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这，就是数学
观点 / 刘润 主笔 / 二蔓 责编 / 黄静
本文首发于2022年8月
今天，我们重发一篇文章《这，就是数学》
相信我，坚持看完，你会有一些小启发的。以下是这篇重发文章正文。什么？你还是抵触？为什么要抵触？好吧。我试着猜猜，你看看是不是这么回事。很多人学了十几年的数学，一离开学校，根本不知道数学到底有什么用。语文，也很难学。但学好语文，起码能写出动人的情书。英语，还是很难学。但学好英语，起码出国旅游的时候不需要请翻译。数学...我一直觉得数学挺简单的，加减乘除。直到...三角函数出现在我生命里的那一天。
比如说，每一条线的角度都是180度；三角形的内角和等于180度；过直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线平行......这就是一幢名叫欧氏几何的大厦。你发现了吗？数学，本来就是逻辑的产物。可如果，我从这幢大厦里，随机地抽出一块产物递给你呢？
这块产物原本是用来解决一个什么样的问题的？不知道。是从哪条公理推导出来的？也不知道。是怎么推导出来的？还是不知道。不知道怎么办？不需要知道，记下来就行了。可谁又能记下一整座大厦呀。学的时候昏昏沉沉，考的时候自然天旋地转。可是，你相信吗？所有的数学，都是为了解决有趣的问题。你不信？
我举个例子。
先抛一个问题吧。你知道，为什么计算机要用二进制吗？好吧。这个问题可能有点简单。因为计算机的各个门电路，只有“开”和“关”两种状态。那就用“0”来表示关，用“1”来表示开。简单、方便。既然这么简单，可为什么绝大部分的国家，到最后采用了十进制呢？是为了解决计数的问题。
我今天采回了一批果子，和你们共享。你家分多少颗，他家分多少颗，这就得有个数。怎么记这个数呢？用计算器吗？进制诞生的时候，不光是没有计算器，恐怕是连本子都没有。那怎么办？于是，拥有高等智慧的人类，不约而同地望向了自己的双手。这十根手指，不就是天赐的计算器吗？分一颗，掰一根。分两颗，掰两根。
分十一颗...好吧，再掰一轮。可是，既然十进制是天赐的宝物，为什么还有十二进制呢？比如说，星座，是十二进制的。生肖，也是十二进制的。为什么？是因为古代有一个特殊的种族，长了十二根手指吗？那倒不是。其实答案，依然在你的手上。如果，你不嫌弃的话，我想邀请你和我一起做这样的一套动作。第一步，张开你的右手。第二步，移动你的大拇指，放到食指最下面的指节上，并默念：1。然后向上移动你的大拇指，放到食指中间的指节上，并默念：2。再向上移动，并默念：3。第三步，移动你的大拇指，放到中指最下面的指节上，并默念：4。......最终，你会成功地数到12。怎么样？算出我的财运了吗？能和我说说吗？不闹了。这就是十二进制。不是有人长了十二根手指头，而是因为有的人习惯掰手指，有的人习惯点指节。那那那...为什么还有六十进制呢？比如说，闹钟，是六十进制的。甲子纪年法，也是六十进制的。
不卖关子了。答案，仍然在你的手上。有的人习惯掰手指，有的人习惯点指节。那把“掰手指”和“点指节”结合一下，就是六十进制了。你看，用右手掰手指，能计五个数。用左手点指节，能计十二个数。是的，你已经想到了。五乘以十二，就是六十。你再猜猜，这个世界上，有没有二十进制呢？当然。人类有双手双脚，共计二十个指头，当然也会有二十进制的计数法。据说，玛雅人用的就是二十进制。
至于二十进制为什么很少被使用的话...大概是因为用脚计数不文明吧。二进制，十进制，十二进制，六十进制，二十进制，都是为解决有趣的问题而生的。想象一下，如果小学的数学老师，真的带着你掰了一节课的手指，你还会忘记这些知识吗？我猜，不会的。因为你知道，那些数学公式，投射到现实世界里，到底是为了解决一个什么样的问题。我再举个例子。
|也许，你觉得自己的数学成绩是一场灾难。可你知道吗？和世界上其他国家的同学比起来，你有着得天独厚的优势。为什么？因为汉语，在帮你学数学。看到这里，你可能会有点疑惑。学数学，和汉语有什么关系？
我举个例子。如果你愿意的话，请口算一下，13乘以9，等于多少？没错，是117。请问，你是怎么算出来的呢？我猜猜看，是不是“三九二十七”，“一九得九”，二十七加九十，得出的117？巧了，我也是这么算的。我想再问一个“无聊”的问题：这个“三九二十七”，是哪来的？来自一张流淌在血液里的表格——九九乘法表。
第一行，先在左手边，放下13颗石子。再在右手边，放下1颗石子。那第二行呢？要怎么堆？翻倍。先在左手边，放两次13颗，也就是26颗。再在右手边，放两次1颗，也就是2颗。第三行，也是同样的道理。左手边是26的翻倍52颗，右手边是2的翻倍4颗。那要堆到什么时候？堆到右手边能加出9的时候。你看，右手边的第一行，是1颗石子。第四行，是8颗石子。一共就是9颗。左手边的第一行，是13颗石子。第四行，是104颗。一共就是117颗。天啊，这也太神奇了。还有吗？再比如说，俄罗斯人。战斗民族是怎么解决乘法问题的呢？第一行，先在右手边，写上13。再在左手边，写上9。
第二行，在右手边减半（6.5），但只取整数，写上6。再在左手边，翻倍，写上18。第三行，右手边就是3，左手边就是36。第四行，右手边就是1，左手边就是72。有趣的事情又出现了。右手边，有三个奇数：13，3，1。三个奇数的左手边，对应着三个数字：9，36，72。
9+36+72。没错，也是117。其实，不光是古埃及和俄罗斯，这个世界上，还有各种各样五花八门的乘法计算方式。虽然，这些计算方式看上去很“怪异”。但是，准确且有效，就是计算的意义。可是，在效率上，几乎没有任何一种计算方式，能够媲美九九乘法表。既然如此，没有九九乘法表的国家，为什么不引进呢？答案是，语言。汉语中的数字，一、二、三...九，都是单音节的。英语中的数字，one，two，three...nine，既有单音节，又有双音节。
我们小时候背的九九乘法表，朗朗上口，音律感特别强。想象一下，英语世界的孩子们要是背九九乘法表，那得乱成什么样？俄罗斯的孩子说，你们聊，我先走了。你发现了吗？数学的背后，就是一个又一个有趣的问题。数学，就是用来窥探万物本质的。
我到今天还能记起，我在南京大学的第一堂数学课。这堂课的名字叫做“概率”。概率？这不是高中就学过的知识吗？于是，数学老师用“条件概率”，给了我们一个下马威。什么是条件概率？老师出的那道题，是这么说的。“有一对父母，生了两个小孩。已知其中一个是女孩，请问，另外一个也是女孩的概率是多少？”非男即女，50%吗？这应该明显不对，这道题不可能这么简单吧。25%？也不对。那，怎么来思考这个问题呢？首先，站在最顶端的位置（父母）来思考。生孩子，肯定是有先后的。先生一胎，再生二胎。非男即女，所以有四种不同的结果：男男、男女、女女、女男。每种结果的可能性各占25%。这应该挺容易理解的。但是，题目中有一个隐藏的条件：已知其中一个是女孩。什么意思？简单来说就是，不符合这个条件的样本“男男”，就不在讨论的范围之内。也就是说，只有“男女、女女、女男”三个样本。所以，其中一个是女孩，另外一个也是女孩的概率，是三分之一。这就是条件概率。头又开始痛了...不是说，窥探万物本质吗？条件概率，能窥探什么？生二胎的心理预期吗？别着急。我斗胆试着点一点。假如，你想知道中国有多少孩子喜欢书法。如果你在学校里发问卷，调查的结果可能是20%。如果你在兴趣班里发问卷，调查的结果大概会高一些，40%。如果你在书法班发，那结果也许就是80%。为什么？因为“条件”变了。那你猜猜看，哪个行业的人，用“条件概率”用得最熟练？好吧。小标题已经出卖了我。你大概也有过这样的经历。你接到一个陌生的来电，电话的那一头说，我是你的领导，我现在遇到了一点情况，给我转个几万块钱，周一我到办公室还你。浓重的口音，磕巴的发言，一点专业水准都没有。简直是把“骗子”两个字写在了脸上。这么蠢，能骗得到人吗？还真能。因为骗子特别擅长用“条件概率”来管理他的样本。什么意思？
在骗子眼里，这个世界上只有两种人。一种是容易上当的，一种是不容易上当的。和不容易上当的人通上一个小时的电话，你还是骗不了他。可如果，把这一个小时花在容易上当的人身上，成功率就能大大提高。也就是说，骗子要提前把容易上当的人，筛选出来。可是，容易上当的人，也不会把这几个字写在脸上啊。怎么筛选？一开始就表现得像一个骗子。我都表现得这么明显了，你居然还能跟我聊下去？要么，你是小爱同学。要么，你就是我的目标客户。如果你一听就知道我是骗子，很生气，啪的一声挂掉了电话。太好了，反正我也骗不到你，我们各自安好，不要浪费彼此的时间。聪明人，一下子就被筛除掉了。这就是骗子的小把戏。
聊到概率，就绕不开一项实验。这项实验叫做：带编号的立方体重复性概率试验。坊间俗称，赌大小。具体怎么赌呢？就像电视剧里播放的那样。庄家把三个骰子放进骰盅，用随机的力度、幅度、次数摇动骰盅，并在随机的时间之后停止。然后，请下注。
闹了半天，数学书里的这些东西，难道就是用来做坏事的吗？闹了半天，数学教的这些概率、数学期望，就是用来做坏事的吗？当然不是。商业的底层逻辑，同样是数学。比如说，风险投资。风投，就是一种特别典型的，系统性地用概率和数学期望来赚钱的方式。什么意思？假如一家创业公司，成功的概率有5%，成功之后，利润是成本的20倍。那么，这家创业公司值不值得投资？理论上来说，值得。为什么？因为它的数学期望大于1。可是，即便一件事情的数学期望大于1，这件事情值得去做。但是对于这位创业者来说，成功的概率只有5%。这个概率实在是太小了。他的成功，是极度不确定的。
5%的成功率，就意味着还有95%的概率会失败。也就是说，我投资他，会有95%的概率血本无归。那怎么办呢？把个体的不确定性，变成群体的确定性。这就是“大数定律”。你抛一枚均匀的硬币，落地后正面向上，或者反面向上的概率，都是50%。那么你抛两次硬币，就一定会出现一次正面向上，一次反面向上吗？不一定。但是如果你抛1000次呢？结果几乎就是一定的了。正面向上和反面向上的次数，都接近于500次。只要你重复实验的次数足够多，最终的结果就会比较稳定，趋近于期望值。风险投资，也是这个道理。假如一个人创业，成功的概率是5%。我投资他一个人，有95%的概率血本无归。那如果我投资20个这样的人呢？20个人中，只要有1个人创业成功了，我就能赚到超过20倍的钱，对我来说就是划算的。那么，20个人中，至少有1个人成功的概率是多少？是64.2%。（1-0.95^20=64.2%）投资1个人，我投资成功的概率是5%。而投资20个人，我投资成功的概率是64.2%。我投资成功的概率就大大增加了。这就是风险投资的逻辑。在真实的商业世界中，每个创业者的个人水平不同、选择的赛道不同、商业的逻辑也不同。他们的成功概率都是不同的。有的人成功概率是1%，有的人是5%，而有的人是8%。但总体来说，创业是九十九死一生的游戏。5%的成功概率，已经算是高的了。投资人所做的事情，就是靠自己的经验和眼光，筛选出那些成功概率更高、回报倍数更高的人。然后，一次去投很多很多人，分散风险。这样他们大概率就能投资成功，获得巨大的回报。这就是把个体的不确定性，变为群体的确定性。风险投资，就是这样系统地靠大数定律赚钱的。
如果，在学生时代，你对数学老师说：老师，我觉得数学一点用都没有。我不明白，学数学，到底是为了什么？我相信，大部分的数学老师，可能都会给出一个同样的回答：学数学，是为了锻炼你的数学思维。什么是数学思维？比如说，我们前面说到的公理体系，就是一种几何思维。你会明白，一家企业的“大厦”，是怎样一步一步搭建出来的。再比如说，我们前面说到的概率体系，就是一种概率思维。你会明白，正确的事，是值得重复去做的。还有吗？好吧。这个问题太深奥了，我实在是没有办法穷举。再举三个例子吧。微积分、代数、博弈论。别怕，我们一个一个来说。很多人一听说微积分，想到那些复杂的微分方程、积分方程，就头疼。我们今天不聊方程，只聊微积分的思维方式。微积分的思维方式其实特别简单，也正是因为简单到了极致，所以非常漂亮。微积分是牛顿发明的。所以，他为什么要发明微积分呢？你可能会说，是为了在考试中虐待我们。不是的。其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。比如说，我知道一段距离的长短，和走完这段距离的时间，就可以算出一个平均速度。但是，每个瞬间的速度，我是不了解的。于是，牛顿就发明了微分，用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。而积分跟微分正好相反，它反映的是瞬间变量的积累效应。说了半天，到底什么是微积分？我举个简单的例子。一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。但有了加速度，并不会瞬间产生速度。加速度累积一段时间，才会有速度。而有了速度，并不会瞬间产生位移。速度累积一段时间，才会有位移。宏观上，我们看到的是位移。但是从最微观的角度来看，其实是从加速度开始的。加速度累积，变成速度。速度累积，变成位移。这，就是积分。反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度在一段时间的累积。而物体之所以会有速度，是因为加速度在一段时间的累积。位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。宏观上，我们看到的是位移，但是从微观上来看，其实是每一个瞬间速度的累积。而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度。这，就是微分。我的头...所以，微积分跟我有什么关系？理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。什么意思？人类，就是微积分的例子。你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能力。你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。而你有了能力，也不会马上就出成绩。你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。而你有了一次成绩，还是不会马上就得到领导的赏识。你的成绩，得累积一段时间，才会得到领导赏识。从努力，到能力，到成绩，到赏识，它是有一个过程的，有一个积分的效应。日积月累，水滴石穿，不是尽人皆知的故事吗？不是的。你会发现，有很多人其实并不相信这个过程。“我今天这么努力地工作了，一分钟都没摸鱼，领导为什么还不赏识我？”“我已经推过这个飞轮了，为什么它还没有转起来？”他忘记了。忘记了过程的力量。反过来说，有些人可能一直以来工作都做得特别好。但是从某个时候开始，因为一些原因，慢慢开始懈怠了。他的努力程度下降了。但这个时候，他的能力并不会马上跟着下降。可能过了三四个月，才会慢慢显示出来。他会发现，做事情开始变得不能从心所欲了。然后又过了三四个月，他做出来的东西，领导开始越来越看不上了。他可能会觉得，这有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗。但他忘记了。忘记了这仍然是一个“过程”。早在七八个月前他不努力的时候，一切都埋下了种子。努力的时候，都希望瞬间被认可。出事的时候，却不去想几个月之前就开始忽视的蚁穴。
聊完微积分，我们再来聊聊代数。一开始，我们学的是自然数，包括0和正整数。0，1，2，3，4，5...然后是整数，包括了自然数和负整数。...-3，-2，-1，0，1，2，3...然后是有理数，包括了整数和分数。在学习分数之前，数字在我们的认知中，是离散的，是数轴上一个又一个的点。而有了分数，数字就开始变得连续了。有理数之后，我们又学了无理数。无理数，就是无限不循环小数，比如π。任何一个有理数，都可以由两个数相除而得来。但是无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。你会相信，世界不只是对和错、大和小。点和点之间，还有一个充满灰度的空间。你会相信，在这个世界上，有些事情就是复杂到没有规律的。π就是π，根号就是根号，它就是很复杂，复杂到没有任何一个简单粗暴的方式能来定义它。你要承认它的客观存在，承认这个世界的复杂性。你看，我们就是在各种数里，一步一步地理解了这个复杂的世界。再复杂一点。数这个东西，除了大小，其实还有一个非常重要的属性：方向。在数学上，我们把有方向的数字叫做向量。数字，还非得加个方向，有意义吗？我举个例子。假如，你今天拖着一个箱子往东走。你力气很大，有3000N。这时，有人非要跟你对着干。他把箱子往西拖，但力气没你大，只有2000N。结果呢？这个箱子还是会跟着你往东走，只不过只剩下1000N的力，它的速度会慢下来。可如果拖着的不是箱子，而是人呢？两位得力战将，向着完全相反的方向发力。与其互相牵制，那可能还不如完全交给其中一个人来做。这挺容易理解。但还有一种情况。做同一件事情，有的人想往东走，有的人想往西走，有的人想往北走，你呢？你并不知道哪个方向是正确的。那怎么办？你就让他们都去干这件事吧。虽然大家的方向不同，会互相牵制，力的大小会有损耗。但是最终事情的走向，会是那个相对正确的方向。
最后，我们来说说博弈论。什么是博弈论？我们每天都要做很多很多大大小小的决策。比如说，我午饭是吃饭、吃面、还是吃饺子？这就是一个决策。这个决策只跟我自己有关，并不会涉及到别人。但总有一些决策，是需要涉及到别人的。涉及到别人的决策逻辑，我们把它叫做博弈论。比如说，围棋。每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。这是博弈论中典型的零和博弈。在零和博弈中，你要一直明白，你要的是全局的最优解，而不是局部的最优解。什么意思？下围棋的时候，不是在每一步上，你都要吃掉对方最多的子。你要让终局所得最多，就要步步为营，讲究策略。有时候让子是为了以退为进。始终记得，你是为了全局最优，而不是局部最优。这就是所谓的，善弈者，通盘无妙手。创业如是，商业如是，人生亦如是。不要总想着每一件事情都必须一帆风顺，如果你想得到最好的结果，可能在一些关键步数上就要做些妥协。除了零和博弈，还有一种博弈，叫做非零和博弈。非零和博弈讲究共赢。共赢的前提，是建立信任。但建立信任，其实特别不容易。为什么？因为考验人性。假如，市场上现在需要100万台冰箱。一个厂家发现了这个需求，决定马上生产100万台。另一个厂家发现了这个需求，也决定马上生产100万台。第三个厂家也是一样。......结果，每一个厂家都生产了100万台，供大于求，大部分厂家都会遭受很大的损失。如果这个时候，大家能够建立起信任，说好10个厂家，每个人都只生产10万台，这样正好能够满足需求，每个厂家都能够赚到钱，大家就能达成共赢。你看，大团圆结局。可是，你很清楚，总会有人打破约定的。凭什么要求我只生产10万台？我偏不。只要有一个厂家没有遵守约定，别人都生产10万台，但是他生产30万台，这个时候，就多出来了20万台，大家就会因此遭受损失。建立这种信任，特别不容易，但是这件事情在商业世界里非常重要。那怎么才能建立信任呢？我斗胆提两个建议。第一个建议是，你要找到那些能够建立信任的伙伴。有些人，是永远都无法和他达成共赢的，这样的人你就要远离。第二个建议是，你要主动释放信任。你要先让别人知道你是值得信任的人，这样想要与你达成共赢的人，才会来找到你。
数学的星空，太浩瀚了。28年前，1994年那个炎热的夏天，是属于我的高考季。在拿到622分的成绩单之后，我和千千万万个少年一同面对着一件人生大事。填志愿。选学校。选专业。南京大学，是我梦寐以求的高校。国际金融，是那一年的大热专业。可我身边那些超级学霸们都选择了计算机。我也执拗地认为，计算机才是未来的趋势。于是，我也满怀着对未来的憧憬，填下了“南京大学，计算机专业”。是的。数学，不是我的第一志愿。然后...分没够上。可无比幸运的是，那一年，南京大学的投档线，是618分。将将比我的成绩低了4分。简单来说就是...我被调剂了。就这样，我混进了南京大学，鬼使神差地成为了一个数学系的学生。（当然，我还是很喜欢数学的，小的时候还拿过全国数学竞赛的一等奖。）如果当年，我顺利地被南京大学计算机系录取了，我的人生会变成什么样呢？我不知道。我能知道的是，我是数学的受益者。它是我的热爱，是我的工作，是我的思维，是我的底层逻辑。所以，谢谢。真的真的，谢谢你们，我的每一任数学老师。谢谢你们。*个人观点，仅供参考。
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