几何与拓扑系列一 | 数学工作者必备书单（第5期）
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本期为您推荐“几何与拓扑”系列一。
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《几何三部曲 第1卷：几何的公理化方法》以几何公理化方法的历史发展成果为基础，系统给出了欧几里得几何、非欧几里得几何和投影几何研究的现代方法。公理化几何是形式化数学的起源，其中有很多著名问题有待解决。对这些著名问题的研究往往会导致许多研究领域特别是代数研究领域的产生。基于公理化思想的数学理论是现代数学的基本特征。本书详尽地论述了公理化几何研究的内容，也给出了许多著名问题的完备性证明。
复投影平面中代数曲线的研究是几何应用如密码技术研究的重要内容，也是线性几何研究向代数几何研究的自然过渡。《几何三部曲 第2卷：几何的代数方法》一书论述的就是几何空间中各种不同代数的方法，给出了解析几何、仿射几何、欧几里得几何和投影几何研究的具体内容，并详尽地描述了各类几何空间和代数曲线的性质。本书适合从事数学史、几何学、代数及其相关领域研究生和科研人员阅读和参考。
《几何三部曲 第3卷：几何的微分方法》呈现了平面和三维空间中曲线的经典理论，以及三维空间中曲面的经典理论，特别关注于奠定现代几何学的理论和方法的历史发展过程。对平面曲线及其性质和代数拓扑进行了全面而细致的论述，为读者深入理解几何学提供了必要的知识。本书适合从事数学史、几何学、代数及其相关领域研究生和科研人员阅读和参考。
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《现代几何学方法和应用》3卷集是以苏联莫斯科大学数力系的几何课讲义为基础形成的。它全面介绍现代几何学的基本概念和定理，并特别强调在数学其他分支以及理论物理中的应用。语言通俗易懂，尽量使物理工作者易于人门。
《现代几何学方法和应用 第1卷》主要论述曲面几何学、变换群和几何场论等课题，包括张量及其变分计算、一维和多维变分法等内容。
《现代几何学方法和应用 第2卷》主要介绍流形的几何学和拓扑学，包括同伦群、纤维丛、动态系统和叶状结构以及拓扑方法在现代理论物理中的应用。
《现代几何学方法和应用 第3卷》系统阐述了同调理论的基础知识。自从庞加莱奠定了拓扑学的基础之后，同调理论就被认为是学习代数拓扑学的基本入门知识，因此，本书对于广大研究生学好同调理论并进而研究拓扑学都是一本极好的教材。
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微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支科学。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。《微分几何初步》是一部为掌握数学基础知识之后继续领略高等数学之美的本科生而编写的标准教科书，各章有习题。
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《微分几何基础》介绍了微分拓扑、微分几何以及微分方程的基本概念。本书的基本思想源于作者早期的《微分和黎曼流形》，但重点却从流形的一般理论转移到微分几何，增加了不少新的章节。这些新的知识为Banach和Hilbert空间上的无限维流形做准备，但一点都不觉得多余，而优美的证明也让读者受益不浅。
本书在有限维的例子中，讨论了高维微分形式，继而介绍了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的应用。书中给出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸没中的特征。书中还讲述了该领域的一些主要基本理论，如：微分方程的存在定理、唯一性、光滑定理和向量域流，包括子流形管状邻域的存在性的向量丛基本理论，微积分形式，包括经典2-形式的辛流形基本观点，黎曼和伪黎曼流形协变导数以及其在指数映射中的应用，Cartan-Hadamard定理和变分微积分第一基本定理。
目次：（第一部分）一般微分方程；微积分；流形；向量丛；向量域和微分方程；向量域和微分形式运算；Frobenius定理；（第二部分）矩阵、协变导数和黎曼几何：矩阵；协变导数和测地线；曲率；二重切线丛的张量分裂；曲率和变分公式；半负曲率例子；自同构和对称；浸入和浸没；（第三部分）体积形式和积分：体积形式；微分形式的积分；Stokes定理；Stokes定理的应用；谱理论。
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《微分形式及其应用》是一部简短的微分几何教程。本书详细讲述了微分几何，并运用它们研究曲面微分几何的局部和全局知识。书中引入微分几何的方式简洁易懂，使得这本书非常适合数学爱好者。书中有大量的应用实例，如用E. Cartan的活动标架方法来研究R3中浸入曲面的局部微分几何以及曲面的内蕴几何。最后一章集中所有来讲述紧曲面Gauss-Bonnet定理的Chern证明。此外，本书每章末都附有练习。本书适用于高年级本科生、研究生和相关科研人员。
目次：Rn中的微分几何；线性代数；微分流形；流形上的积分；曲面的微分几何；Gauss-Bonnet定理和Morse定理。
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《微分几何中的度量结构》是一本学习微分流形和纤维丛的入门书籍。本书从矩阵微分几何的观点出发研究纤维丛，讨论了欧几里得丛、黎曼连通、曲率和Chern-Weil理论，也包括Pontrjagin, Euler, 和Chern 的向量丛特征类，并通过球上的丛详细阐释了这些概念。本书适用于对微分几何、流形以及丛感兴趣的读者。
目次：微分流形；纤维丛；同伦群和球上的丛；连通和曲率；度量结构；特征类。
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《黎曼几何和几何分析 第6版》是一部值得一读的研究生教材。本书内容主要涉及黎曼几何基本定理的研究，如霍奇定理、Rauch比较定理、Lyusternik和Fet定理调和映射的存在性等，书中还有当代数学研究领域中的最热门论题，有些内容则是首次出现在教科书中。本书各章均附有习题。本书适用于数学和理论物理专业的研究生、教师和科研人员。
目次: 基本理论; 德拉姆上同调和调和微分形式；并行传输、联络和共变导数；测地学和雅可比场；对称空间和Kahler流形；莫斯理论和Floer同调；量子场论中的变分问题；调和映射。
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积分几何起源于几何概率和凸面，后来的应用被证明在从纯数学技术到应用原理许多领域都很重要。《积分几何与几何概率》对积分几何理论进行了系统的讲述，也对该领域的重要结果进行了比较全面的介绍。本书可以作为微分几何、李群和概率的补充教程，也可以作为一个参考读物和进入该领域的很好的入门教程。
目次：(一)平面上积分几何：平面上的凸集；平面中的点集和泊松过程；平面中的线集；点对和线对；平面中带形集；平面中的运动群；Poincaré和Blaschke基本公式；图像格子；（二）一般积分几何：微分形式和李群；齐性空间中的测度和密度；仿射群；En中的运动群；（三）En中的积分几何：En中的凸集；线性子空间，凸集和紧流形；En中的运动密度；几何与统计应用；（四）常数曲率空间的积分几何：非欧积分几何；非欧空间的Crofton公式与运动基本公式；积分几何和叶状空间；微分形式和外微积分。
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复几何主要研究复流形。《复几何导论》讨论了代数以及矩阵一些方面的内容。这门学科是代数与微分几何的交叉，在数学领域扮演越来越重要的角色。尤其是近年来弦论的发展使得复几何成为数学家和理论物理学家研究的一个活跃区。本书作者旨在为该学科提供一个容易理解的介绍。书中比较详细的综述了基本概念，也有一些加深理解的练习。各章附录可以对读者了解科研动态的起到指引作用。本书适用于数学专业本科生、研究生和相关的专业人员。
目次：局部理论；复流形；Kähler流形；向量丛；上同调的应用；复结构的形变。
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《曲面几何学》揭示了几何和拓扑之间的相互关系，为广大读者介绍了现代几何的基本概况。书的开始介绍了三种简单的面：欧几里得面、球面和双曲平面。紧接着从拓扑和群论的观点出发，讲述一些欧几里得曲面和球面的分类，较为详细地讨论了一些有双曲曲面。
由于常曲率曲面理论和现代数学有很大的联系，该书是一本理想的学习几何的入门教程，它用最简单易行的方法介绍了曲率、群作用和覆盖面。这些理论融合了许多经典的概念，如复分析、微分几何、拓扑、组合群论和比较热门的分形几何和弦理论。
本书内容自成体系，在预备知识部分包括一些线性代数、微积分、基本群论和基本拓扑。书中不少例子和每章节后面的练习可以帮助读者更好地理解书中知识。本书适用于数学专业的研究生、教师和科研人员。
目次：欧几里得空间；欧几里得曲面；球面；双曲平面；双曲曲面；路径和测地线；平面和球面的嵌图；紧曲面嵌图。
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《物理几何学导论 第3版》主要介绍关于外微分形式、微分几何、代数微分拓扑、李群、向量丛等方面的内容，这些内容是理解经典现代物理和工程的基本前提。本书也呈现了几何概念及其在工程方面的应用。本书可用于自学，适用于物理、工程和数学专业的研究生。
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《自旋几何》系统讲述了自旋流形、自旋场、狄拉克算子等理论，这些理论都在现代数学中扮演越来越重要的角色。书中详细地讲述了Atiyah-Singer指标定理的证明和相关预备知识，帮助读者深层次应用该理论。
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《拓扑学》
《拓扑学》是一本学习拓扑的本科生入门书籍。“点集拓扑”是本书的重点，尤其对非专业人士来说更是十分的重要。本书的讲述方式十分新颖，更为适合初学者学习理解。图表贯穿于本书的始终，这样更有利于培养读者的感性认识，例子则更好帮助读者理解本书的核心基本拓扑问题，这些都是更深入学习拓扑和几何问题的关键。本书适用于数学专业的本科生、研究生和相关专业的教师。
目次：引论；基本概念；拓扑向量空间；商拓扑；矩阵空间完备化；同伦；两个可数性公理；CW-复杂性；拓扑空间上的连续函数结构；覆盖空间；Tychonoff定理；集合理论。
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《基本拓扑学》
（英）M. A. Armstrong书号：9787506283458定价：36元出版时间：2008年1月《基本拓扑学》是一本拓扑学入门书籍，适合作为本科生教程。本书特色:（一）注重培养学生的几何直观能力；（二）对于单纯同调的处理重点比较突出，使主要线索不至于被复杂的细节所掩盖；（三）注重抽象理论与具体应用的保持平衡。本书适用于数学专业高年级本科学生、研究生和相关专业的科技人员、教师等。
目次：导论；连续性；紧性和连通性；同化空间；基础群；三角剖分；面；单纯同调；映射度和Lefschetz 数；结点和复迭空间。
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《普通拓扑学》
（美）John L.Kelley书号：9787506200578定价：69元出版时间：2000年11月《普通拓扑学》一书的作者在泛函分析和拓扑学领域很有成就，著作颇多，有较广泛的影响。本书是根据作者在芝加哥大学、加利福尼亚大学等处讲授拓扑学的讲义编写而成的，是一本优秀的教材。
目次：预备知识；拓扑空间；Moore-Smith收敛；积空间和商空间；嵌入和度量化；紧空间；一致空间；函数空间。
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《微分拓扑学》
（美）M.W.Hirsch书号：9787519255879定价：69元出版时间：2019年3月微分拓扑学有三个主要的研究领域：纤维丛、复流形和微分流形。《微分拓扑学》对应用于微分流形和微分映射研究的拓扑学，对其基本思想作了全面的介绍，书中体现了作者的独特简明风格和独立的观点。取材得当，结构清晰，例题精彩，习题丰富，并尽量不使用代数拓扑的方法而是把几何分析内容提炼成一些数值不变量入手。 本书适用于数学及相关专业的研究生。
目次：流域和映射；函数空间；横割性；向量丛和管状邻；映射度、相交数和欧拉示性数；Morse理论；协边理论；合痕；曲面。
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《流形导论 第2版》
（美）Loring W.Tu书号：9787510084485定价：79元出版时间：2015年1月《流形导论 第2版》一书是《流形导论》的第2版，增加了50来页新材料，许多篇幅都做了更新；简化了证明，增加了新例子和练习。必需的点集拓扑在附录中用25页的篇幅给出，另外的一些附录重述了实分析和线性代数。书中提供了许多练习和问题的提示和解答。流形、光滑曲线和曲面的高维类似物，这些都是现代数学的基本研究对象。
本书直达主题，流形的讲述旨在帮助读者更快地了解这个科目的本质，既可以作为高年级本科生或者研究的一年级课程，又可以用于自学。学完该书读者不仅能够计算至少是简单空间的Rham上同调，同时还能获得进一步学习几何和拓扑所必需的知识和技巧。本书适用于数学专业的高年级本科生、研究生和科研人员。
目次：欧几里得空间；流形；切向空间；李群和李代数；微分形式；积分；Rham理论；附录：点集拓扑；Rn上的逆函数定理和相关结果；一般单位分解的存在性；线性代数；四元数和辛群。
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《光滑流形导论 第2版》
（美）John M. Lee书号：9787510098833定价：115元出版时间：2015年7月《光滑流形导论 第2版》是一本关于光滑流形理论的导论性研究生教材，旨在让学生们熟悉掌握将流形用在数学和科研工作中需要的工具，比如光滑结构、切向量和余向量、向量丛、陷入和嵌入的子流形、张量、微分形式、de Rham上同调、向量场、流量、叶状结构、李导数、李群、李代数等。本书在充分利用现代数学提供的强大的工具的同时，书中尽可能选取了多种图像，采用具体的研究方法，对用几何思维考虑抽象概念进行了直观的讨论。
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《拓扑流形引论 第2版》
（美）John M. Lee书号：9787519276089定价：119元出版时间：2020年7月《拓扑流形引论 第2版》论述了流形理论中所需的拓扑学基本概念，特别是微分几何、代数几何和相关领域。本书适用于相关专业的低年级研究生。
目次：线和曲面；同伦和基本群论；圆和球；群论；Seifert-Van Kampen定理；覆盖空间；覆盖类别；同调。
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《三维流形拓扑学讲义 第2版》
（美）Nikolai Saveliey书号：9787519219208定价：49元出版时间：2007年1月《三维流形拓扑学讲义 第2版》一书主要介绍了低维拓扑和Casson理论，当然也引入了最新的研究进展和课题，包括许多经典材料，如Heegaard分裂、Dehn手术、扭结和连接不变量。本书从Kirby微积分开始，进一步讲述Rohlin定理，直到Casson不变量及其应用，并以简短介绍最新进展作为结束。本书对于熟悉基础代数和微分拓扑，包括基础群、基本同调理论、横截性和流形上的庞加莱对偶性的数学和理论物理专业的读者均可阅读。
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《赛博格—威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》
（美）John W. Morgan书号：9787510070280定价：39元出版时间：2014年3月《赛博格—威顿方程及其在光滑四流形拓扑中的应用》一书是Seiberg-Witten的入门书籍。近年来，光滑四流形Seiberg-Witten不变量的引入是流形研究的革新。不变量的本质是规范理论，这和十五年前Donaldson定义的已经得到深入研究的SU(2)-不变量属同一范畴。实际上，这个新的不变量被证明了更加强大，将早起的研究成果引入到一个更广泛的平台。本书适用于数学专业的高年级本科生、研究生和相关的科研人员。
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