求学专业的选择：数学 vs. 计算机？一个开放问题的启迪
最近，笔者的很多老同学、老朋友向笔者咨询孩子求学选专业的问题。笔者一直在计算机系和数学系从事教学和科研工作，对此一直有自己的观点：本科期间尽量多地学习基础数学理论，研究生期间再根据志趣选择计算机或者数学。这两个方向具有迥然不同的价值观念、知识结构和技能体系，更有不同的社会需求和职业道路。数学以追求自然真理为目的，具有强烈的美学价值和超越世俗的出世倾向。任何青少年，如果能够领悟音乐的魅力，会自然而然地追求数学的境界。但是现实的障碍在于数学需要在求学关键时期遇到优秀的老师，融入到浓厚的数学文化氛围之中，迅速建立抽象思维能力，领悟现代数学的思想和方法。计算机以实现算法、改善物质世界为目的，具有强烈的的入世倾向。相对于数学，计算机的能力更加容易自学并且通过实践进行修炼提高。计算机能力归根到底是将思想转化成算法，到了高级阶段之后，计算机能力的瓶颈在于基础数学能力。与数学能力的培养相类似，计算机能力的培养也需要多年的实践磨练。这样就产生了一个矛盾，大学本科低年级应该偏重数学还是计算机？笔者倾向于数学，因为数学能力的智力开发更需要“童子功”，对于年龄要求更加严苛一些。计算机能力的培养可以推迟一些。
下面是笔者亲身经历的一个例子，这个例子可以解释计算机和数学方向的异同，或许对于孩子的专业方向选择有些参考作用。
近期元宇宙（metaverse）、数字孪生（digital twin）的概念持续升温，虚幻引擎（Ureal 5）的Nanite虚拟几何技术日益引发关注，3D技术似乎又一次回到时代舞台中央。
图0. 人脸曲面的拓扑四边形网格（与封面，by Andor Kollar）.
在计算机中，3D曲面和实体的表达主要归结为三角剖分和样条表示，后者归结为曲面的四边形剖分和实体的六面体剖分。计算几何体剖分的过程被称为是网格生成。虽然现代的影视动漫、医学图像、机械工业都是基于这些几何表达，每天全世界数十万、数百万的工程技术人员都在处理这些几何数据，但是网格生成依然是一门“艺术”，而非一门“技术”，其理论基础远未成熟。特别是在实体网格生成领域，三角剖分的主要算法是基于Delaunay Refinement，其理论基础是盖尔方德的Secondary Polytope理论；实体六面体网格生成虽然有各种基于经验的算法，其基础理论基本上是一片尚未开发的宝藏。
图1. 斯坦福兔子曲面的四边形网格剖分。
其实曲面四边形网格生成的情况也是非常相近。无论是在动漫领域，还是在工业设计领域，网格生成都强烈依赖于大量的手工操作，无法自动生成。而手工生成高质量的四边形网格，成为建模师的核心竞争力之一。
在1970年代，汽车工业刚刚兴起，法国雷诺汽车的工程师贝塞尔发明了贝塞尔样条曲面，成为3D技术的发轫。构造样条曲面的前提是曲面的四边形网格剖分。如图1所示。每个面是一个四边形，与每个顶点相连的边数被称为是顶点的度（degree）。度为4的顶点被称为是正常点，反之被称为奇异点。通过大量的手工实践，工程技术人员很快认识到这一问题的复杂性。早在1973年，人们就提出了下面的开放问题（Open Problem）：
问题1：在亏格为1可定向的封闭曲面上（例如轮胎表面），可否构造一个四边形网格，只有两个奇异顶点，一个度为3，另一个度为5？
如图2所示，小猫曲面的亏格为1，我们可以进行各种四边形剖分，但是无论如何，我们无法得到只有两个奇异点、度分别为3和5的四边形网格。这个问题小学生都会理解，但是在长达半个世纪的时间里，这一问题一直没有令人满意的回答。这再度验证了爱因斯坦的名言：
我们无法在创造问题的意识维度上去解决问题，因为正是原有的意识创造了你当下的问题。当你需要解决问题时，必须来到一个新的意识维度。
图2. 小猫模型的四边形网格剖分。
首先，如果我们从拓扑角度考虑，假如问题1中的四边形网格存在，它并不违背欧拉公式，因此无法从拓扑角度加以否认；如果我们从黎曼几何角度考虑，假设每个四边形都是标准单位正方形，这样得到一个黎曼度量，由此诱导了顶点处的高斯曲率（测度），这一曲率测度满足高斯-博纳定理；用曲面Ricci流理论，我们的确可以证明满足这样曲率条件的黎曼度量的存在性。其实，这一问题的本质在于共形几何。
我们的证明主要有两大步骤：
如果问题1中的四边形网格存在，则我们可以在曲面上构造一个亚纯函数，只有一个极点和一个零点； 亏格为1可定向封闭曲面上，不存在亚纯函数，只有一个极点和一个零点。
由此，用反证法，可以推出问题1中的四边形网格实际上并不存在。
这里第二步骤的证明比较初等，并且有两种证明方法，第一种比较简单，但是不容易推广；第二种比较复杂，但是可以直接推广到任意亏格的曲面。我们先讨论第一种证明：假设问题中的曲面有一个黎曼度量，这样曲面上任取一点，我们可以找到一个邻域，和该邻域的一个参数化，使得黎曼度量可以写为：
这里被称为是等温坐标。曲面的所有等温坐标卡构成了曲面的共形图册，因此曲面是一个黎曼面。从几何上看，黎曼面上的一个亚纯函数是从黎曼面到单位球面（看成是复平面加上）的一个保角（全纯）映射。全纯映射都是保定向的分支覆盖映射。如果亚纯函数只有一个极点和零点，则分支覆盖映射的度为一，即此全纯映射将黎曼面包裹在单位球面上，并且只包裹了一层。由此，这一全纯映射为微分同胚。但是，我们知道，亏格为一的曲面和亏格为零的曲面之间不存在同胚。假设错误，这样的亚纯函数并不存在。第二种证明更加初等，但是比较通用。首先，根据曲面拓扑定理，亏格为1的封闭曲面存在万有覆盖空间，是投影映射。由单值化定理，我们存在一个黎曼度量使得曲面上的高斯曲率处处为。可以提升到万有覆盖空间上，使得是欧氏平面。这时，曲面为平环，可以表示为
这里是格给定亚纯函数，我们构造一个映射, ，定义如下：对于球面上的任意一点，
即的所有原像之和在平环上的位置。由拓扑原理，曲面间的映射可以被提升为它们的万有覆盖空间之间的映射，即得到原来初始映射的一个“升腾”。球面的万有覆盖空间就是其本身，平环的万有覆盖空间是复平面，我们记升腾为，满足条件：我们知道，将整个球面映到一个平环上，因此的像是有界的。由复变函数中的刘维尔定理，定义在复平面上的有界全纯函数必为常数。因此为常值映射，也为常值映射。这意味着，如此得到平环上的Abel定理：在平环上，任意一个亚纯函数的零点之和减去所有极点之和为零。如果只有一个零点和一个极点，则它们彼此重合。即一个点同时既是零点又是极点，矛盾。因此假设错误，单零点、极点的亚纯函数不存在。这个证明可以被推广到任意亏格的黎曼面上，这时我们在黎曼面上找到一族全纯微分的基底，为周期矩阵。我们定义为Jacobi簇。任选基点，对于任意一点，任选一条连接基点的路径，计算积分
如此我们将点映到中的一点。应用上面同样的证明如下的Abel定理：黎曼面上的任意一个亚纯函数，在Jacobi簇中，其零点之和减去极点之和等于零。而Abel-Jacobi理论正是曲面四边形网格生成的理论基础：四边形网格的奇异点满足Abel-Jaocbi条件。现在，我们再来看第一步的证明，这一步的困难主要是概念上的，我们需要用到亚纯微分的概念，而微分形式的概念是初学者必然遇到的一个难关。形式上，假定我们有一个四边形网格，每个面都是平面标准单位正方形。我们用一个共形图册来覆盖：每个面，边和顶点都用一个局部坐标系来覆盖，面和边的局部坐标之间的变换为平面刚体变换，正常顶点局部坐标和相邻的边与面的局部坐标变换都是刚体变换。这里的刚体变换涉及到旋转，。如果一个顶点的度为，则局部坐标变换涉及到分数幂次变换。我们在每一个局部坐标卡上定义全纯微分形式。假如相邻的面与边的局部坐标变换满足，则，我们看到在刚体变换下不被保持，因此不是全局定义的。但是我们有。我们再考察奇异点的局部坐标，我们有，如此。这表明，是全局定义的亚纯四次微分，四边形网格度为的奇异顶点是微分的极点，度为的奇异顶点是微分的零点。在平环上，亚纯四次微分具有全局表示，这里的就是由四边形网格所诱导的亚纯函数。
从形式上看，这里的证明非常直截了当，但是所用的概念远非初等，真正的难点在于看出貌似初等的问题本质上等价于Abel-Jacobi理论。这一点可以如下阐释：在曲面的一个邻域内建立四边形网格是非常容易的，困难在于将局部的网格拼接成整体的网格。这种从局部到整体的困难，一般都用障碍类理论来描述，即某种丛的示性类。Abel-Jacobi理论的现代推广就是黎曼面上全纯线丛的示性类理论。
类似的问题可以推广到实体的六面体网格生成领域。笔者倾向于认为，推广问题必须用到深刻的3-流形拓扑理论。我们期待在不久的将来，年轻一代能够将这一问题彻底解决。
从上面的例子，我们可以看出，虽然现代工业无时无刻不依赖于曲面四边形网格生成的技术，但是工业界并没有深究其理论基础，实用主义一直占据主流。而在学术领域，人们一直对于其基础理论的不完善而耿耿于怀，并不满足于短期的经济利益，而是追求长久的文化价值。
虽然这一开放问题是被工程师所提出的，但是其最终的解决所需要的概念和方法完全超越目前大学中工程领域的知识体系。绝大多数的工程师应该都意识到这个基本问题，并且深入思考过。或者因为谋生的压力，或者因为知识结构的问题，一直没有真正将其解决。学术界有更多的时间用于深入的思考，可以不羁绊于谋生的压力，当然也获得更多的精神享受。
如果孩子具有更深层次的精神追求，更加注重思想的深度，独立的学术品味，可以鼓励向基础科学方向发展。如果孩子更具雄心壮志通过实业改变世界，可以更加倾向计算机方向发展。现代社会，价值多元，各个领域都需要年轻人的才华和激情！
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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。