几个月前的一天下午，我去幼儿园接小朋友，却发现三个老师都围着他。我以为发生了什么事情，仔细一看，才发现老师在问他数学题，从一位数加法，到两位数加法，他都能对答如流，最后老师甚至还问了三位数加法，他想了想，也答出来了。
老师们很惊讶，因为德国的幼儿园是“纯玩”，不教任何“正经”东西的，所以即便有些孩子对数字有点概念，也仅限于数数和最简单的加减法而已。遇到一个会三位数加减法的小孩，他们的意外也情有可原。然后她们问我：你们家孩子怎么这么聪明？这么小就把数学学得这么好了？“这个……”，我想了想，要认真解释起来，还真得花一番功夫。正当我犹豫的时候，一位老师给出了答案：“他们是中国来的，中国人的数学就是好呀”，大家都笑了。“中国人的数学就是好吗？”回家的路上，我一直在思考这个问题，因为我之前从来没想过这回事。而且随着见的东西越来越多，我也越来越深刻感觉，许多东西根本与国籍、人种、肤色无关，而只与学习方法、经验有关，数学也是这样。因此，所谓“中国人的数学就是好”，大概是广泛流传的刻板印象——我家小朋友学数学，跟“中国人”关系并不大。下面，我就来现身说法，讲讲他是怎么学数学的。
从零开始学数学，一定是从认识数字和数数开始的，在任何国家、任何文化里，都是如此。而根据现代的心理学研究，人类对于数字的认知，对于简单加减法的了解，基本都没有别的窍门，完全取决于“熟练”程度。换句话说，看到一个数字，认出它是几，这基本靠背。同样，十以内的加减法也是靠背，背到大脑中有一张表，随时可以按图索骥，查表得到结果。所以，小孩学数学的最早的阶段，就是要在不断重复中熟悉数字，熟悉最基本的加减法。这里的关键是“不断重复”，不过，同样是重复，有些办法可以很机械很折磨人，也有些办法可以很快乐很让人着迷。在我小时候，父亲说过一句让我印象深刻的话：“玩也要动脑筋。”在听到那句话之前，我总是把“动脑筋”等同于正襟危坐、一丝不苟的学习，与“玩”是天然绝缘的。在听到那句话之后，我就意识到世界上有无数地方都可以动脑筋，也值得动脑筋，当然也包括“玩”。而且，动脑筋并不总是让人苦恼，反而能带来许多乐趣。所以，自己成为父亲之后，我也秉承着“玩也要动脑筋”的观念，不过做了一点改进：在小朋友玩的时候，我先动脑筋，然后刺激他自己动脑筋。德国许多公司为了拉动销售，都面对儿童做宣传。以不准点知名的德国铁路（DB）也是如此，每几个月就会到幼儿园派发小册子，里面包括火车的知识、好玩的景点，照例也要提供一些纸上的游戏让孩子玩，其中就包括游戏棋盘。说是“棋盘”，其实是一段绕来绕去的路，由许多格子组成，每个格子都有编号，小朋友从起点出发，避开陷阱，找到捷径，有时甚至要避开死胡同，最终抵达终点，就算成功。在幼儿园里，有许多小朋友喜欢用食指指着棋盘比赛，甚至着迷上瘾。发现自己家的小朋友也喜欢玩这个游戏之后，我就动起了脑筋：既然棋盘上每个格子都有编号，而且编号是连续的，不妨拿它们来认识数字。于是我去超市买了几个骰子，用硬币作为每个人的棋子，跟他做游戏。每扔一次骰子，就根据骰子的点数前进几步。这样玩了一个礼拜，他已经可以一眼认出6以下的数字了。此时游戏的玩法可以升级，每次投两个骰子，走的步数是两个骰子的点数之和。在移动棋子之前，先算出来要走的步数，如果算错了则要罚停在原地。玩了差不多两个礼拜，算两个骰子的点数之和对他来说已经如同条件反射了。此时游戏的玩法可以继续升级，把骰子的数量增加到三个。如果能把三个骰子的点数之和都算对，那么20以内的加减法几乎没问题了。然后可以继续升级玩法，移动棋子时不容许按照点数一路数过去，比如当前所在位置的编号是20，点数是6，不能数“一、二、三、四、五、六”一直走到编号26的位置，而是要内心算好，一下子跳到终点。如果孩子能熟练计算20以内的加减法，那么顺理成章地，超过20的加减法也不会是问题。我印象里，我们几乎每天吃完晚饭下几盘棋，前后总共花了不到2个月时间，小朋友就熟练掌握了100以内的简单加法，完全没有任何痛苦的感觉。这正应了那句话，“玩也要动脑筋”，我先动脑筋，再刺激他动脑筋。
说来惭愧，我要到上了大学，才知道“数学不是科学”。数学不是科学，或者更准确地说，数学不是自然科学，因为它虽然有公理、有定律、严格依赖逻辑推演，但数学的概念是抽象的，数学本身是无法观测的，更无法用实验来验证和证伪。这也就意味着，对于高度依赖形象思维的儿童来说，学习数学真的不是一回容易的事情。举例来说，大人或许觉得，“2个苹果+3个苹果=5个苹果”是天经地义的，“2本书+3本书=5本书”也是天经地义的，所以“2+3=5”就是顺理成章的，却忽略了一点：要理解2+3=5，首先必须能把2、3、5这些数字从现实生活的对象中抽象出来，对于幼儿来说，抽象本身就是很大的挑战了。所以，要让幼儿学好数学，形象化的方法无疑更合适。但是成年人往往习惯了抽象的概念化的表达，认为形象化的办法成本高、效率低。所幸，我们遇到了幼儿数学节目：Numberblocks。Numberblocks是英国BBC出品的儿童数学节目，曾经获得过多种奖项。Numberblocks通过符合孩子认知特性的、生动有趣的系列动画，一步步完成孩子的数学启蒙。
第一阶段：介绍最简单的1-5五个数字，认识它们，会计数、比较大小、排序，能完成简单的加减法。这个阶段，每个数字都是不同的角色，有自己鲜明的个性。孩子会像记住动画片里的主人公一样，记住这5个数字。
第二阶段：认识的数字可以扩展到10。知道数字可以结对（number bonds），比如1+9=2+8=3+7。能区分奇数和偶数，认识平方数，认识形状。在这个阶段，同一个数字可以变形为不同的样子，比如8，它一会儿是排成1列的8个小方块，一会儿是2列的4个小方块，一会儿是4列的2个小方块。我见过许多小朋友做题时搞不清楚为什么2*3=3*2，而家长气得七窍生烟，如果孩子看了8的“变形过程”，就一目了然了。另外奇数也很形象，那就是排成两列之后，“头上总还顶着一个格子”（我家小朋友的描述）。8可以是这样的
6可以是这样的
第三阶段：学习数字的更多变体，比如加倍、折半、乘法、除法、因数分解。我以前认为这些计算对学龄前孩子来说太高阶，跟小朋友一起看了Numberblocks才了解，其实根本不是这样。孩子看过36的多种变形（2*18, 3*12, 4*9, 6*6）之后就自然对因数分解有了认识，甚至能理解素数“就是永远只能排成一列的数”。在陪孩子看Numberblocks的时候我经常感叹，原来教学视频还能做得这样妙趣横生，又与生活那么紧密相关。举个例子，49这个平方数（Square）上场是个正方形，无论从哪个方向看，都可以完美对应到七色彩虹。由此催生的孩子的认知远远超过了我作为家长的想象，在这之前，我从来没想过，学龄前孩子不但能认识平方数，还认识立方数。更妙的是，Numberblocks中各个数字的许多发言是儿歌的方式，所以小朋友完全可以跟着唱。不夸张地说，哪怕没有学过英语的孩子，看这部动画也没有任何困难，甚至可以既学数学又学英语。我知道有许多家长会强调让小孩背诵九九口诀表。无可否认，因为中文独具的每个数一个音节的语言特性，乘法口诀表显得尤其规律、高效，这是中文的独特优势。但九九口诀表不等于数学，它是基于纯数字的抽象。在孩子还没有完全从形象思维进入到概念思维的时候，一味强调九九口诀表，往往可能得不偿失。相反，类似Numberblocks这样形象的认知方式，尽管不如九九口诀表整齐，给孩子留下的印象可能更深。我家小朋友在远远还没有熟练九九口诀表的时候，就已经对100以内的平方数（Square）、立方数（Cube）如数家珍。我觉得，这不是坏事。说句题外话，如果你发现自己的孩子很喜欢Numberblocks的动画，那么不妨也去看看Alphablocks，仍然是BBC出品，形式相同，只不过学习的对象是字母和单词。而且这两部动画还有交集，Numberblocks的数字住在一个星球，Alphablocks的字母住在另一个星球，有一天它们相遇了……
我小时候也搞过数学竞赛，还拿过一些奖项。但是等到进大学了发现许多基础的问题我仍然不明白，比如小学就知道的诀窍“能被3（或9）整除的数，各位数字加起来是3（或9）的倍数”，我却不懂为什么，也无法证明。还有圆周率π，它为什么是无理数，而不是有理数？等我搞明白了这些问题才发现，以前的许多“数学知识”无非是诀窍而已，完全不成体系，是散落的碎片。而如果数学知识不成体系，就只能解答特定类型的题目而已，无法把它们融会贯通，也就没法充分发挥它们的价值。我见到有不少家长夸耀自己孩子“数学好”。然而，他们拿出来夸耀的往往是孩子做题有多厉害，竞赛拿了什么奖，却很少看到孩子的头脑展现出真正的数学思想，也很少看到孩子对数学本身有什么兴趣。一个偶然的机会，我遇到了美国著名华人数学家伍鸿熙教授的《数学家讲解小学数学》。我确定，要想让孩子学好数学，这就是我想要找的书。
粗看起来，这本书提到的概念都局限于小学数学。但是仔细阅读就会发现，伍教授为每个概念都做了“寻根”，换句话说，他能描绘出每个概念在数学这个学科体系中的位置，与周边概念的关联。姑且列举让我印象深刻的几个点。伍教授非常强调数轴的作用，“在本书中，关于数的讨论离不开数轴”。我本来没想到数轴这么有用，但仔细看下去才发现他是用心良苦。即便在美国，数学老师也经常用“切比萨”的例子来讲解分数，这就造成孩子无法理解“55英里的2/3”，因为“55英里不可能是一张比萨饼”。如果一开始就强调，分数也是数轴上的一个点，就不会有这种问题。那么，分数为什么是数轴上的一个点，而不是一条线段呢？在本书中，伍教授也给出了详细的解释。反正我看完是相当服气，也知道以后给小孩讲解分数时，既不要用“比萨饼”也不要用“线段”，正本清源，以绝后患。那么，教幼儿数学，纠结这些细节有用吗？以我的经验，还真有用。我家小朋友学加法时，一度总是被“空白”困扰。24+57=81，这对他来说没有问题，因为对位加法，每一位都可以对上，有进位也不难理解。但是124+57就让他困惑不已，因为57没有百位，不知道1怎么和空白相加。等我看了伍教授书中关于计数法的章节才恍然大悟，原来从一开始就可以告诉孩子，57可以念作“五十七”，也可以念作“零百五十七”，甚至可以念作“零千零百五十七”……换句话说，之前的各位都是0，只是为了书写方便把它们省略了而已。在需要的时候，我们可以随时让它们现形。故而，124+57其实就是124+057，如此一来，对位加法就顺理成章了。实际上，这也是我最推荐的《数学家讲解小学数学》的使用方式，就是家长先仔细阅读这本书，搞懂其中的概念，积累自己的知识储备。在与孩子交流的时候，家长“按需输出”就好，既保证概念符合孩子当前的认知水平，又树立正确的观念，为将来更高级的认知埋下伏笔。
回到本文开始的故事。在回家的路上，我问小朋友，“老师怎么发现你会算数的？”他腼腆一笑说：“老师今天清点人数，两个班，每个班有多少人，大家一起吃饭要准备多少碟子，我平时玩骰子游戏习惯了，听到就帮她算出来，她就发现了。”所以至少在我家，数学学得好和是哪国人，其实没有必然关系。