小乐数学科普：巴拿赫-塔斯基和无限复制悖论——译自量子杂志
作者：Max G. Levy 2021-8-26 译者：zzllrr小乐 2021-8-29
想象两个朋友在树林里徒步旅行。他们饿了，决定分一个苹果，但半个苹果感觉很微薄。然后他们中的一个人想起了她遇到过的最奇怪的想法之一。这是一个涉及无穷大的数学定理，至少在原则上，它可以将一个苹果变成两个。
这个论点被称为 Banach-Tarski（巴拿赫-塔斯基） 悖论，以数学家 Stefan Banach 和 Alfred Tarski 的名字命名，他们在 1924 年设计了它。它证明了根据数学的基本规则，可以将一个立体的三维球分裂成小块，重新组合形成两个相同的原件副本。一个苹果变成两个。
“大家马上就会发现这完全违反直觉，”芝加哥伊利诺伊大学的 Dima Sinapova 说。
这个悖论源于数学中最令人费解的概念之一：无穷大（Infinity）。
无穷大，感觉像是一个数字，但它的行为却不像。你可以将任何有限数加或减到无穷大，结果仍然是你开始时使用的无穷大。但这并不意味着所有的无穷大都是平等的。
在过去的一个世纪里，数学家已经证明有些比其他的要大。例如，自然数（1、2、3 等）（集合的大小）是可数无穷大。它们永远持续下去，但可以将它们数完（例如列出数字 1 到 1 万亿）。
相比之下，实数——所有在数轴上表示小数的无限多个刻度线——是不可数的无穷大：不可能计算出数轴上任何间隔上的所有实数，即使是看起来很小的一个，就像 0 和 1 之间的间隔（称为区间）。
可数无穷大和不可数无穷大之间的这种差异使自然数成为比实数更小的无穷大——数学家通过说两者具有不同的“基数”来表达这一区别。
区分基数不仅仅是概念上的柔术——1891 年，乔治·康托证明了实数确实比自然数多。康托尔还证明了一条线上的无数个点与填充一个形状（如球体）的体积的无数个点具有相同的基数。
Banach 和 Tarski 意识到你可以将一个球体分成两个，方法是将它包含的不可数无限的点集划分为无数的可数无限集。划分是通过非常具体的切割程序进行的。
要构建这些可数无限集之一，请选择一个起点。球体中的任何一点都可以。接下来，选择两个无理数的角度测量值（即任何不能写为分数的度数，如π）。稍后你将开始旋转球体。这些角度之一用于南北旋转，另一个用于东西旋转。
现在，将球体向北、向南、向东或向西旋转适当的度数。你会到达一个新的点。这是你集合中的第二个点（第一个点是你的起点）。
然后，再次向这四个方向中的任何一个方向旋转球体，其中一个规定是你不能直接向原来的方向回溯——不能在向东旋转后立即向西旋转。你会得到第三个点。如果你无限次重复此过程，你将创建一个包含无限多个点的集合。
这个集合将有几个关键属性。第一个是它永远不会多次包含同一个点——这是因为你的旋转角度是无理数的度数。第二个是该集合将是可数无限的——你可以为通过旋转过程选择的每个点分配一个自然数。
“整个球体都是这个不可数的物体，”多伦多大学的集合理论家斯宾塞·昂格（Spencer Unger）说。“但它被分解成一堆可数的碎片。”
从球体上的任何点开始重复相同的过程。每个起点都会生成自己独特的一组后续点。通过这种方式，你可以创建无数个集合，每个集合包含无数个点。
一旦你有了这些集合，你就把这些集合中的点分成几组。前四组通过降落在一个点上之前执行的最后一次旋转来识别。第五组将包含球体的中心点和极点处的所有点。第六组将收集每个起点。
如果你将这些组结合起来，它们仍然只会产生一个球体——而不是巴拿赫和塔斯基所追求的两个球体。为了加倍，他们采用了数学家 Felix Hausdorff（费利克斯·豪斯多夫） 的一个想法，允许他们旋转单个组中的所有点，以创建一组不同的点，该组比他们开始时使用的组大。
以包含从最后一次向东旋转导出的所有点的组为例。现在，将这组往西旋转。这立即否定了所有最后向东的旋转，并将该组转换为（仍然是无限的）点集合，在构建过程中立即形成了原始点集。该组现在包含在北、南和东（最关键）的旋转结束的点，这是该组的原始基础。换句话说，旋转的部分包含了新的东西和旧的自己。
无穷大的本质使这种看似增加的可能性成为可能。将整个东组往西旋转会清除所有的东旋转。那么剩下什么呢？
在最后的东边之前没有西边结束的路径，因为不允许回溯。但是有无穷多东边结束的路径最终回到东边（没有规则禁止将东-东作为最后两个旋转）。有无穷多路径在北边、南边结束。仅仅通过整个东组向西旋转，我们就将其变成了一个包含了东、北和南点的组。现在所有的起点也都在那里（因为每条仅回到东边一次的路径现在都回到了它的原点）。
这里，我们已经复制了六组中的三组（北、南和起点）中的所有点。接下来，我们只需要复制其他三个组（东、西和两极/中心）。前两个很简单：将北组向南旋转，获得所有北、东和西点。
最后，我们需要复制极点和中心点。这是通过类似于另一个与无穷相关的论证的过程发生的，称为希尔伯特的旅馆，由大卫·希尔伯特于 1924 年设计，同年巴拿赫和塔斯基提出了他们的悖论。
在这个思想实验中，想象一家拥有无限数量房间的酒店。假设只有 43 号房间是空的。将 44及以上房号房间的每位客人都移到这个房间。你已经填补了空房间，而没有创建一个新房间（因为当你将客人转移到一个房间时，总会有一位客人取代你刚搬走的客人）。
现在将缺失的一组极点想象为在复制的球体上不同纬度线上的空缺的点。将每条纬度线上的所有点平移，无穷大填补空缺。
一张图解释了如何使用希尔伯特旅馆的论点来填充圆上的空点。
空点存在于另一个可以用相同方式填充的圆上。结果，瞧！我们已经复制了所有六个组。我们现在可以每六组组合成各自的球体。
结果感觉不可能。你怎么能仅仅通过分解和重新排列一个物体的体积就加倍？一种解释是 Banach-Tarski 减轻了不可数的负担。用顺序旋转分解球体，就像数自然数一样，创建一个更易于管理的工作空间——比困扰初始球体的不可数的无穷大更易于管理。
这个悖论有批评者。有些人认为这是一个荒谬的结论，它指出了支持它的数学推理规则中的一个缺陷。
“这就像一个风向标，”澳大利亚悉尼新南威尔士大学最近退休的数学教授诺曼·怀尔德伯格（Norman Wildberger）说。“这就像一面巨大的红旗。”
使巴拿赫-塔斯基悖论成为可能的数学规则称为选择公理。它是称为 策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel） 集合论 (ZFC) 的系统中的九个公理之一，它是现代数学的基础。
在 ZFC 的历史发展中，选择公理有时被视为其他八项公理的补充——这种状态使得它在实现像 Banach-Tarski 悖论这样的结果时容易受到批评。选择公理赋予数学家从集合的每个容器中“选择”一个东西的能力，即使该集合是无限的。这使得 Banach-Tarski 成为处理无穷大的罗夏测试（罗夏墨迹测验，Rorschach inkblot test）：许多人认为这个悖论很奇妙；而像维尔德伯格这样的批评家则感到尴尬不安。
但大多数数学家并不会因为选择公理而失眠。他们将巴拿赫-塔斯基悖论视为数学丰富性的证明。它提供了一个合规的例子，说明数学如何偏离物理直觉而不自相矛盾。
“几乎任何东西都可以复制——可以分解成两个基数相同的东西，”Sinapova 说。