五，令韦（维）乘上十五，有（又）令十五自乘殹（也），十五成一，从韦（维）乘者而卅一成一，乃得从上，即成为田一亩。其投此用三章。
韩巍先生解释说：“‘投’字作为秦汉《算书》类文献中常用的术语，义为‘求取’、‘求解’。‘其投此用三章’，大概是说求解这种问题要用到‘三章’的方法，究竟是指哪‘三章’，还有待进一步的整理和研究。”（《北大秦简〈算书〉土地面积类算题初识》,《简帛》第八辑,上海古籍出版社，2013年版）
出土算数书中的“投”可读为“设”，传世文献中也有些许“设”“投”似曾混用的痕迹，如《史记》卷六十九：“苏秦既约六国從亲，归赵，赵肃侯封为武安君，乃设從约书于秦。”司马贞索隐：“乃设從约书，案诸本作投。”《汉书》注卷一百上引应劭：“饵为爵禄，君所以制使其臣，亦犹钓鱼之设饵也。”宋祁补注：“注文设一作投。”
这些异文不排除是文本传抄中产生的讹误。但出土算数书中的“投”与“设”，从训诂角度看词义相同，从文字角度看均由“殳”组成，可谓形近，那么是否存在一种可能性，即“投”是“设”的一种早期写法 （放马滩简若干“投”字原写作“殳”，其实也可能是“设”的简写）？献疑于此，愿求教于高明。
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