（加餐）欧拉角及矩阵旋转

(1 本文约2000字，大约需要阅读20分钟)

(2 本文适合有一定雷达及信号与系统知识基础的读者)

乡亲们大家好，今天的这期内容就像有钱人的生活，比较枯燥，不过能完整读下来也确能有所收获，本文是分析微多普勒的数学基础，或者说研究微多普勒的必备数学工具，为后续聊微多普勒做铺垫，也是就是（如何做好一款4D 高分辨毫米波雷达）中的Micro Doppler部分，咱们开始。

Preliminaries

刚体是指在运动中受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。刚体是理想模型，合理的理想化模型有助于简化复杂系统分析。分析刚体运动是后续非刚体运动分析的基础，这是因为可以将人体等非刚体运动视作一系列刚体运动的组合，从而简化人体等微多普勒特征分析。一般的，刚体的运动可以表述为平移和旋转的组合。

为了描述刚体运动，需要引入局部坐标系（xyz）和全局坐标系（XYZ），如图1所示。其中距离向量R义为全局坐标系原点指向局部坐标系原点的有向向量。一般局部坐标系的原点定义为刚体的质量中心（重心）。

Fig 1 Two coordinate systems: the global system (X, Y, Z) and the local system (x, y, z) used to describe the motion of an object.

一般对于传统低分辨毫米波雷达，目标通常建模为点目标，因而其速度为:

该速度一般是目标的平移速度，表征目标的宏观运动。传统毫米波雷达一般不分析微多普勒运动，主要原因是宏观运动并不表达目标微观运动结构信息；而对于高分辨雷达，目标通常建模为扩展目标，也就是

（表示为目标散射点集合（粒子集）），令rk坐标系下任意粒子P的位置。该粒子相对于全局坐标系的位置（如图1所示）为R+rk度为，

V由表征平移运动（宏观运动）的速度，的是扩展目标中各粒子的局部运动（微观运动），表示叉乘（不是乘法），这些微观运动正是目标微多普勒形成原因。为后续分析方便，令

也就是说目标的在全局坐标系的宏观运动由多普勒效应描述；而同一目标在局部坐标系中的微观运动由微多普勒效应（Micro-Doppler Effect）描述。我们进一步分析Vmicrodoppler结构，也就需要引入欧拉角（Euler Angles）

Euler Angles

刚体运动中，绕某个轴的旋转运动由旋转轴及旋转角度确定，并且角速度与旋转轴同向。(In a rigid body, the rotation about an axis can be described by the rotation axis and the rotation angle using a vector of angular velocity. The direction of the vector is along the rotation axis.)

Fig 2 Rotation Illustration

旋转的三个角度定义为欧拉角，给定一组旋转次序，欧拉角是描述改组次序下旋转（内旋）的有利工具。一个典型的旋转例子如图3所示，变换步骤为Step1，Step2,，Step3。

Fig 3 Euler angles commonly used to represent three successive rotations

假设boresight是x轴，对于旋转次序存在一些惯例，比如roll-pitch-yaw  convention，也就是旋转轴依次是x轴，y轴，z轴。对于给定的旋转次序，结合三个旋转角度，就可以得到旋转矩阵，该矩阵是计算刚体旋转的有利工具。对于roll-pitch-yaw or x-y-z sequence，第1步是以x轴 x=[1 0 0]为旋转轴旋转，相应的旋转矩阵为

第2步是以y轴为旋转轴旋转theta，相应的旋转矩阵为

第3步是以z轴为旋转轴psi，相应的旋转矩阵为

因此，roll-pitch-yawconvention 条件下的rotation matrix为

结合的分析，我们进一步提炼变换矩阵所具有的一般性特征，

对于构建，需要满足的一般条件为

这意味着旋转矩阵的三个列向量是正交的（orthonormal）

Discussions

1)     欧拉角及其rotation matrix应用举例（抛砖引玉）

1 是坐标系不动，目标点旋转（微多普勒分析）

如前所述，刚体旋转运动（先不考虑其他运动，且局部坐标系与全局坐标系共原点），那么刚体上任意位置处的粒子k的由于旋转运动时刻t的位置为  为t-1时刻粒子k的位置。

2 全局坐标系不动 ，局部坐标系旋转（即旋转坐标系）（RCS分析，车辆坐标系转换）

Fig 坐标系旋转变换

2) 对于1，我们思考旋转坐标系的原点在固定坐标系的速度向量（矢量）怎么求，本质上就是旋转角速度叉乘原点坐标，；另一方面，由于计算速度向量也可以理解为矩阵变换，也就是，本质上就是将矩阵化为，从而将叉乘转化为点积，我们进一步来考察矩阵的结构，它其实具有反对称矩阵结构，这个以后会聊。

3) 与欧拉角的关系，可以这么理解，也可以表示为关于三个坐标轴的三个变换（旋转）矩阵之积，而旋转矩阵又是欧拉角的函数。

References

[1] Chen, Victor C. The Micro-dopplereffect in radar[M]. Artech House, 2011.

                                                                                      【本文图片来自公开技术资料】

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