谈谈跨音速面积率和超音速面积率
1. 引言
2. 跨音速面积率和理查德•惠特科姆
二次世界大战以后，许多飞机开始改成使用喷气发动机作为动力来源，但是它们的速度都在马赫数1以下，因为它们遇到同样的问题，就是音障。这里，马赫数是飞机速度与音速的比值。在二战结束以前，飞机的速度都是亚音速的，即马赫数小于。1947年10月14日，NACA（NASA的前身）试飞员查克•叶格（Charles E. "Chuck" Yeager, 1923-）驾驶X-1飞机飞出了1.06马赫的速度，这是人类第一次实现了超音速飞行。但为了克服音障造成的巨大阻力，引擎在5分钟内就消耗掉了全部燃料。显然，这次成功虽然是一次里程碑，但还不能算是一次真正意义上的超音速飞行。人们必须寻找一个技术上的突破口。即使到了1950年代，美国空军的YF-102使用了三角翼，依然无法突破音障。
问题的症结到底在哪里呢？这个任
务就落在了NACA兰利航空实验室研究人员的手里。兰利实验室的空气动力学家理查德•惠特科姆（Richard T. Whitcomb, 1921-2009）就是这个团队中的一员。惠特科姆出生在芝加哥市郊区的埃文斯顿市。他的父亲是第一次世界大战期间的热气球驾驶员，也是一名机械工程师。后来父亲找到了新的工作，就把一家搬到了马萨诸塞州的伍斯特市。所以他是在马萨诸塞州长大的。惠特科姆从小就着迷于飞机。他自己制作模型飞机，努力提高飞行效率并参加比赛。1943年，他在伍斯特理工学院获得航空工程学的本科学士学位，然后开始了他在NACA兰利航空实验室的研究生涯。
在这里，我们还需要介绍另一位重要人物阿道夫•布士曼（Adolf Busemann, 1901-1986）。此人是纳粹时期德国的一名空气动力学的先驱。他提出的后掠翼概念引发了飞机设计革命。他后来研究的三角翼设计就是我们在航天飞机上所看到的那种。1947年，布士曼移民美国，也成为了兰利中心的一员。
那个时候人们还没有理论支持这项研究，也没有用计算机模拟飞机的条件。飞机设计全是靠人员的直觉、经验和风洞试验。在亚音速飞行中，来自机身和机翼厚度的压阻可以忽略，只要其形状足够具有流线型，这样可以避免气流的分离。从已有的经验人们已经认识到，在接近音速后，阻力变得对机体的形状和排列特别敏感。尽管如此，人们还是找到了一些能在大范围里消除阻力的机体布局。这方面的例子有后掠翼和布士曼的双翼飞机。
惠特科姆使用了8英尺高速风洞观察了飞机模型在速度0.95马赫以下的飞行状况。我们可以通过纹影法（Schlieren photography）在实验室里看到冲击波。他惊讶地发现，在0.7马赫的速度时冲击波就可能开始形成，而后造成的阻力迅速增加。从理论上讲，在高亚音速时，气流的局部在机身和机翼附近理查德•惠特科姆会加速到声速，即接近马赫数1。对不同的飞机来说，开始出现这种情况的速度是不同的。我们把这时候的马赫数叫作临界马赫数（critical Mach number）。为了减少在达到临界马赫数之后的新的阻力，人们通常是让机身的截面积变化尽可能地满足气动的流线型要求。那么如何进一步减少冲击波所造成的阻力呢？
惠特科姆先是用一个没有机翼的机身做测试，他发现气流是非常完美的；但当他加上机翼后，空气的碰撞就产生了令人难以置信的阻力。他又做了一个测试，这一次他把机翼去掉，同时让相应部位的机身增厚以使得其截面积等同于原来的机身加机翼的截面积。他发现，风洞里的效果与带机翼的结果是一样的。但是既不能不要机身，也不能不要机翼。这是不是说，就无法克服这个障碍了呢？这个问题让他苦苦地思索。
1951年，布士曼在兰利中心给了一次报告。他在报告中描述了在接近临界马赫数时气流的性质。让我们先从亚音速飞行来看布士曼说的管线型。在亚音速情形中，我们可以把气体看作是无粘性和不可压缩的。整个流场可以看作是一维的，也就是说，我们可以想象成空中的一把流管，每个流线可以被认为是流管，因为流体沿着管子流动，就好像在管中一样。它们可以是弯曲的，但它们互相没有干扰。
但是当气流速度接近音速的时候，空气已经不能被看作是具有流线型（streamline）的不可压缩气体，因为在高速度状态下，气体已经没有时间躲开机身，前面又突然出现一堵墙，于是它们的形状就变得像是一些刚性的管子到处乱撞。他把这种形态叫作管线型（streampipe）。他认为工程师所要考虑的是这些管子的管道装配。
惠特科姆是这次报告的一名听众。他立即联想到了自己正在苦思冥想的冲击波阻力问题。他意识到，这种巨大的阻力是来自于这些空气管子之间以及它们与机身侧面和机翼的互相干扰。我们不能再像以前那样把这种气体流动看作是飞机的二维截面上，而是必须把飞机看作是三维空间的整体；我们不能只考虑机身的截面，机翼和机尾多出来的截面积也会产生重大的影响。在机身截面积的变化已经是流线型之后，在添加机翼的地方突然增加了新的截面积，那就是突然增加的那堵墙，使得那些气体管线无法通过。这就是阻力产生的根源。
上面的图片给出了两种机型和。从截面积的意义上它们是等价的。当投影到以长度为横坐标、以截面积为纵坐标的图像上时，它们的结果是一样的。我们可以清楚地看到那个突起的“墙”来。描述阻力通常是用阻力系数来表示。从下面的图我们可以看出对于平滑的机身来说，阻力系数要小得多。
从数学上来讲，我们把机身的中轴线看作是轴，沿轴从头到尾在每一个点上做截面。那么我们就得到一条截面积曲线。是机身的截面积和机翼的截面积的和。在机翼出现的地方，这条曲线发生了突然的变化。这正是惠特科姆的高明之处：他用截面积把三维问题变成了一维，他得到了一条简单的面积曲线。
惠特科姆突然意识到，他可以用减少机翼附近的机身面积的办法来使得总的截面积不要在相应部位过于突起。于是惠特科姆提出了面积率：设计原则是使得尽可能平滑，或者说尽可能地小。这时，产生的跨音速阻力就会越小。
要消去这个突然增加的截面积，在机翼的截面积不能减少的情况下，我们能做到的一个办法就是在相应的机身处让机身瘦身。这样，机身和机翼的两个面积的叠加就可以变得光滑了。这就是惠特科姆的思想。由于这个规则适用于跨音速（即马赫数在0.75和1.2之间）的飞机设计，所以称为跨音速面积率（transonic area rule）。
历史上，发现面积率的第一人应该归于奥地利工程师奥托•福伦泽（Otto Frenzl, 1909-1996）。1943年12月，他写了一个题为“高速飞行中机体位移的布置”（Arrangement of Displacement Bodies in High-Speed Flight）的报告并由此申请了专利。随后德国战时的飞机设计开始融入这一思想。但战争的发展没有按希特勒的意志进行。这些新的设计都没有最后完成。美国加州理工学院冯•卡门的博士生瓦雷斯•海斯（Wallace D. Hayes, 1918-2001）在他1947年提交的博士论文中也提出了跨音速面积率。惠特科姆在1952年独立发现这个规则。
跨音速面积率的效果非常明显，喷气式飞机在不增加引擎功率的条件下，速度增加了25%，达到了150至200英里/小时，甚至在飞机处于爬升阶段都能达到1马赫的速度。
惠特科姆发现了跨音速面积率后，立即就用于飞机的设计上。其中一个著名的例子就是惠特科姆亲自参与的F-102三角剑战斗机（Convair F-102 Delta Dagger）的重新设计。这是美国空军正在研制的新型喷气式战斗机。但是它的飞行效果远比预期要差得多。惠特科姆一方面把机身在机翼处进行了瘦缩，另一方面在尾翼下的机身处增大体积。结果在跨音速区域里阻力大大减少，飞机达到了预期的1.2马赫的设计要求。后来这项研究结果被用于改进的F-02A战斗机和后来的F-06终极拦截机——它成为美国空军最主要的全天候拦截机。还有许多其他飞机（包括大家熟悉的波音747的上层机舱）运用了面积率，我们就不一一介绍了。
3. 超音速面积率和罗伯特•T•琼斯
在实现了跨音速飞行之后，下一个难点就是超音速飞行。但这时惠特科姆提出的跨音速面积率已经不再适用。好在这个时候，理论上人们对冲击波已经有了较为深刻的理解。德国气动专家、数学家沃尔夫冈•哈克（Wolfgang Haack,1902-1994）在1941年，美国航空专家、教育家威廉•西尔斯（William R.Sears, 1913-2002）在1947年分别提出了一种适合超音速飞行的理想机体。后来人们把这种机体称为“S-H体”（Sears–Haack body）。
于是，波阻（wave drag）可以根据匈牙利裔美国物理学家冯•卡门（Theodore von Kármán）建立的细长体理论精确地写出来：
其中是速度，是流体的密度。
注意上述波阻的计算公式不只是适用于S-H理想体，它适用于狭长的旋转机体。它被人们用来研究减少阻力的最优形状。遗憾的是，带有机翼的机体并不满足其成立的条件。
1953年，美国NACA埃姆斯研究中心的气动学家罗伯特•T•琼斯（Robert Thomas Jones, 1910-1999）把这个理论推广到狭长但非轴对称的机体上。
现在我们需要对琼斯写几笔题外话。
琼斯从小在美国大农村密苏里梅肯市出生并长大。简单的乡村生活就是小琼斯的美好童年。小时候他印象最为深刻的就是飞行马戏团的表演。1927年，当查尔斯•林德伯格(Charles Lindbergh)首次实现了单人不着陆跨大西洋飞行的消息传到梅肯时，17岁的琼斯如饥似渴地阅读报纸杂志上关于这次飞行的全部技术信息，甚至花钱从NACA买来技术报告来读。高中毕业后，他进入密苏里大学学习工程学。但是工程系里没有航空学方面的课程，而他对其它课程又没兴趣。所以一年后他干脆退学了。1929年他决定到华盛顿特区碰碰运气，还真找到了一个在议员办公楼里开电梯的工作。
琼斯的运气还不止步于此，因为他不仅得到了一份开电梯的工作，而且更重要的是他在这里遇到了他人生转折点之前的三位重要人物。第一位重要人物是空气动力学专家麦克斯•芒克（Max M. Munk）。芒克原来是NACA的科学家，但由于性格问题不得不离开而转到天主教大学教书糊口。芒克建议他在天主教大学听课。芒克当场让他给出函数的导数的定义，并随后宣布：琼斯有资格上他的课。他就这样一连上了三年芒克的课。他跟芒克学习了向量分析、代数、相对论等，这为琼斯后来在空气动力学领域的成就打下了坚实的基础。琼斯拜访的另一个人物是负责美国国会图书馆里飞行学方面图书的阿尔伯特•扎姆（Albert Francis Zahm）。琼斯在他的帮助下在国会图书馆里自学数学。第三个人物不是琼斯拜访的，而是那个人自己找上门的。他就是美国国会议员大卫•路易斯（David Lewis）。他在65岁的年龄时决定开始学习数学和科学。扎姆告诉他，议员大楼的电梯里有一位数学家在开电梯呢。于是，路易斯要求琼斯给自己讲数学，每次10美元。琼斯拒绝了报酬但答应给他讲课。琼斯谦虚地说，他教给路易斯代数和微积分，同时自己学到了很多东西。
琼斯就是这样自学成才，并在1934年得到了一个在NACA兰利中心的工作机会，当然是在三位吉人帮助下，就这样，他从一个大一辍学生一步一步成为了一名著名空气动力学专家。我在“风流知音”公众号上发表过琼斯的故事：“从电梯工到一流空气动力学工程师──罗伯特•T•琼斯”；在《数学文化》杂志上发表了芒克的故事：“从空气动力学先驱到数学民科──悲剧人物芒克”。相信这两个人的故事对读者会很有启发。回到超音速面积率，琼斯敏锐地意识到，这个时候不能再截取垂直于x轴的截面积，因为这个时候有冲击波锥（shock wave cone，也称作马赫锥，Mach cone）的出现。这是怎么回事呢？
假定在空气中有一个移动的声源，即上图中的飞机。每一个圆圈代表着飞机飞行中在某个时刻产生的声波。注意我们看到的是一个二维的图。其实，在三维空间中我们应该看到的是一个圆锥。当的速度低于声速（）时，它所产生的声波就会在它到达之前传播开来。当的速度正好是声速（）时，它所产生的声波就会与它同时到达，而所有的圆圈都相切于一个点。于是就出现了中间一幅图案。当的速度大于音速（）时，它所产生的一系列声波就会落在的后面，而这些圈圈都有一个共同的切线。
我们可以计算出这个锥的顶角来。如果我们用表示锥的中轴线与锥的表面之间的夹角，那么锥的顶角就是。让我们记为音速，为声源的速度。我们任意选择通过的某一个瞬间，声波就以此点为心向外传播。在以后的某个时刻到达点。这段时间为。从做一族圆圈的共同切线。从A点向这条切线做垂线交切线于点。于是三角形就形成了一个直角三角形。显然，，。根据正弦的定义，我们得到
又根据马赫数的定义，。所以。当时，我们看到有。也就是说，锥面就变成了平面。这就是前面惠特科姆所考虑的情况。
于是琼斯想到，应该以α为倾角做一系列的截面。用这些平行的马赫面所得到的截面积，我们就构造出了一个“旋转的等价体”，于是我们就可以用冯•卡门公式来计算阻力了。该步骤的理论基础是完整的三维扰动场可以通过平面波形式的基本一维扰动的叠加来构造。这已经超出了本文的范围。
把我们得到的截面向平面做投影，我们就得到了一个面积。这个面积只与截平面与轴的顶点有关。我们把这个面积函数记作。让我们记
再记为动压：。于是卡门公式可以改写成.
这就是琼斯给出的超音速面积率的公式。这里的与锥的顶点位置有关。于是我们就得到了一个函数。所以对阻力的研究就转化成了对这个函数平滑程度的研究。从的定义我们看到，当等于时，被积函数的绝对值达到最大值。因此，产生出最大的波阻。于是工程师们所要做的就是选择使尽可能小的机型来。
4.结束语
在本文里，我们介绍了一个在亚音速飞机设计中没有遇到过的新问题：波阻。科学家们通过飞机的截面积把问题转化成一个对单变元函数的性质的研究。现在，尽管还有人在这方面取得新的结果，但总的来说人们已经不再对面积法则像以前一样重视了，这是因为现在的技术（材料、发动机等）已经取得了突破性的进步，运用面积率所得到的改善已经不再那么重要。但是面积率在飞行技术发展史上为我们留下了一段数学思想应用的佳话。
注释
Lane E. Wallace, From Engineering Science to Big Science, Chapter 5, The Whitcomb Area Rule: NACA Aerodynamics Research and Innovation, https://history.nasa.gov/SP- 4219/Chapter5.html
R.T. Whitcomb, A Study of the Zero-Lift Drag-Rise Characteristics of Wing-Body Combinations Near the Speed of Sound, NACA Research Memorandum L52H08, September 3, 1952.
R.T. Jones, Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speed, NACA Report 1284, 1956.
T. von Kármán, The Problem of Resistance in Compressible Fluids. Reale Accademia d'Italia, Convegno di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali sul terra, vol XIII, 1935, pp.210-265.
数学文化, 2014/ 第5 卷第2 期, pp. 3-22.
V.R. Nikolic & E.J. Jumper, Two Simplified Versions of Supersonic Area Rule, Journal of Aircraft, v.42, No.2, 2005.
M. J. Waddington: Development of an Interactive Wave Drag Capability for the OpenVSP Parametric Geometry Tool, thesis, California Polytechnic State University, San Luis Obispo, 2015.
作者简介 ：
蒋迅，北京师范大学数学学士、硕士，美国马里兰大学博士。现在美国从事科学计算工作。
文章为原创内容，版权归【数学文化】所有如需转载请联系：support@global-sci.org
往期推荐：● 2019 年国际工业与应用数学大会后记● 发光的玉雕——那些不朽的数学小品● 16世纪欧洲数学扉页上的数学文化● 齐民友访谈录● 欧文•卡普兰斯基访谈录
关于数学文化
《数学文化》为季刊，目的是将数学展示给我们的世界，在文化层面上阐释数学的思想、方法、意义，涵盖数学人物，数学历史，数学教育，数学趣谈以及数学烟云等等，杂志的对象是对数学有兴趣的读者。
扫码关注《数学文化》订阅号获取更多精彩内容！