哥根廷大学是德国的数学圣地，先后诞生了高斯、黎曼和以希尔伯特为首的哥根廷数学学派，与这一传统相联系的还有哲学家胡塞尔，他在哥廷根担任了十六年的编外教授。本文介绍另一位哥根廷数学博士弗雷格，他是逻辑学家、哲学家，享有“现代逻辑之父”“分析哲学之父”的美誉，也是语言哲学的奠基人，影响了罗素、维特根斯坦和卡纳普等人。
“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家。”
（《读书》2022年7期新刊）
十九世纪以来，德国哥廷根大学便是一处数学圣地，那里产生了数学王子高斯和黎曼等彪炳史册的数学巨匠。二十世纪初，菲利斯·克莱因和希尔伯特创建了哥廷根数学学派，使得世界数学中心从巴黎转移到了哥廷根。在哥廷根成长的众多数学博士中，还有一位成为哲学大师，那便是弗雷德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格，他是逻辑学家、哲学家、数学家，被广泛认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，享有“现代逻辑之父”“分析哲学之父”的美誉，也是语言哲学的奠基人，对二十世纪哲学有着广泛而深刻的影响，甚至影响了胡塞尔、罗素、维特根斯坦等大哲学家以及卡纳普、奥斯汀、安斯康姆、维金斯等富有原创性的哲学家。
维斯马俯瞰（来源：namu.moe）
一八四八年十一月八日，弗雷格出生在波罗的海港口城市维斯马（Wismar），比克莱因年长一岁。维斯马的对岸是丹麦的哥本哈根和瑞典的马尔默，这座城市于一二六六年加入著名的“汉萨同盟”，十九世纪曾通过航运贸易繁荣一时。如今，维斯马依旧是德国重要的货运港和渔港，同时拥有波罗的海沿岸最具哥特式风光的建筑群。弗雷格的双亲都是教师，父亲亚历山大还在故乡与人合伙创办了一所女子高中，并担任校长。亚历山大擅长数学，这一点对儿子有绝对的影响。弗雷格童年时，亚历山大还为九至十三岁的孩子写过一本德语教科书，开头一节即是有关语言的结构和逻辑。一八六六年，普奥战争爆发，那一年弗雷格十八岁，父亲去世，母亲玛利亚接管了父亲的学校，她的祖先是波兰贵族，于十七世纪离开波兰。普奥战争又称“七星期战争”或“德意志战争”，是普鲁士和奥地利这两个德意志大邦国为争夺统治权进行的内战，最后以普鲁士获胜告终。一八六七年，在普鲁士领导下，北德意志邦联诞生了，弗雷格一家成为北德意志邦联的公民。两年以后，弗雷格从市立学校毕业，他的老师古斯塔夫是一位诗人。古斯塔夫鼓励弗雷格到耶拿大学继续深造。一八六九年春天，玛利亚把二十一岁的儿子送到德国最古老的大学之一——耶拿大学。耶拿属于图林根州，那时恰好在北德意志邦联之外。十七世纪的全才莱布尼兹曾在耶拿攻读数学，获得硕士学位。但耶拿大学更以人文学科见长，尤其是十八世纪末以来，哲学家费希特、黑格尔、谢林、施莱格尔相继来校任教。在随后的两个学年里，弗雷格修了大约二十门课程，主要是数学和物理学，也修化学和哲学。
耶拿大学景色
弗雷格就读耶拿的第二年，即一八七〇年夏天，普法战争爆发了。这次战争由法国发动，历时十个月，普鲁士大获全胜，统一奥地利之外的南方各邦（巴伐利亚、符腾堡、巴登连同黑森公国的剩余部分），建立德意志帝国。那一年，弗雷格在老师阿贝的鼓励和帮助下，离开了耶拿大学，转学来到哥廷根，其时高斯、狄里克莱早已去世，黎曼五年前也在意大利辞世，哥廷根数学系盛极而衰，唯有曾与高斯合作发明有线电报的物理学家威廉·韦伯尚在哥廷根任教，弗雷格听过他的物理课。一八七三年，二十五岁的弗雷格在数学家恩斯特·谢林（与哲学家弗雷德里希·谢林其实不同姓）的指导下，以《论平面上虚影的几何图形》获得哥廷根大学哲学博士学位。弗雷格的博士论文通过对平面上虚影图形性质的讨论，阐明了几何学基于直觉的观点。在哥廷根期间，弗雷格还聆听了赫尔曼·洛采有关宗教哲学方面的系列讲座。关于弗雷格的哲学思想是否受到这些讲座的影响，曾经是一个广为讨论的话题。有些人认为，洛采的逻辑观念，特别是他对纯粹逻辑的看法，对弗雷泽逻辑思想的形成有着重要的影响。博士毕业以后，弗雷格回到耶拿大学担任无薪讲师，之后一直任教于数学系，长达四十五年，直到七十岁退休。弗雷格三十一岁成为助理教授，三十五岁晋升教授，他讲授过数学的各门分支课程，也有一些数学研究成果，但更多致力于数学基础、数学哲学和逻辑理论的研究。弗雷格一生的工作主要围绕着一个问题，即为数学提供可靠的逻辑基础。虽然数学一向被视为严格演绎的典范，但那个时代的一些数学家、逻辑学家和哲学家已经认识到，数学缺少逻辑基础，他们开始致力于这方面的工作。至于数学是否当真需要逻辑基础，人们是否能够为数学建立起逻辑基础，至今仍存在争论。另一方面，正是在数学和逻辑的交叉领域所进行的各项研究形成了数理逻辑这门新学科，并产生了许多积极的成果。
1871年1月18日，威廉一世就任德意志帝国第一任皇帝（来源：cdn.britannica.com）
一八七九年，弗雷格出版了第一部著作《概念演算》（又译《概念文字》），这是一本不足八十页的小册子。书中首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，但当时的哲学家和数学家都未能清楚地理解其意义。几十年以后，这个主题开始发展，弗雷格的观念透过其他同行（例如意大利人皮亚诺）的理解和宣扬传播开来。在弗雷格生前，只有极少数同行（罗素是其中之一）给予他应得的赞赏。作为一名数学家和逻辑学家，弗雷格使得高斯以来建立的数学体系更加准确和完善，确立了算术演算的基本规则，因而成为数理逻辑的奠基人。他同时提出数学可以归化为逻辑、数学是逻辑的延伸的思想，成为数学哲学三大流派之一——逻辑主义——名副其实的创始人（另两个流派为直觉主义和形式主义）。但弗雷格自己却因为游离于数学和哲学之间，长期被数学界和哲学界冷落。他身材矮小、性格安静、沉默寡言，与同事和学生均较为疏远，以至于在耶拿大学做了多年的编外教授。通常认为，用数学方法来研究逻辑问题，开始于莱布尼兹，他提出了文字学的设想。十九世纪的两位英国数学家德·摩根和布尔用代数的方法建立了逻辑代数，其中布尔代数后来为二进制应用于电子计算机铺平了道路。但这种逻辑代数与亚里士多德的形式逻辑（三段论是其间接推理的基本形式）本质上是一样的。弗雷格在获得博士学位以后，对布尔学派和莱布尼兹、康德的数学哲学思想进行了一番研究，建立并构造出了一个自给自足的逻辑演算体系。
哥廷根大学数学所小楼，弗雷格求学时尚未落成（作者摄）
弗雷格把真理分为两种，一种真理是以经验事实为依据，比如物理学中的浮力定律和自由落体定律；另一种真理的证明纯粹来自逻辑规律，他认为算术命题就属于后一种。在探讨这类真理时，必须绝对严格，防止直观因素的渗入。弗雷格认定，日常语言在表达严密思想时存在障碍，尤其是在表达的关系较为复杂的情况下，日常语言更难满足要求，因此他创造了概念语言或概念演算。弗雷格指出，概念语言与日常语言之间的差异，就如同机械手与人手、显微镜与肉眼之间的差异。为此，弗雷格首先严格地区分了命题的表达和判断。他认为，只有在理解和表达了一个思想以后，才能对它加以判断。其次，他明确地提出真值蕴含的思想，同时指出它与日常语言的区别，并采用否定和蕴含作为基本的逻辑连接词。再次，他先后引进了“内容同一”符号和“对象同一”符号，试图寻求“相等”与“同一”之间的统一。再其次，他在逻辑演算过程里引入数学中的函数概念，建立起量词的理论。最后，他建立了九条公理和四条规则，在此基础上，再进行了大量的推演。虽说弗雷格成功地构造了一整套严格的逻辑演算体系，从而有效地终结了亚里士多德建立的形式逻辑长达两千多年的统治，给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统——现代逻辑系统，可是，由于他在书中利用了既复杂又陌生的符号来表达新奇的概念，使得读者望而生畏。与弗雷格同时代的数学家施罗德当年曾撰写长文予以全面的批评，在罗素发现其价值之前，《概念演算》几乎无人问津。
位于耶拿大学的黑格尔雕像（来源：commons.wikimedia.org）
虽然《概念演算》出版后遭受冷遇，弗雷格有几年没有作品发表，但他并没有气馁，而是重新思考，并深入地研究了逻辑哲学和数学哲学。一八八四年，弗雷格的第二本著作《算术基础》出版了，这本书包含了弗雷格核心思想最明确、最完善的阐述。弗雷格在书中提出了一个根本性的问题：“数是什么？”他指出：“数学的本质在于，一切能证明的都要证明，而不是通过归纳法来验证，因此，我们也应考虑如何证明关于自然数的命题。”在《算术基础》里，弗雷格论证了以下的论题：第一，反对康德认为算术真理为先天综合命题的主张，论证它们是分析命题；第二，数可以被归结为逻辑的类，是逻辑的一部分；第三，数，尤其算术（数论），是某种独立的抽象对象，数字是关于数的指称，算术是关于这些对象的性质的科学；第四，算术不是人的创造性游戏，而是对客观真理的发现。至少，以数论学家的经验来看，我认同弗雷格有关算术是客观真理的结论。事实上，算术是一座取之不竭的矿藏。弗雷格将《概念演算》中有关数学序列的理论进一步发展，他规定了“n是一个数”与“存在一个概念使得n是属于它的数”的意义是相等的。在此基础上，弗雷格取0作为数列的起点，0是属于概念“不同于自身的”数，1是属于概念“同于0”的数，2是属于概念“同于0或同于1”的数，如此等等。很明显，他给出自然数的定义（由此推演出整个算术理论）在于使用了“一一对应”的概念，这与年长他三岁的数学家康托尔所谓集合的“等价”意义相同，后者最引人瞩目的工作是证明了整数集与实数集之间不存在一一对应。
位于维斯马的圣尼古拉斯教堂，为哥特式建筑（来源：eurob.org）
康托尔是集合论的创始人，他也在同一年（一八八四）给出了自然数的定义，但弗雷格的定义更为准确。依照弗雷格的观点，数学真理可以从逻辑中推演出来，只需把某些内容翻译或再造成逻辑的语言和命题。经过弗雷格的奠基之作，罗素进一步加以发挥。翌年，其论文《数学的原理》已有了大致的轮廓。再经过十年努力，罗素和怀特海合著的三卷本《数学原理》出齐了。这套书成为逻辑主义的权威之作，书中表达了这样的观念：“数学就是逻辑。”在《算术基础》中，弗雷格还阐明了数学哲学中的三个主要原则：第一，反对数学基础问题上的经验主义，强调数学真理的先天性；第二，他认为数学真理是客观存在的，这种客观性是产生思想的必要条件；第三，他主张一切数学都可以归化为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明。其中，第三条在罗素和与他亦师亦友的怀特海合作的《数学原理》中发扬光大，也因此广为传播，从这个意义上我们可以说，弗雷格是逻辑主义的创始人。在《算术基础》之后，弗雷格集中精力写作《算术的基本法则》，原计划写三卷，但实际上只完成两卷（一八九三，一九〇二）。弗雷格拟从逻辑出发，展开几何学以外的全部数学，他认为，逻辑的原则是完全可靠的，一旦完成了这项工作，数学“就被固定在一个永恒的基础之上了”。第一卷发展了《算术基础》中的理论，改进了《概念演算》中的符号系统，提出了不同的公理，阐述了多元的谓词演算。谓词演算是弗雷格的一大贡献，衍生出现代数理逻辑学，虽说他的符号系统和记录法笨拙繁冗，今天已无人使用。
弗雷格三角（来源：researchgate.net）
弗雷格所谓的谓词是个广义的概念，它包含了数学中的函数。例如，x≤y可以看成二元谓词，x＋y＝z可以看成三元谓词，谓词演算包含了数学中的一些命题。二十世纪三十年代，波兰数学家塔尔斯基还定义了谓词公式，并引进了模型的概念，发展出了模型论这一现代数理逻辑的四大分支之一（另外三个是公理化集合论、证明论和递归论）。弗雷格开创了独特的求真方式，区分了“是真”和“把某物看作真”，他通过研究句子来研究“真”，这一独特的真之理论对语言哲学的研究有着重要的意义。弗雷格把语言的意义构成一分为二，即意义与指称，为了说明这个观点，他举了金星作为例子。“长庚星”和“启明星”指称的是同一事物——金星，但两者意义不同，“长庚星”强调的是金星在夜晚闪亮，而“启明星”强调的则是金星在早晨闪烁。当我们想到“启明星”，我们的心也许会激动甚至颤抖，因为它与早晨起床和新的一天联系在一起，但金星本身的“意义”并没有这层意思。说到语言哲学，它是哲学家对语言现象的研究，是分析哲学的一个变种或支脉，也是现代西方哲学中影响最大、最富成果的哲学流派。因其所用的方法是对语言进行逻辑分析，故而是以现代数理逻辑的运用为基础的。对欧陆哲学家来说，语言哲学是逻辑、历史甚至政治的一部分。值得一提的是，语言哲学领域的两个主要哲学家之一奥斯汀是弗雷格《算术基础》的英译者，而他本人生前并无著作出版。回顾历史上哲学与数学的交融，大致有三个蜜月期，数学家往往也是哲学家，反之亦然。首先是古希腊，泰勒斯提出了物质世界的构成问题，他认为我们的世界是由水组成的，后来的哲人各有各的看法，毕达哥拉斯认为“万物皆数”。其次是十七世纪，哲学家关注人和人性，笛卡尔断言“我思，故我在”，帕斯卡尔写成了《思想录》。最后是十九世纪后期和二十世纪前期，数学家和哲学家开始用逻辑方法探讨语言现象和语言中的思想。换句话说，越来越接近哲学的本质——认识人自身。
弗雷格最后的居所
那为何要探讨语言现象呢？这是由于科学的突飞猛进，新的学科和分支不断涌现，甚至带走了一些哲学的研究对象，例如心理学。与此同时，物理学也开始挑战哲学的基础学科地位。哲学有了危机，有两个重任落在数学家出身的弗雷格头上：其一，重新划分哲学的界限，捍卫哲学的领地；其二，促使哲学科学化。对第二个任务，弗雷格的《概念演算》已创造出与容易混淆的日常语言划清界限的新的精确语言。对第一个任务，弗雷格的回答是：其他科学研究“什么”是真的问题，而哲学研究什么是“真”本身这个问题。《算术的基本法则》第一卷出版以后，再次受到冷遇，只有皮亚诺做了评述，但他显然对这本书没有足够的理解。弗雷格并没有受到影响，而是继续撰写第二部，主要论述实数的理论。可是，他既没有深入研究集合论，也没有触及关于无穷集合的各种问题，尤其是悖论。事实上，有关集合论和无穷集合的工作已被康托尔建立，但那时尚未被人承认和知晓，更有甚者，他遭到了同胞数学家克罗内克的激烈反对和打击。一九〇二年，正当第二卷即将付印之时，弗雷格收到了罗素的来信。信中罗素首先称颂了弗雷格的工作：“就我所知，您的工作是我们时代中最好的。”“在许多具体问题上，我发现您的著作都进行了讨论、区分和定义，这使得其他逻辑学家的工作黯然失色。”信中接着说道：“只有在一点上我遇到了困难，……下述矛盾：令W为不能论断自身的谓词的谓词，W可以论断自身吗？任何回答都会导致矛盾。……由此我得到，在某种条件下，一个可定义的集合并不构成一个整体。”也就是说，罗素的来信一方面意味着弗雷格的工作开始得到承认，另一方面又宣告了他的工作的终结。
弗雷格之墓
罗素在参加一九〇〇年巴黎首届国际数学家大会期间，读到了皮亚诺的一本著作，对书中严谨的逻辑留下深刻印象。第二年，罗素便提出了悖论，他给弗雷格写的信正是基于此发现，这封信使得弗雷格把数学建立在集合论之上的想法遭到沉重打击。一九一九年，罗素又提出了更为通俗的理发师悖论：一个宣称给所有不给自己刮脸的人刮脸的人，他到底有没有给自己刮脸呢？无论如何，这都会得出矛盾的结论，这个悖论揭示了集合论本身存在着矛盾。可是，逻辑主义并未就此中断或消失，发现问题的罗素和怀特海等人很好地继承了弗雷格的事业。弗雷格曾指出：“模棱两可与含糊其辞，对诗人来说没有问题，具体到论述真理的语言，尤其是科学的语言，就应该准确又清晰。”传统哲学通常是对思维内容和认识能力进行探讨，弗雷格则对语言表达形式和内部结构进行研究，他认为对语言意义的分析，是哲学研究的主要任务。弗雷格深信他的研究在未来会赢得更大的赞誉，并把未发表的文章留给其养子。弗雷格有关语言意义的观点，深得奥地利哲学家维特根斯坦的推崇甚至膜拜，这位二十世纪著名的思想家明确指出，他的哲学工作的两个来源是“弗雷格的巨著和我的朋友罗素的著作”。维特根斯坦曾短期来耶拿跟随弗雷格，一九一二年他前往剑桥，在罗素的指导下学习数理哲学，那也正是弗雷格的建议和推荐。
纪念弗雷格的行走
一九二一年，在罗素的帮助下，维特根斯坦的《逻辑哲学论》出版了，这部书的中心问题是：“语言是如何可能成其为语言的？”让维特根斯坦惊讶的是我们司空见惯的一个事实：一个人居然能听懂他以前从未遇到的句子。他本人对此是这样解释的：“一个描述事物的句子或命题必定是一幅图像。”维特根斯坦认为，所有的图像和世界上所有可能的状态一定具有某种相同的逻辑形式。弗雷格曾写道：“一个好的数学家，至少是半个哲学家；一个好的哲学家，至少是半个数学家。”一九一八年他退休后，回到故乡梅克伦堡-前波美拉尼亚州，在德国第四大湖施韦里纳湖北岸的小城巴德克莱茵（Bad Kleinen）定居，继续著书立说，并转向他年轻时的课题——几何学，提出几何学是数学的基础。巴德克莱茵离弗雷格的出生地维斯马只有二十多公里，他于一九二五年七月二十六日去世，安葬在施韦里纳湖畔。如今每年春天，梅克伦堡西北地区的居民都会通过往返这两座城市的集体行走活动纪念弗雷格。《读书》刚刚开通视频号，
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