小乐数学科普：苦觅已久的数学证明解开了更多神秘的“模形式”——Quanta Magazine

新证明区分神秘而强大的“模形式”。

使用“令人耳目一新的古老”工具，数学家们解决了50年前关于如何对模形式（一类重要函数）进行分类的猜想，这对数论和理论物理产生了影响。

这个模形式的图形使用了颜色和高度描绘了其复数值。

在一个新的证明中，一个长期被忽视的数学对象终于成为人们关注的焦点。

乍一看，模形式——几个世纪以来，其丰富的对称性吸引了数学家的函数——似乎已经引起了足够的关注。它们出现在各种各样的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年证明费马大定理的关键成分，该定理解决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹纲领中发挥着核心作用，这是一个不断发展“大统一数学理论”的持续努力。它们甚至被用来研究弦理论和量子物理学中的模型。

但是在这些上下文中出现的模形式属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模形式拥有额外的结构，使它们更容易研究。但是更一般的“非同余”模形式远远超过它们的友好的同余模形式。“如果你随机取一个模形式，那它是非同余模形式的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的理由遇到同余模形式，否则你不要指望。它们非常罕见。”

然而，数学家对非同余模形式知之甚少，尽管它们无处不在。“它们完全是神秘的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类做出包罗万象的陈述很难，而且为研究在非同余情况下分解模形式而开发的工具也很难。这让数学家们不确定他们应该试图证明什么。

然而，关于非同余模形式的一个主要猜想长期以来一直很突出：就像沙漠中一个孤独的、不稳定的路标。

1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜想提出者之一，zzllrr小乐译注）注意到非同余模形式似乎有一个特别明显的性质，将它们与同余模形式区分开来。应该有这样一种公然的方式区分两者“真的非常令人惊讶，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模形式非常不同，因为非同余模形式缺乏同余模形式所具有的对称性。但这些差异虽然重要，但可能很微妙，难以察觉。

突然之间，这些差异的明显证据显而易见。

Atkin和Swinnerton-Dyer的观察后来被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜想。如果这是真的，它将允许数学家在大部分未开发的非同余对象领域站稳脚跟。通过提供一种简单的方法来识别给定的模形式属于哪个类，该猜想还可以将理论物理学中的一个主要项目 - 旨在理解称为共形场论的粒子相互作用模型 - 置于更坚实的数学基础上。

但50多年来，没有人能证明这一点。最终，在 2021 年底，三位数学家成功了。他们的证明似乎凭空而来，采用了没有人期望在这个研究领域看到的技术。数学家和物理学家现在开始探索这项工作的结果。

对称性和结构

非同余模形式并不总是被降级到边缘。

在19世纪，数学家刚刚开始发展模形式的理论。这是给一种特殊类型的高度对称函数的名称 - 它存在于复平面的上半平面中。

复平面是一种绘制复数的方法，复数分为两部分：实数和虚数。模形式输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面可以很容易地映射到单位圆盘的内部；模形式通常使用此映射进行描述。）

同余模形式（左）具有非同余模形式（右）所缺乏的附加结构。

模形式的许多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊集合或“群”定义的。在模形式中，这四个数字始终是整数。至关重要的是，与确定其某些属性的矩阵相关的数字（称为行列式determinant）必须为 1。

有无限多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵可以用相对简单的规则来描述。例如，在所有矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素可以被 11 整除，而其他两个元素都比11的倍数多 1。

可以用这些关系定义的群——以及与这些群相关的模形式——是被广泛研究的同余群。

但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的集合不能以这种方式用很好的规则来表征，这使得它们和与之相关的模形式不同余。

直到 1930 年代后期——大约在第二次世界大战开始时——同余模形式的研究才开始超越非同余模形式的研究。就在那时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）开发了一个工具箱，使他能够确定模形式的许多属性，并将它们与其他重要的数学对象相关联。

Hecke的方法只适用于同余群及其模形式。非同余群缺乏使Hecke工具箱有效的额外结构。“当你移动到非同余世界中时，你在同余世界中拥有的这个东西就会消失，”Franc说。

因此，非同余模形式似乎注定要永远被忽视。这并不是说它们没有任何自己的特殊结构，潜伏在表面之下。正如Swinnerton-Dyer的合作者Bryan Birch（BSD猜想另一共同提出者，zzllrr小乐译注）曾经写道的那样，“虽然结构更神秘，但似乎几乎一样丰富。”但是当涉及到访问这种结构时，数学家们却不知所措。他们甚至不知道从哪里开始。

这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。

整洁的标准

这两位数学家想知道更多关于非同余模形式，以及他们可能隐藏的任何秘密。

“这总是数学进步的方式，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你研究具有非常特殊属性和更多结构的东西。然后你去概括它，试图了解哪些属性会延续，哪些不会。”

为了研究给定的模形式，数学家通常将其表示为称为q展开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无限和，然后分析该展开式的系数。众所周知，如果给定的模形式是同余的，那么系数的分母永远不会大于某个固定值。

在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer计算了q展开式的分数和模形式的分数。当他们这样做时，他们注意到，如果模形式是不同余的，那么其相关数列中的分母就会无限制地增长。“他们实际上可以对这些神秘的非同余形式说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华人女数学家，2022年）说。

2021年元旦，高等研究院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位同事发了一封电子邮件，讲述了“一个一厢情愿的想法”：他想应用他们一直在研究的技术来解决一个完全不相关的问题，即无界分母猜想。

区分这两种类型的模形式真的这么容易吗？

数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的观察结果，表明无界分母可能是非同余模形式的普遍标志。这个猜想“非常惊人”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了我们一个整洁的标准来决定一个模形式是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个非常方便的试金石，在其他情况下可能很难检测到。

“这几乎好得令人难以置信，”他补充说。“人们真的不指望出现这样的奇迹。”

事实上，没有人能证明无界分母的猜想。李文卿和其他少数人能够证明对于非同余模形式的特定族是正确的，但数学家不知道如何处理一般情况。

然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高等研究所的Vesselin Dimitrov一起发布了一份50页的证明。“这太神奇了，真的很出乎意料，”Frank说。“感觉（数学）社区对如何处理这个问题没有任何想法。”

作者希望他们的论文是将沙漠中的路标发展成成熟道路网络的第一步。“我们通过为最简单的问题提供答案，为数论的这一部分做出了微薄的贡献，”Dimitrov说。

回到老路

Calegari、Dimitrov和唐并没有着手解决无界分母猜想。在2019年底，他们希望证明某个数字（黎曼zeta函数的类似值）是无理的——就像2的平方根一样，它不能写成分数。（他们的最终目标是证明这个数字和其他类似的数字是超越的，这意味着，与数字π和e一样，它们不能写为具有整数系数的多项式方程的解。）

从表面上看，这个问题是完全无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他人发了一封电子邮件，他在电子邮件中描述了 “一厢情愿的想法”：也许他们在过去一年中开发的技术可以重新用于证明无界分母猜想。

他们试了一下。在七个月内，他们得到了证明。

在证明了无界分母猜想之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）继续与她的两位合著者合作，研究最初激发证明的问题。“我们正在努力完成我们开始的事情，”她说。

首先，他们考虑了两个空间：所有具有有界分母的模形式的空间，以及所有同余模形式的空间。根据无界分母猜想，这两个空间应该是相同的。由于空间满足某些属性，数学家只需要证明它们的大小相同。这样做将自动暗示它们的等价性。

Calegari、Dimitrov 和唐可以相对容易地计算第二个空间的大小，从而获得一种同余模形式的粗略计数。但是很难得到第一个空间的大小估计。他们必须结合许多不同的技术——包括来自超越数论的技术。

使用这些方法，他们表明具有有界分母的模形式的空间最多可以达到一定的大小。该最大大小比同余模形式的空间大小略大。尽管如此，这一步“确实是证明的核心，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·博斯特（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的毅力才能做到这一点。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的方式证明了这种空间大小的界，可能给他们的技术带来更广泛的应用。）

“这是非常古典、美丽的数学，带有19世纪的味道，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。

然后，三人需要缩小两个空间之间的差距。这样做将确定任何具有有界分母的模形式必须是同余的。

因此，他们假设了相反的情况：存在具有有界分母的非同余模形式。根据定义，它将生活在Calegari、Dimitrov和唐试图缩小的间隙中。然后，这三人表明，这种非同余模形式的存在自动暗示了许多其他具有有界分母的非同余模形式的存在。仿佛整片森林都是从那颗种子长出来的。

但他们已经确定了间隙的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余形式。

这意味着即使是一种这样的形式也不可能存在。他们证明了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜想。

数学家发现工作中使用的技术比结果本身更有趣。“这些想法以前从未用于研究模形式的算术，”Scholl说。

正如Voight所解释的那样，尽管模形式的研究最初是复分析领域的一部分，但目前的工作一直是数论和代数几何的范围。他说，这篇新论文标志着对复分析的回归：“这是一个令人耳目一新的古老观点。”

寻找新理论

数学家并不是唯一对无界分母猜想感到兴奋的人。它也出现在理论物理学中。

在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer开始的故事同时展开。数学家们注意到一个叫做魔群（Monster Group）的对象和一个叫做j函数的模形式之间有一种奇怪的联系。j函数的系数精确地反映了魔群的某些性质。

后来的研究表明，这种联系是由于群和模形式都与称为二维共形场论的重要粒子相互作用模型有关。

但是，将魔群与j函数联系起来的共形场论只是无数共形场论的一个例子。虽然这些理论没有描述我们生活的宇宙，但理解它们可以对更现实的量子场论的行为产生新的见解。

因此，物理学家继续通过观察它们相关的模形式来研究共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模形式概念，称为向量值模形式。）

为了了解特定共形场论的情况，你必须证明它的模形式是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和理论物理学家Michael Tuite说。然后，你可以开始描述共形场论，甚至可以发现你不知道要寻找的新场论。这对于对所有共形场论进行分类的持续努力尤其重要 - 物理学家称之为模引导的项目。

“一旦你知道它是一个同余模形式，它使你能够在这个项目中取得巨大的进步，”Mason说。

物理学家开发了一个框架，允许他们为正在研究的模形式假设这种同余性质。但这并不等同于拥有严格的数学证明——虽然其他数学家后来能够提供这样的证明，但他们的论点只在某些环境中有效。根据Mason的说法，它还涉及通往同余的“一条非常曲折、错综复杂的道路”，尽管他也指出，这条错综复杂的道路产生了重要的见解。

Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜想的证明打破了这一切。这是因为，事实证明，与共形场论相关的模形式总是具有整数系数。根据定义，整数的分母为 1，这意味着它们的分母始终是有界的。由于无界分母猜想指出有界分母仅与同余模形式相关，因此不再需要做出假设。“你甚至不需要了解[共形场论]，”唐说。新的证明会自动为所有这些情况提供同余性 —— 以免费的方式。

芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）研究模形式和相关数学对象。

“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。现在终于解决了。

“这真的是一个奇迹，”Mason说。“这只是奇迹般地从这些数列是整数的事实中得出的。”

他已经开始将结果应用到自己的工作中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我想要解决的结果提供了一个非常受欢迎的捷径。它削减了大量我无法看到的潜在工作。”

它还将模引导项目和其他结果置于更强大的数学基础上。“这将使数学家能够重新证明[以前的]结果，或者相信它们，”Mason说。

“我认为这真的会产生影响，特别是在数学方面，只是真的，真的把事情联系起来，确切地了解正在发生的事情，”Tuite说。

数学超越性

在他们发布证明后的一年里，Calegari、Dimitrov和唐继续他们的合作。他们现在又回到了超越数论中最初激发他们对猜想兴趣的问题类型。“我们正在努力完成我们开始的事情，”唐说。事实上，他们已经用他们的技术来证明几个感兴趣的数字是无理数。

“他们真的把[方法]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到非常兴奋。”

这些方法也可能适用于数论中的其他问题。

撇开技术不谈，无界分母猜想的解决标志着更好地理解非同余模形式的第一个重要里程碑之一。“这是一个了不起的成就，我们可以通过这种方式在不同余形式上取得一些进展，”Franc说。“我对未来10年，20年感到兴奋，看看会发生什么。”

李文卿，Voight和其他人已经开始寻找出现在这些神秘模形式分母中的数字模式。他们希望通过这样做，可以找到更深层次结构的暗示。

“这个无界分母的猜想只是一个开始，”李文卿说。

作者：Jordana Cepelewicz 2023-3-9

译者：译者：zzllrr小乐（同名微信公众号） 2023-3-12

参考资料

• https://www.quantamagazine.org/long-sought-math-proof-unlocks-more-mysterious-modular-forms-20230309/

• https://arxiv.org/abs/1201.6644

• https://arxiv.org/abs/2109.09040

• https://m.thepaper.cn/baijiahao_20220495

• http://www.360doc.com/content/17/0719/11/45317185_672531550.shtml

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