哈德逊河畔的午餐

图1. 张益唐和张首晟在Pisticci 意大利餐馆讨论科学。（10/07/2017午）

2017年十月七日，旅美华人科技协会第25届年会在纽约哥伦比亚大学国际中心召开。大会邀请了国际顶级科学家：张益唐，张首晟和谢晓亮。老顾有幸和这几位学界泰斗，华人之光共进午餐。

张益唐先生精神矍铄，目光澄澈；张太太雍容典雅，仪态万方。张首晟先生潇洒倜傥，玉树临风。席间，张首晟向张益唐请教黎曼猜测，费马定理等数论问题。大家非常好奇地问张益唐先生目前的探索进程，张益唐先生面色凝重地承认有一些相关突破。老顾向张首晟先生请教拓扑绝缘体理论和陈省身示性类的联系，张首晟先生言简意赅、一针见血地总结了理论框架。张首晟先生总结数十年的科学研究心得：“有两种做学问的模式：一种是观察大自然，建立优美的理论框架；另一种是从深刻的数学理论中体验强烈的审美，然后将这些理论用于自然物理现象的解释和预测。”张首晟先生称自己倾向于后一种研究模式。张首晟先生问张益唐先生：“计算机科学中对于问题的难度有一些衡量标准，例如P和NP，数学中对于猜想的难度是否有类似的衡量标准？”张益唐先生回答说：“数学的证明很难说。例如Bieberbach问题，前人花费了无数心血，只能证明一个又一个的特例，问题似乎困难无比；但是一下子就解决了所有的情形，初始的证明非常艰深冗长，后来他简化了证明，只有十几页。证明非常初等，初学者页能够读懂。”随后张益唐先生详细解释了Bieberbach猜想。张益唐先生话引起了老顾的深思，因为Bieberbach猜想总结了共形几何中一个极为神秘的现象：“几何极值蕴含系数极值，更为具体的就是共形映射带来畸变最大时，对应的解析函数幂级数的系数的模取到极值。”

数学发展的一个脉络就是将纷繁杂乱的现象进行简化归类，为每一类建立标准型，这些标准型的存在性定理往往成为数学中最为深刻而根本的基石，存在性证明往往具有本质性的困难。共形几何的历史发展就是绝好的一个例证。

共形等价标准型

在黎曼面和微分几何充分发展之前，人们主要集中研究平面区域之间的保角变换，所用的数学工具主要是复分析。首先，我们对平面区域进行拓扑分类，如果区域中所有的圈都能够缩成一个点，那么区域是单连通的；如果区域中的某些圈无法在区域中缩成点，则区域是多连通的。

图2. 单连通黎曼面单值化定理。

然后，我们对平面区域进行共形分类。如果两个区域之间存在保角变换，则这两个区域彼此共形等价。根据单值化定理，单连通的区域共有三个共形等价类，这些类中的标准型分别是：单位球面，整个复平面和平面中的单位圆盘。如图所示，小女孩模型是亏格为0的封闭黎曼面，其共形等价于单位球面；小猫曲面是亏格为1的黎曼面，其万有覆盖空间是单连通的黎曼面，共形等价于整个复平面；亏格大于1的曲面的万有覆盖曲面也是单连通的，却共形等价于单位圆盘。

图3.黎曼映照定理。

多联通区域等价于整个平面去掉一些平行的狭缝，或者整个平面去掉一些标准圆盘，如图4、图5所示。这些标准型穷尽了几乎所有可能的黎曼面情形。但是，证明这些标准型的存在性和唯一性却经历了漫长而艰辛的历程，而Bieberbach猜想在这一历程中起到了至关重要的作用。

图4.狭缝映射。

图5. 圆域标准型。

共形标准型的证明

这些共形等价标准型存在性证明都遵循一致的数学手法：首先构造一族共形变换，满足一定条件；然后，将这些共形变换用单叶全纯函数来表示，并进一步转换成幂级数形式；证明这一函数族是正规函数族（normal family），因此所有序列存在收敛子列；构造函数序列，使得某个系数的模达到极值。证明这一系列的极限函数（共形映射）使得某种几何畸变达到极致，其值域是某一标准型，因此就是所求映射。

我们首先证明黎曼映照（如图3所示），存在共形变换将单连通区域映到单位圆盘上。令为单叶解析函数，定义域为单位圆盘内单连通区域，值域也在单位圆盘内，保持原点不动；则映射的级数表示为

,

所有这种解析函数构造一个非空的正规族，记为。我们极大化第一个系数的模，那么由函数族的正规性，我们知道极限函数存在，并且也是单叶解析函数。令人惊异的是，这个极限函数将像集也极大化，填满了正规单位圆盘。亦即，极限映射为所求之黎曼映照。

图6. 希尔伯特定理。

我们再来考虑多连通区域情况，来证明图6所示的希尔伯特定理：每个孔洞被共形映射成水平狭缝。令平面多联通区域为，单位圆盘包含在的补集里，，共形映射保持无穷远点不动，并且在无穷远点的导数为1，。所有这种解析函数具有洛朗级数表示：

,

 这些函数构成一个正规函数族，记为。我们极大化的实部，那么极值映射使得的补集的像面积为0，就是所求的狭缝映射。

更进一步，共形映射所带来的几何畸变可以由级数系数来估计。假如解析函数属于正规族，那么Growall发现单位圆补集的像的面积为

,

由此，我们得到估计。一旦等号成立，则单位圆盘补集的像填满整个复平面。

Bieberbach 猜想

所有定义在单位圆盘上的单叶解析函数，，满足归一化条件：保持原点不动，；原点处导数为1，，函数的级数表示为

。

所有这种函数构成的函数族记为。Bieberbach猜测对于任意一个函数，都有。Beiberbach于1916年证明了；Lowner于1923年证明了；Garabedian和Schiffer于1955年证明了，于1972年证明了；Pederson（1968）和Ozawa（1969）证明了；突然间，de Branges于1985年证明了任意的。

在极值情形， 被称为是Koebe函数。Koebe函数将单位圆盘映满整个复平面减去一条射线，将单位圆外映成这条射线。Koebe证明了所谓的1/4定理，即任意函数，那么单位圆的像包含一个半径为1/4的小圆盘，。Koebe函数使得这个结论到达极值。又一次，我们看到平面共形映射的几何极值条件蕴含级数系数模的极值条件。

哈德逊河畔的展望

旷世高手间的一颦一笑，轻描淡写的一句话后面竟然隐藏着如此深邃隽永的理论和惊涛骇浪般的历史，这令在座的所有人都连声赞叹，感喟不已。谈话间，高潮迭起，余音绕梁。

席间，大家共同探讨了许多科技的进展。老顾问张首晟拓扑绝缘体是否已经达到商业化，是否会最终拯救摩尔定律，张首晟教授认为拓扑绝缘体尚未达到工业化程度，但极有潜力取代目前硅基材料；张首晟教授和张益唐教授探讨椭圆曲线和模形式的关系，以及椭圆曲线加密方法的应用；方彤博士问张首晟教授关于量子纠缠的工业应用前景，张首晟教授认为量子计算非常有望颠覆整个计算机工业。方彤博士又问张益唐教授：做数学研究是否一如做游戏？张益唐先生双目含笑，喜不自胜地连声答道：就像游戏一样有趣！

张首晟教授单刀直入地问老顾：“你演讲的核心思想究竟是什么？”老顾思虑再三，只能回答：“用透明的几何定理来阐述和取代机器学习的黑箱。”

多少年后，或许依然有人记得2017年初秋，赫逊河畔的午餐。那一日，几位华人学界、科技界翘楚恣肆汪洋，天马行空，谈论了黎曼猜测，量子纠缠，基因编辑，拓扑绝缘体，量子计算机，天使粒子。历史的进程是否会依照他们的预想而发展，一切只有留待时间去验证。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

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