清华笔记：计算共形几何讲义 （6）上同调的霍奇理论

【上课时间：每周二和周四上午9:50-11:20AM；地点：清华大学，近春园西楼三楼报告厅。】

这次课程，我们介绍霍奇分解定理，这一定理在图形学、视觉和网络中，应用非常广泛。直观而言，我们考察曲面上的切向量场，如果这个向量场光滑得无以复加，那么这个向量场被称为是调和场（harmonic field）。霍奇分解定理是说曲面上任意一个光滑切向量场，可以被唯一地分解为三个向量场：梯度场、散度场和调和场。霍奇分解经常被用于光滑化一个矢量场，将一个不可积矢量场变得可积。本次视频链接在【1】中可以找到。

图1. 曲面调和1-形式群的基底。

在几何应用中，很多时候我们需要在一类对象中选择一个代表元。在最为理想的情况下，代表元是唯一的。比如我们考察曲面的同伦群，每一个同伦类中有无穷多条闭合曲线，我们可以选择最短的测地线。如果曲面的曲率处处为负，则每一个同伦类中有唯一的一条测地线。但是，如果曲面配有一般的度量，同伦类中的测地线可能有多条。de Rham上同调群中的调和形式就像测地线一样，成为同一上同调类的唯一代表。

从更高的观点来看，调和形式是流形上椭圆型偏微分方程的解，其解空间的维数（同调群的维数）由流形的拓扑所决定。这正是指标定理的精髓。指标定理联结了分析（偏微分方程）和拓扑（上同调群）。

物理解释

曲面上所有无旋无散矢量场成群，此群和曲面的上同调群同构，这就是所谓的霍奇(Hodge)理论。

图2. 平面区域上的电场。

曲面上的无旋无散场（旋度为0，散度为0的场）的现实世界模型就是静电场，也可以理解为曲面上光滑得无法再光滑的矢量场。详细解释，请参考【2】。

平面静电场 如图2所示，假设是平面区域，具有边界

其中是外边界，是内边界。我们在上设置电场，电势函数为，电势在上为0，在上为1。带电粒子在电场中的每一点都受到电场力，带电粒子在电场中的自由运动轨迹是蓝色轨道，被称为是电力线。图中红色轨道是等势线。平面区域上的电场强度是平面上的光滑矢量场，，分量表示

假设是平面区域上的一条路径，带电粒子沿着路径移动，电场对于粒子做功，总功为

假如是一条环路，围绕，D是点p的邻域，那么我们可以引进旋量的概念，

。

这里直接计算得到

。

根据Stokes定理，场强沿着一条封闭曲线做功

。

在电场情形，电场强度是电势函数的梯度，，电场沿着路径做功

，

因此，电场强度沿着任意封闭曲线做功都为0，电场强度的旋量处处为0，。

矢量场电场强度的散度定义为无穷小面元的净流入量，

直接计算得到

根据高斯通量定理，对于任意，电通量

等于D的内部净电荷，因为内部净电荷为0，所以电场强度的散度处处为0，。由此，平面区域上的电场强度矢量场是无旋场和无散场，我们称这种矢量场为调和场。

那么，曲面上的静电场又该如何描述？

调和微分形式

曲面静电场 调和场的概念可以推广到曲面上，如图3所示，红色轨道表示等势线，蓝色轨道表示电力线。曲面上的电场强度切矢量场为无旋无散的调和场。

图3. 亏格为二的曲面上的调和矢量场。

图4显示的是另外一个调和切矢量场，同样无旋无散。

图4. 亏格为二的曲面上的调和矢量场。

外微分算子

上面我们讨论的场论中的微分算子，比如梯度，旋度和散度，可以被外微分所统一。k阶外微分算子将一个k-形式变成一个(k+1)-形式。

对于0-形式，，就是函数的全微分，

，

对于1-形式，，就是对于矢量场的旋度，

对于2-形式 ，在曲面上 为0。

Hodge星算子

如图1左帧所示，任意带度量的可定向曲面局部存在等温坐标，

则曲面的面积元为

，

给定两个1-形式，，，则其内积为

，

我们可以定义Hodge星算子，，

，

由此我们得到在等温坐标下，我们有简单的规则

从而得到

。

同时，

。

Hodge星算子可以直观理解如下：令切矢量和微分1-形式对偶，和对偶，那么

，

这里是曲面在p点的法向量，即是由旋转得到。

由Hodge星算子，我们可以定义微分形式间的另外一种内积，

，

由此我们得到codifferential算子，，它是外微分算子关于内积的共轭算子，

，

更为直接的

，

那么codifferential算子的物理意义就是散度。

调和微分形式

调和微分形式的物理意义就是无旋无散场，调和，则

。

上式给出了调和场的椭圆型偏微分方程。

那么，自然的问题就是：调和形式存在吗？如果存在，解唯一吗？如果不唯一，那么所有的解空间的维数如何？所有解构成的群结构如何？Hodge理论给出了所有这些问题的解答：所有的调和k-形式构成群，调和k-形式群和流形的k阶上同调群同构。

图5. 女孩曲面上的调和1-形式。

霍奇（Hodge）理论

Hodge理论本质是说：每一个上同调类中有且仅有一个调和微分形式。这个定理有两层意思，一是存在性，二是唯一性。

我们首先证明唯一性。假设是一个亏格为的封闭曲面，是其一维同调群的生成元。假设是上同调等价的调和1-形式，这意味着

。

由外微分算子和余微分算子的线性性质，我们有

，

所以是调和1-形式。同时，

，

因此是恰当的调和1-形式，存在调和函数，使得

。

由调和函数的极大值定理，f的极值取在曲面S的边界，但是S是封闭曲面，边界为空，因此函数f没有极值，必为常数。由此，，调和形式的唯一性得证。

然后，我们证明调和形式的存在性。假设是闭的1-形式，是一个光滑函数，那么和上同调等价。我们求解方程，这等价于求解曲面上的Poisson方程：

，

根据椭圆型PDE理论，Poisson方程解存在，并且彼此相差一个常数，因此唯一，是唯一的和上同调等价的调和形式。存在性得证。全体调和微分k-形式在加法下成群，记为。

给定任意一个微分k-形式，Hodge分解定理是说微分形式可以被唯一地分解成三个微分形式：恰当形式，余恰当形式和调和形式： 和调和k-形式， 使得

。

我们利用微分形式间的内积：

。

首先， ，这是因为：

同时，这是因为如果 ，那么

 。

如果，那么

，。

所以，

。

同样可证，如果，则

因此

，

我们得到：

，

。

高阶调和形式的存在性和唯一性证明方法非常类似。

图6. 对偶剖分。

离散霍奇理论

出于计算的目的，我们需要将经典光滑流形的霍奇理论离散化。假设光滑曲面被一个单纯复形所近似，单纯复形嵌入在三维欧氏空间之中，因而具有诱导的欧氏度量，我们称之为带度量的离散曲面。我们构造顶点的Voronoi图（Voronoi Diagram）， 记为。对任意顶点，其对应的Voronoi胞腔为：

，

Voronoi Diagram 构成离散曲面的一个胞腔分解，记成。我们称为对偶复形。显然，的每个顶点，边和面分别对偶于的面，边和顶点，如图6所示。

图7. 每条边和其对偶的长度之比。

更进一步，如图7所示，我们计算对偶边长之比。假设两个面交于一条边，。每个面的对偶顶点为对应的外接圆圆心，分别为的外心。那么的连线为边的对偶。由此，我们得到对偶边的长度之比为：

。

给定一个1-形式 ，它的Hodge Star是定义在对偶复形上的1-形式，，满足如下的对偶公式：

。

那么，是调和的1-形式，当且仅当如下条件被满足：

离散曲面的调和1-形式群的基底计算方法如下：

1. 计算的下同调群基底；

2. 计算的上同调群基底，;

3. 求解离散泊松方程，；

4. 调和形式的基底为 。
   

离散泊松方程为对称正定稀疏线性系统，我们用共轭梯度方法可以求解。

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References:

【1】http://m.iqiyi.com/w_19rtoay4k9.html#vfrm=8-8-u-1

【2】苏变萍，陈东立，《复变函数与积分变换》，高等教育出版社。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。回复“目录”，可以浏览往期精华。