小乐数学科普：为什么纽结在数学和科学中很重要（上）——译自Quanta Magazine量子杂志
研究人员对纽结（Knot）的研究，将对分子生物学和理论物理学的兴趣结合在一起。数学家 科林·亚当斯（ Colin Adams） 和 丽萨·皮奇里洛（Lisa Piccirillo） 与播客主持人 Steven Strogatz 讨论了原因。
作者：Steven Strogatz 播客主 2022-4-6 译者：zzllrr小乐 2022-4-10
每个人都知道纽结是什么。但纽结在数学和科学中具有特殊意义，因为它们的特性可以帮助解开隐藏在 DNA 生物化学、新材料合成和三维空间几何等广泛主题中的秘密。在这一集中，主持人 Steven Strogatz 与数学家Colin Adams和Lisa Piccirillo一起探讨纽结的奥秘。
Steven Strogatz (0:03)：
我是 Steve Strogatz，这里是《The Joy of Why 关于为什么的喜悦》，来自量子杂志的播客，带你了解当今科学和数学中一些最大的悬而未决的问题。在这一集中，我们将讨论纽结。
我们都知道纽结是什么，对吧？它们就像你系在鞋带上的那种纽结，或者你用来把行李固定在车顶上的那种纽结。如果你拿一根有两个自由端的绳子，在里面打一个纽结，这种纽结就可以解开。有时自由端会松脱，纽结就会解开。但是如果你把末端融合在一起，把它们粘在一起，那么纽结就会被锁在那里，被困在环里。那么问题就变成了，你能以某种方式去除环中的那个纽结，只能巧妙地以某种方式操纵环或摆动它，而不切断绳子吗？
好吧，如果可以的话，那根本不是一个纽结。这只是一个圆圈，相当于一个简单的绳圈，或者数学家认为是“平凡的纽结”。但是如果你不能撤销它，那么，就会引发各种各样的问题，比如，你能在多大程度上简化一个缠在一起的纽结？
数学家如何区分不同类型的纽结？有多少种不同的纽结？为什么数学家和科学家仍然关心纽结？事实证明，这个数学分支（现在称为纽结理论）在现实世界中有很多应用。它始于大约 150 年前的化学元素之谜，当时人们认为这些元素是在以太中不同类型的纽结。如今，纽结理论正在帮助我们了解酶如何解开相连的 DNA 链。此外，纽结理论在基础研究中具有创造新型药物的潜力，包括一些化疗药物。但就数学本身而言，纽结理论正在帮助数学家解开高维空间之谜。
现在和我一起帮助解开纽结相关的一些奥秘是科林·亚当斯（ Colin Adams）。他是威廉姆斯学院的 Thomas T. Reed 数学教授，也是《纽结理论及其有关分支杂志》（Journal of Knot Theory and Its Ramifications）的执行编辑之一。亚当斯还写了漫画书《为什么纽结？》（Why Knot?）稍后，我们将与 丽萨·皮奇里洛（Lisa Piccirillo） 交谈。她是麻省理工学院的数学助理教授，最近她解决了一个长期存在的数学难题，即康威纽结（Conway knot ）——实际上是在她还是研究生的时候。科林·亚当斯，非常感谢你今天加入我们。
科林·亚当斯
Adams (2:35)：
哦，来到这里真的很有趣。非常感谢邀请我。
Strogatz (2:38)：
嗯，这对我来说是一种真正的享受，科林，我的意思是，我是你作品的忠实粉丝。我喜欢你关于纽结的书。我从中学到了很多。好吧，那么我试着快速介绍一下纽结和纽结理论，但我很想听听你如何向从未听说过，或除了系鞋带之外从未想过它们的人，解释它们？
Adams (2:55)：
好的。在这个数学领域的一大优势是这样的：通常如果你在飞机上坐在某人旁边，他们会说，“你做什么？” 而你是一名数学家，你将很难向他们解释你所做的事情。但是我有一个巨大的优势，我可以把我的鞋带拿下来，可以把它拉起来，我可以在这个鞋带上打一个纽结，然后把两个松散的末端粘在一起，然后我可以尝试研究那个物体并确定它是否真的纽结 - 正如你所描述的那样，史蒂夫 - 它真的是纽结吗？或者不是吗？你能在不切开的情况下解开它吗？
事实证明，这是一个非常困难的问题。我的意思是，你可以想象有人给你一团乱七八糟的绳子，两个松散的末端粘在一起。他们问你一个问题，你能解开它吗？你在接下来的六年里试图解开它。而六年后，你还没有成功。但是你仍然不知道再工作五分钟可能会奏效，对吗？那么你真的很想拥有一些技术，一些数学技术，可以让你确定是否会成功。
Strogatz (3:28)：
我们周围到处都是纽结。你能给我们举一些其他例子，它们在现实世界中出现吗？
Adams (4:00)：
好的，我想说，纽结已经存在很长时间了。就实际有用性而言，就科学而言，你给出的一个非常好的例子是 DNA 的例子，其中 DNA 在细胞核内。所有东西都装在里面——人们将其描述为将 100 公里的钓鱼线放入篮球中。那么细胞核里面的DNA是一头乱麻。然而，它必须能够进行转录、重组；它必须能够创建自身的副本，然后可以将其与自身分离。事实证明，需要一些酶，正如你提到的，这些酶在细胞核内，这将使酶能够吸收两条 DNA 链，将一条拉到另一条旁边，将一条解开，推动通过另一条，然后再次关闭，做出所谓的交叉变化的纽结理论。这种情况一直在我们体内发生，这些酶实际上对 DNA 是这样的。如果你阻止酶这样做，那将阻止 DNA 自我重建，这实际上就是当今在化疗中使用它的原因。有些化疗药物可以防止酶作用于 DNA 并改变打纽结和解纽结。这就是 DNA 中纽结如何出现的一个例子。
我认为另一个非常有趣的例子是合成化学。在合成化学中，你正在尝试合成新的分子。想象一下，你有一个由一组原子组成的分子，它们全部纽结在一起，形成一个圆圈。那么这将是一个实际上在分子水平上的平凡纽结的例子。现在想象一下，把那个平凡的纽结剪开，在分子水平上打一个纽结，然后将两个松散的末端粘在一起。一旦你这样做了，你就有相同成分的原子以完全相同的顺序键合。只是现在你有了一个新的物质，一个有纽结的物质，而之前的物质是没有纽结的。
因此，对于你可以拥有的每一种纽结——其中有无限的数量，但即使是小的交叉数量，也会数以百万计——这些纽结中的每一个现在都可以成为一种新的物质。合成化学家们对这个想法垂涎三尺。他们正在非常努力地试图想出在分子水平上打纽结的方法。
Strogatz (6:09)：
这让我想起了本科的时候。我当时正在上有机化学课程，当时我的父母很热心让我成为一名医学预科生。而我像所有其他医学预科一样学习 orgo [有机化学]，作为一个喜欢数学的人，我真的很着迷，我们的教授谈到了你所描述的内容。但在当时，这只是假设。当时他们不知道如何通过合成纽结或连接分子，但他说这很有趣。你可以像你说的那样，可以是一种含有氢和碳的聚合物组合，并且它们可以保持完全相同的原子以相同的排列方式排列，每个原子都具有与以前相同的邻居。但是你可以制造一个拓扑异构的异构体，因为它有一个纽结。但你知道，那样会有不同的化学性质吗？
Adams (6:58)：
是的，一般来说，期望答案是肯定的，它应该具有不同的属性。而且你知道，你可以让一个表现得像油，而另一个表现完全不同。那么——有趣的是，海军实际上资助了很多关于这方面的研究，这真的是因为他们非常有兴趣想出可以涂在潜艇上的新物质，以避开雷达。有趣的是，很多钱都是从那里来的。
Strogatz (7:22)：
不开玩笑。
Adams：
为了研究这个，是的。
Strogatz：
就像一种隐身技术。
Adams：
是的。
Strogatz (7:27)：
哇，为隐身（技术）服务的拓扑。呵呵，我没听说过。这很酷。
我们开始明白为什么化学或军队等领域的人，或者从事化疗药物工作的医生会关心这类纽结的问题。但为什么它们在数学上如此有趣呢？
Adams（7:46）：
纽结理论是更广泛的拓扑领域的一个子领域，而拓扑是这样的一种数学领域，你可以将研究对象视为由橡胶制成。因此，例如，你可以拿一个球体，认为它相当于一个立方体，因为你可以将六个角拉出，并将一个球体转换为一个立方体，而无需剪切或粘贴。考虑一个甜甜圈的表面，一个圆环等价物（著名的例子是一个咖啡杯），由于你可以使咖啡杯的表面变形，从底部向上推，然后变形直到它看起来像一个甜甜圈的表面。因而这些被认为是相同的。
拓扑学是个非常广泛的数学领域。纽结理论实际上是它的一个子领域。我们再次将这些纽结视为位于太空中，但它们被视为实际上是橡胶纽结，你可以使它们变形。在理解关于纽结理论的问题时，你实际上是在问一些问题——特定的问题也可以推广到关于拓扑的问题。
Strogatz (8:50)：
这是一个非常有趣的区别，一个重要的区别，你正在做的，这个想法——数学家喜欢考虑的纽结具有这种理想化的、橡胶状的性质，它们可以被扭曲并随心所欲地弯曲、变形和拉伸。实际上，你知道，就像在现实世界中一样，当人们想到纽结时——比如鞋带上的纽结。数学家往往会忽略其他方面，例如真正的纽结通常依赖于摩擦。那么也许你是否应该告诉我们，你在作为数学家时思考时会忽略的内容？
Adams (9:24)：
好的，这是一个很好的问题。当你作为数学家思考它们时，纽结很有趣。例如，你正在思考的，如果你认为你的纽结是无限细的，认为它是一个被切开并结成纽结的圆圈。但是那个圆只有一点厚度。因此，当考虑纽结理论时，你实际上正在思考的是一个非常骨感的东西。然后，正如我们之前所说，你要把它切开，在里面打一个纽结，然后把两端粘在一起。然后你可以随意变形它，但不能让它在任何时候通过它自身。这是我们正在使用的规则之一。
我们还有其他一些不太明显的规则。例如，你不能在里面打个纽结，然后把它拉紧，让它变得越来越小，直到它变成（原来没有纽结的样子），就像你可以在你的鞋带上一样，在你的鞋带上打一个小纽结——你不被允许在纽结理论中做到这一点。避免这种情况的一种方法是你谈论它是所谓的分段线性的（piecewise linear）。你可以想象你所有的纽结实际上是由一束小棍子端对端粘在一起来打纽结的，你不能无限制地增加棍子的数量，必须始终保持一个有限的数字。这样就避免了在你打纽结的圆圈内出现越来越小的纽结的问题。
所以这些是我们关于纽结必须遵守的几个条件，以便在数学上讨论它们。
Strogatz (10:44)：
通过学习纽结理论可以学到哪些数学知识？我在这里寻找的是，它告诉我们关于空间或代数的什么？或者，你知道——通过思考纽结理论得到的数学中的联系是什么？
Adams（11:00）：
在纽结理论中，有人可能会问你最基本的问题是：他们给你一团乱七八糟的东西，两端粘在一起，他们说，不切开它就可以解开吗？这是平凡纽结吗？因此，你希望能够判断一个纽结是否是平凡纽结。
更一般地说，有人给你两个纽结。你想知道，它们是同一个纽结吗？它们是同一个纽结，还是不同的纽结？那么这又是另一个基本问题。自 1880 年代以来，人们一直在研究的问题之一是所有纽结的列表，你可以在其中尝试将所有纽结的清单制作成某种复杂程度的表格。在对纽结进行制表时，我们通过跟踪交叉的数量并尝试确定有多少纽结具有一定数量的交叉来对它们进行制表。
我所说的交叉是指如果你给你的纽结拍张照片，然后你看那张照片，纽结有一些地方交叉在自身之上或之下。这些就是我们所谓的交叉（点）。那么我们可以算出有多少种纽结具有三个交叉点，其实只有一种，叫做三叶纽结（trefoil knot）。平凡纽结是唯一具有零交叉的纽结。有1种四交叉纽结，2种五交叉纽结，3种六交叉纽结，7种七交叉纽结，可以继续算下去。到目前为止，我们已经将所有可能的不超过 19 个交叉点的纽结制成表格，有超过 3 亿种纽结。这是人们做的事情之一，他们试图找出可能性是什么，特别是，给定其中两个，你如何确定它们是否相同？
(12:33)
现在，为了做到这一点，你创建了这些称为不变量的量。不变量只是可以与一张纽结的图片相关联的量。如果两张不同的图片代表同一个纽结，它们应该有相同的不变量。该不变量可以是一个数字；如果在代数中，它可以是一个群；它可能是数学中的其他某种对象，但它是一种区分纽结的方法。
例如，从我获得博士学位以来，我一直从事的领域之一，是关于纽结的双曲体积（hyperbolic volume），结果证明这是区分纽结的非常有效的方法。我提到这个的原因是因为，史蒂夫，正如你之前所问的，纽结理论如何与其他数学领域联系起来？纽结的双曲体积实际上来自双曲几何。那么这是一个几何不变量。尽管纽结本身是可以变形的物体，而且我认为它们是由橡胶制成的——我使用拓扑这个术语是因为它们是橡胶，它们很容易变形——但事实证明，当你试图计算双曲体积时，它是一个与双曲线纽结相关联的唯一数字。
因此，例如，有四个交叉点的纽结的双曲体积为 2.0298……小数点后任意多位。你可以使用该数字来区分纽结。但是为了理解纽结理论的那个领域，你需要了解几何，需要了解代数，因为与纽结相关联的群，被称为基本群（fundamental group），实际上是作为一组双曲空间的等距实现的，等距是保留距离的映射（保距映射isometry map）。那么你需要了解代数，需要了解一些分析，需要了解一些几何。它汇集了许多不同的数学领域，所有这些都是为了理解纽结。
Strogatz (14:26)：
那么 invariant（不变量） 可能不是普通英语中最常见的词，但我们可以把它想象成一个签名或指纹之类的东西。
Adams (14:33)：
实际上，有一个非常著名的例子，这是一个有趣的故事。早在 1890 年代，当时内布拉斯加州立大学就有一位名叫 C.N. Little的数学家，他试图将 10 个交叉点的所有纽结制成表格。他列出了这份清单，列出了 166 种 十交叉的清单。然后那个列表我认为它一直存在到 1975 年。
1975年，有一位来自纽约的业余数学家，一位来自纽约的律师，名叫Ken Perko。他正在看纽结表。许多纽结是使用称为亚历山大多项式（Alexander polynomial）的不变量来区分的。他注意到其中两个纽结具有相同的亚历山大多项式。他用绳子做了一个纽结，然后重新排列。结果和另一个纽结一样。事实证明，这张表已经错了 75 年。事实上，这两个纽结是同一个纽结。那对纽结仍然被称为 Perko 对，即使它实际上只是同一种纽结，但在表格中，它们被称为 Perko 对（Perko pair）。
Strogatz (15:40)：
我喜欢 Perko 对的那个例子。我的意思是，这准确地总结了这个主题的数学方面如此微妙和迷人的地方。正如你所说，这个例子可能只是潜伏在 70 年的表中。谁知道有多少只眼睛看过这些并想到，是的，那个纽结看起来和那个纽结不同。他们都有 10 个交叉，但我看不出有什么方法认为它们相同。没人想到。
当你刚才提到纽结理论与几何和拓扑中的各种深层问题相关时，我认为现在可能是我们开始讨论纽结周围空间的好时机。对吗？我的意思是，纽结理论不仅仅是关于圆圈。它可以是一个位于三维空间中的圈。或者在某些情况下，纽结理论家发现思考在四维空间中打纽结的事物很有帮助。那么让我们谈谈其中的一些。
Adams (16:34)：
好的，这是一个基本的问题。最初，在纽结理论中，每个人都在考虑在三维空间中的纽结，因为那是我们所有人都生活在其中的自然空间。但是你也可以思考在四维空间中打结的球体，在五维空间中打结的三维球体，在六维空间中打结的四维球体。
那么你可以上升——维度，维度，维度。还可以考虑在四维空间中打结的圆圈。这是一个非常有趣的类别。对于四维空间打结的圆圈，结果证明四维空间打纽结的每个圆都可以解开。那么一旦你上升到四维空间，每个纽结都是一个平凡纽结。我将在四维空间中取一个打结的两维球面，而不是在四维空间中打结的圆，因为当你上升到四个维度时，所有的纽结理论都会瓦解，因为每个纽结都可以在四维空间中解开。
Strogatz (17:29)：
这个纽结可以在四维中解开的想法，我认为它非常吸引人。如果能给人们一些关于它的直觉，我认为他们会觉得它非常令人难忘，并将它用作鸡尾酒会的小把戏。那么，也许你应该说，我们知道如何思考空间的三个维度。但你会怎么想——因为我们无法真正描绘出第四维空间维度——在这个直观的论证中你的第四维度是什么？
Adams (17:54):
好的，我非常喜欢描述四维空间的一个模型是，我使用所谓的颜色模型。因此，如果你考虑色谱——你知道，红、橙、黄、绿、蓝、靛——我可以想象从四维空间的三维切片集合中创建四维空间，每个切片都有不同的颜色。这将是连续的颜色。那么它会变成：红色将是一个切片，然后是一点点偏红的橙色，然后一点点更加偏红的橙色，渐变成橙色。我将拥有这些连续的切片，每个切片都有独特的颜色。这是考虑四维空间的一种有利方式，因为你没有将时间用作你的第四维度。那么你实际上可以在这个空间里四处走动，想象一下住在这个空间里会是什么样子。
现在。我想问一个问题：可以证明一个纽结实际上可以在四维空间中解开吗？那么我可以想象在四维空间的绿色切片中的纽结。这是四维空间的三维绿色切片，我的纽结就在那里。然后我要做的就是将我的纽结稍微推入邻近的黄色，那么它会变成一种绿黄色。但在我的三维绿色空间中，我再也看不到那部分了。它在绿色三维空间中是不存在的。那一小部分只存在于附近的相邻颜色中。那么在我的绿色空间里，我现在看到了一个被切开的纽结，我可以解开它。我可以在那里解开它，然后我在四维空间里的纽结，完全解开了。从这个意义上说，四维空间中没有非平凡纽结。
Strogatz (19:32)：
好的，二维空间中没有打结的圆圈，因为平面上没有足够的空间。并且在四维空间中没有纽结，因为空间太大了。当它们需要穿过自己时，它们可以通过在那个交叉点改变它们的颜色来简单地解开自己。那么这是一件很棒的事情，如果你上升两个维度，就像一个圆环是一个一维的东西，就像一根一维的线，你可以通过给出一个数字来说明你在线上的位置，你沿着它走了多远（当你绕着它走的时候），就像绕了一圈一样。那么你把这个一维的东西放在三维空间中。这就是纽结发生的地方。但是我们可以把整个东西都提升一下，我们现在可以上升到一个像球体表面这样的二维物体，但让它生活在四维。那么二维的东西，再高出两个维度。你告诉我如果它生活在一个四维空间里，我可以拿一个球体在里面打个结。
Adams（20:35）：
是的。作为一个例子，让我们看看我是否可以解释——举一个你可以如何做到这一点的例子。让我们回到颜色模型。在颜色模型中，请记住，我们有这些三维切片，每个切片都有不同的颜色，我将尝试创建一个打结的球体。好的，这就是我要做的事情。我要打一个三叶结，就是那个有三个交叉点的纽结，我要做一个红色的。然后就在它旁边，我要一个红橙色和一个橙色。在所有的（颜色）连续体中，我将拥有所有这些三叶结，……那么在四维空间的每个三维切片中，我将拥有这些三叶结中的一个。但是当我走向光谱的左端，光谱的红色端时，我要让它们变得越来越小。当我走出另一端，走向靛蓝那端时，我也要让它们变得越来越小。直到我到达靛蓝（这只是一个点）。当我到达红色时，也只是一个点。
好的。不管你信不信，那个物体实际上是一个球体。因为你可以从一个点的一端开始切割一个球体，然后切开它，你会得到一个小圆圈，然后是一个稍大的和一个更大的圆圈，直到你到达中间点，这是最大的圆圈然后圆圈缩小到一个点。而这一次，所有的圆圈都打纽结了。
Strogatz (21:51)：
天啊，你是我的英雄。我一直在思考纽结。我从来不明白你怎么会有一个在四个维度上打结的球体。但让我试着说出你刚才所说的话。我想我明白了。这很酷。那么你要打一个三叶结，那是我们的三个交叉的纽结，它看起来像一棵苜蓿叶，除了有点像三叶草之外。
我有这个三叶纽结（trefoil knot）。你想象一个彩虹系列的三叶草叶子从一端的红色变成另一端的靛蓝。我有整个光谱，一整排彩虹般的三叶草并排坐着。然后你说在任一端，将它们缩小，这样在最末端，红色的那个几乎是一个点。靛蓝是一个点。现在我有一些你说的东西让你想起，如果你看着地球，一个普通的球体，开始从北极一直到南极，沿着纬线进行切片——我开始只需剪掉北极，这就是重点。然后随着我往下走，我得到越来越大的纬度圈。然后我到达赤道，我得到一个大圆圈。
一个球体是由这些组成的——一个点，然后是增大的圆圈，然后是缩小的圆圈，然后是一个点。而你只是用三叶草结做到了这一点。除了它碰巧有纽结，但你说我们不知道它仍然是一个三叶草的球体。
哇。我喜欢你刚才解释的关于在四个维度上思考打结球体的内容。因为我想和我的下一位客人（丽莎·皮奇里洛）谈论的一件事，是她所做的工作，关于一种有 11 个交叉点的纽结，称为康威纽结，是否是“切片”——这是一个非常有名的纽结理论中长期存在的问题。我的意思是，我应该如何看待切片？
Adams (23:51)：
是的，切片回到了我提到的这个事实，即四维空间中的每个纽结都是平凡的。换句话说，四维空间中的每个纽结都可以变形为平凡纽结，而一旦将其变形为平凡纽结，实际上可以将其变形为平面，即四维空间中的二维平面。那个二维平面界定了一个圆盘。
好！那个纽结界定了一个圆盘。当你第一次看到这个纽结时，在你把它变形为只是坐在平面上的平凡纽结之前，它可能是坐在空间中真正凌乱、丑陋的东西，你甚至无法分辨它实际上是平凡的，但我们知道它是。因此，这个圆盘刚刚弯曲变形，看起来非常丑陋，非常糟糕，但它就在那里。每个纽结都必须在四维空间中界定一个圆盘。
问题是，这个圆盘有多好？当你谈论切片时，这确实会发生。因此，特别地，你可能会问这样一个问题：对于给定的纽结，它是否平滑切片？这意味着，它是否界定了一个光滑的圆盘？光滑的圆盘意味着它非常好，任何地方都没有纽结，它非常光滑，所有的导数都存在，这就是你正式地说它没有任何纽结的方式。因此，随着时间的推移，这是人们提出的关于各种纽结的问题。特别是，有一个纽结，叫做康威纽结，是由约翰·康威（John Conway）在制表时设计的，我想我以前没说过，但是康威在他上高中的时候，他就开始制表，那时，他们只知道十交叉纽结，而他想出了如何将十一交叉纽结制成表格。
(25:37)
他在看 十一交叉纽结时，偶然发现了这个纽结，这真的很难确定它是否为光滑的切片。那么他要处理这个非常困难的纽结，但让他感到困难的是，它是另一个纽结的变异体，叫做木下-寺坂纽结（Kinoshita-Terasaka knot）。一个非常有名的纽结，他需要弄清楚这个特殊的纽结，这个新的纽结，是另一个纽结的变异体，是否是光滑切片。而木下-寺坂纽结是光滑的切片。
有趣的是，这两个纽结居然出现在剑桥数学学院的北门和南门，因为它们是非常有名的纽结，人们对这两个纽结非常感兴趣。
那么他提出了这个问题，当他问这个问题时，这应该是在 1970 年左右，也许是 1974年，你知道，50 年前他问了这个问题，这个纽结是光滑切片吗？这个纽结（这个美丽、光滑的表面）是否界定了一个四维空间中的圆盘？这个问题在 50 年内一直悬而未决。
Strogatz (26:46)：
哇。科林，这真是太棒了。非常感谢你与我们共度时光。我真的觉得教会了我们很多。
Adams：
哦，谢谢，史蒂夫。和你交谈真的很有趣。