数学哲学：我们是怎么说数的？

史蒂芬·布哲曼 - 斯德哥尔摩哲学系研究员

这次我们介绍的文章算是 Philosophia Mathematica（数学哲学）期刊的新文。它是史蒂芬 ·布哲曼（Stefan Buijsman，文中称‘布老师’）发表于2021年6月第29卷中的《我们是如何在语义上个体化自然数的？》（How Do We Semantically Individuate Natural Numbers?）。

布老师在这篇文章中，透过实验哲学的启示，论证了非专业人士个体化自然数的方式，构造了关于数的语义新论，并且与前人理论比较，辩护其理论的优点。笔者认为这篇文章要素很多，梦幻联动，所以值得一看；适合在逻辑学，形而上学，语言哲学和数学哲学有一定基础，想进一步了解「数是什么」的哲友。

下文主要分为三个部分：分别是“导读”、“总结”和“讨论”。在“导读”中我简单介绍了布老师的写作动机。在总结中，我用思维导图和词条的方式概括了布老师的文章。在讨论中，我谈论了自己阅读后的疑惑和考量。（布老师看不懂我就瞎写写了）最后，我在文章的列出了些注释和参考。

同时欢迎哲友们查看原文、纠错并找我讨论。感谢大家点开阅读，祝大家有所收获。

（原文链接https://doi.org/10.1093/philmat/nkab001）

导读: “个体化”自然数？

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6..... 相信大家对这些数字符（Numeral）并不陌生。他们出现在生活中：你的手表上，远动员的运动服上，支付宝的余额上.....；他们也出现在各种教科书中。而我写出的这些数字符，以及你在省略号后会加上的数字符，他们指称的即是自然数（  ）。作为一个数学学生，倘若你问我自然数是什么，不假思索，我一定会先把皮亚诺-戴德金公理（Peano-Dedekind Axioms）摆出来：

皮-戴公理是数论公认的起点，数学学者更是将其看作为自然数的定义。但或许此时，对数学不太了解的朋友会说：“停停，这也太吓人了吧。这么深厚的逻辑，不是专家怎么能理解。” （在补充1中我用中文转述了）但另一方面我相信，几乎所有读者相信他们理解0，也相信他们理解1。

那你会问了，如果我们这些不是专家的人（数学一般的人，暂时叫‘一般人’吧）懂什么是1，却不懂数学家对1的定义，那数学家们说的数，是不是与一般人用的数不一样啊？这个问题我会在后文会继续讨论。

此处我认为无需太纠结：以上的考虑并不能阻止我们说，一般人说的数和数学家说的数是同一个数。只不过一般人对数的理解没有数学家准确；一般人没有完全理解数而已。（更多解释见补充2）打个比方，或许绝大部分读者（包括我）并不知道是什么让我的手机成为了手机，但这并不阻碍我们指称手机。所以对皮-戴公理的不理解，并不阻碍我们指称由皮-戴公理定义的数。

不过或许我们缺少一个解释：既然一般人对数的理解不是通过理解皮-戴公理建立的，那一般人是怎么指称到自然数的？事实上，在几千年前，早在皮亚诺-戴德金公理被提出（在19世纪提出）前，人们就开始用自然数了。不仅如此，八九岁的小孩不仅不懂什么是皮亚诺-戴德金公理，甚至计算基本的加减乘除也会有困难，但也他们会使用一些自然数。那他们是怎么指称到数的？

我们有必要再澄清一下问题：我们想要理解「一般人是怎么指称到自然数的」。而布老师对问题的理解延续了弗雷格和奎因的传统。他认为我们使用一个词汇时，如果这个词汇要有固定的指称，那就必需要有同一性条件（Identity  Criterion）作为前提。什么意思？举个例子，如果我们想要指称到三角形的“形状”，那我们就要知道，在什么条件下，两个三角形的形状是相同的。

比如，一个条件可以是：对于任意三角形ABC和任意三角形DEF，假如角A的度数=角D的度数，角B的度数=角E的度数，角C的度数=角F的度数，那么两个三角形的“形状”便相同。那么也就是说，只有我们知道了以上的同一性条件，‘三角形的形状‘之类的表述才会有意思。因为一个词汇的同一性条件是使一个词汇有固定的指称的必要条件。

相似三角形

很多哲学家更是认为，同一性条件可以充分地定义一个词汇（更多讨论见补充3），完全确定此词的指称。在此，我们可以区分两种定义方式。第一种最常见的，是显明定义（Explicit Definition），这种定义是以‘___被定义词___=___描述___’的形式出现的。比如说，‘金星=太阳系向外的第二颗行星’是一个显明定义。但同一性条件所提供的，很明显不是显明定义。

而提供词汇的同一性条件，我们说它提供的是一种语境定义（Contextual Definition）。在语境上定义一个表述，则是通过对包含被定义词的句子做真假判断，从而定义单词。举个例子，我们可以通过判断包含‘X有做Y的法律义务’的句子，在语境上定义‘法律义务’。一种定义可以是：“X有法律义务做Y当且只当有某可出庭的合同关系指出X需要做Y”。又比如说，我们以上对语境定义的定义就是一种语境定义。（狗头）

所以无论怎么说，想要理解一般人是如何指称自然数的，我们都要理解指称数的同一性条件。或者说，我们需要理解「在什么情况下，一个数等同于一个数」。而这也是布老师在此文中讨论的主要问题：我们需要理解「一般人指称自然数的同一性条件」，从而在语义上“个体化”自然数，从而理解一般人是如何能够指称自然数的。（想进一步了解同一性条件的朋友，可以看之前的推文：《前沿综述 | 你会从两个维度理解表述吗？》点击查看👈）

而布老师在其文章的开头，则是用以下例子生动地展示了同一性条件对指称的必要性。古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus/Ἡράκλειτος）曾说，没有人能踏进同一条河两次。这样说有道理吗？我认为夸张了。

或许支持赫拉克利特的人会尝试这样的论证：张三每天都会去“洗脚河”泡脚，可“洗脚河”里的水是流动的，所以张三昨天泡脚的水和张三今天泡脚的水是不一样的。而河是由水组成的，所以张三泡脚的河其实不是同一条河。

有关赫拉克利特的Meme

这样论证合理吗？是否泡脚的河会因为泡脚水的变化从而也变成另一条河了呢？我认为不合理。（见补充4）深圳河虽然是由水组成的。但并不意味着洗脚河里的水变了，洗脚河就变了。

因为我们知道，对于任意两条河A和B，假如A河的位置与B河的位置大体相同，那么我们就可以说，A河=B河。那么，因为张三每次泡脚的河的位置都大体相同，所以「张三今天泡脚的河=张三昨天泡脚的河=洗脚河」。那么，以上的回答就显示了根据位置的同一性条件对‘洗脚河’指称的重要性。

回到数的讨论上来。如果我们缺少用于把数个体化的同一性条件，我们对数的理解也会遇到类似的问题。比如说，我们会用"一"数很多不同的东西。比如说，一只鸟，一双鞋，一种颜色，一点钟，一个中心思想。这时，如果我们没有对“一”的同一性条件，那么我们是怎么理解‘一只鸟’中的‘一’和‘一点钟’中的‘一’的指称是一样的？

另一方面，我们会用‘1’、‘一’、‘壹’，‘I（罗马数字）’、‘one’、‘un（法语）’、‘하나（韩语）’ 等不同的表述来指称“1”这个数。如果没有同一性的条件，我们又该怎么判断「‘1’ 和 ‘一’ 的指称是同一个数」呢？

如果你不清楚以上问题的答案，那么布老师的答案或许会对你有启发。在此，我粗略地勾勒一下布老师提供的三个候选项：

（下文涉及到众多当代数理逻辑概念，或引起不适。有兴趣的读者请耐心阅读。）

01休谟原则（Hume‘s Principle）

对于概念F和概念G，「F的数=G的数」当且只当「F和G之间存在一一对应的关系（one-to-one Corresponence）」。或者形式化的表达：

(HP)   

举个例子：一副眼镜的镜片和人的眼睛存在一一对应的关系：左镜片对应左眼，右镜片对应右眼。所以，镜片的数=眼睛的数。

02序数原则（Ordinal Principle）

对于数字符    和   ,「    所代表的数=   所代表的数」当且只当「    和   在序列表中的位置相同」。或者形式化的表达：

(OP)   

举个例子：‘三’ 在的序列表是 ‘零、一、二、 三、……’ ；‘3’ 所在的序列表是‘0，1，2，3，……’。观察数列表，我们会发现‘三’在其序列表中的位置和‘3’在其数列表中的位置相同。所以，‘3’代表的数=‘三’代表的数。（见补充5）

03布老师的CP-IC-IN套餐

比较复杂，还是先上一张概括图：

布老师套餐的大体思路

布老师先区分了数字符（Numeral）和数字词（Number words）。布老师认为，我们小时候学习接触到最多的是像‘一【个】’，‘三【只】’，‘零【元】’这样的数字词，而不是‘1’，‘一’这样的数字符。这些数字词和数字符的区别在于：数字词更像形容词（Adjectival Strategy；见词条），而数字符更像名词。基于这种词性上的不同，我们可以区别对待它们。

对于接触较早的数字词，布老师认为，我们是通过一种叫对象跟踪（Object-Tracking：见词条）的认知机制理解量词（Quantifiers），进而理解数字词的。更具体地说，对于一个数字词‘X【个】’，以及一个由x组成的xx复词体（Plurality；见词条），我们说‘X个xx’，就等于说‘xx里正好存在X个x’；此处‘正好存在X个（  ）’即是那个我们通过对象跟踪理解的量词。形式化后，我们能看出这其实是一个显明定义：

比如说，‘8个太阳系行星’=‘太阳系行星正好存在8个行星’。

那数字词的同一性条件是什么呢？大体说，我们只要使用外延原则（ Extensionality principle；见词条）即可从以上的显明定义中推出。推出后我们会得到以下条件：对于数字词t和数字词u，「t【个】= u【个】」 当且只当「对于所有的复词体xx，t个xx为真当且只当u个xx为真」。形式化的表达会是：

(IC)  

最后，布老师利用OP中的位置关系‘～’将数字符与数字词重新联系起来。于是，我们得到了我们想要的有关于自然数的同一性条件：对于数字符    和   , 「    所代表的数 =   所代表的数」当且只当「存在数字词t和u，t和    在其序列表中位置相同，u和    在其序列表中位置相同，且t【个】=u【个】」。形式化后的IN：

(IN)  

最后让我用5来做个例子说明IN：「‘5’ 指称的数= ‘V’指称的数 」当且只当「存在数字词t（比如说，5【个】）和数字词u（比如说，V【个】），数字词t在其序列表中的位置与‘5’相同，数字词u在其序列表中的位置与‘V’相同，且t【个】= u【个】」。

此处，若我们选择t和u，使得t=u=‘五【个】‘，那么数字词‘五’在其序列表中的位置与‘5’相同，也与‘V’相同，而且‘五【个】’=‘五【个】’；那么以上条件句中的右侧就是对的，所以根据IN，我们可以得出「‘5’ 指称的数= ‘V’指称的数」。

那么以上就是布老师比较的三个「数的同一性条件」的候选项。此时，如果我们粗略对比以上的三个候选项，我们就会发现布老师的CP-IC-IN套餐要比休谟原则和序数原则复杂不少。

那或许我们又会问了，布老师说得那么复杂，一般人能像这样理解吗？这里布老师（间接地）引用了认知科学的发现，尝试说服你说，一般人目前就是通过他组合中的同一性条件来理解数字的。那么布老师也说，我们不一定要这么理解。

布老师的组合，像是对HP和OP融汇；而这种融汇，或许可以解决HP和OP面对的一些问题（有语言逻辑上的，有不符合有关于一般人的实验数据的）。那布老师的组合算成功吗？有兴趣的读者可以翻阅原文，看看布老师具体是怎样做这样的组合的。看完后，再批判地思考一下「一般人是如何个体化自然数的」。

概括：思维导图，词条

布老师此文的主旨大致如下：

1. 提供并辩护一个融汇基数性质和序数性质的、在数字符上进行【类似于】抽象得到的数的个体化方式。
2. 说明以上方式比林内博（Linnebo）的方式更符合实验数据。但布老师不意图完全驳斥林内博的理论。

而布老师的行文大体如以下思维导图：

（此处请横屏观看）

同时我将对文章中一些比较重要、但还未被解释的说辞单独解释。想要进一步了解的读者可以看补充中的参考。而以下的每一个词都有很复杂的理论背景，所以希望笔者的解释还算到位：

1.基数（Cardinal）词：指示大小的词。比如，0，1，2，3，4....  (自然数集的大小）...  (实数集的大小）...在数学上来说，一个集合的大小是由一一对应的映射（bijection）确定的。比如说，我们说偶数集的大小和奇数集的大小一样，因为每一个偶数都可以和比它大一的偶数对应。

2.序数（Ordinal）词：指示序列的词。比如，第一，第二，第三…....在数学上，我们经常会用到冯诺伊曼（von Neumann）序数词来标记数列：  。

3.物体跟踪系统（Object Tracking System）：OTS机制能使物体在时空上被同时区分并代表，并能让主体对多个对象保持跟踪。OTS应当是认知科学的研究对象。

4.抽象原则（Abstraction Principle）：粗暴地说，就是（ABS）  。此处R是一个等价关系（Equivalence relation）。不少当代抽象主义者将此看作在语境上定义抽象物体的方法。仔细观察，我们就会发现HP和OP都是抽象原则的例子。

5.基数原则（the Cardinal Principle）：数数时数到的最后一个数【字符】指示了一个集合的基数（也就是此集合的大小）。特别值得注意的是，此原则是利用了数字符的序数性质以解释我们对基数的理解，所以CP和序数原则OP其实是一脉相连的（虽然名字相反）。

6.复称体（Plurality）：英语里的经典例子是Chairs (vs Chair)。用中文的例子：‘人们‘是一个复称体，但‘人’是一个单称体（singularity）。简单来说，‘人们’是复词体因为‘人们’同时指代了很多‘人’。你或许会问，复称体和集合有什么区别呢？那么打个比方，我们说集合更像是一个盒子，人的集合就是装满了人的盒子里，指称的是【打包了人的】盒子；但若我们只是想指称很多人，不想扯到盒子，那说‘人们’是复称体则更为合适。

7.外延原则（Extensionality Principle）：开门见山，就是  。这是集合论中的一个公理，也可以看作是二阶逻辑中对‘=’定义的一部分。转化为文字，就是说X和Y是同一个性质，当且只当他们作用于一模一样的对象。

8.  算子（  -operator）：是二阶逻辑中引入新性质的算子。比如说，我想定义一个性质，叫做“加了2后等于4”。那么我可以让  。这样一来，我们说3不满足F这个性质，因为「  」。所以F(3)是错的。

9.形容词化策略（Adjectival Strategy）：比如说，相信形容词化策略的人，可能会这样理解 ‘3+3 = 6’：他们认为在语义上，这相当于是说 3个<我也不知道能是啥>加上3个<我也不知道能是啥>=6个<我也不知道变成了啥>。这样一来，他们就可以把3看作是<我也不知道能是啥>的一种性质，从而不用考虑3这个数作为一个东西怎么能存在。（再次狗头)

讨论：笔者的疑惑

有关于布老师通过语言哲学对HP的辩驳

布老师为什么认为HP不能个体化数呢？布老师说，这是因为语言哲学中，‘F的数’并不是一个单称词（Singular Term），而是有关于F的一个限定摹状词（Definite Description）。但笔者必须坦诚，这里没有看明白，为什么如果‘F的数’是限定摹状词，那么HP就不能个体化数了？布老师似乎是说因为HP有某种解释性的倒退（explanatory regress），但笔者不觉得这种倒退是恶性的，还希望有理解的读者能找我探讨。布老师点到几张论文就一闪而过了，或许说布老师只是把HP的失败当作他讨论的背景吧。

有关于IN是不是抽象原则

布老师说他的IN虽然不是一个抽象原则, 但是在精神上是一脉相连的。笔者有点疑惑，觉得IN要么是，要么就有问题。因为若不是，那么按照布老师的说法，IN的右侧不是一个等价关系（Equivalence Relation），可左侧若是一个真实的同一性句式，那么它应该一个等价关系。可等价关系和非等价关系怎么能在相同的条件下发生呢？

如果我的逻辑没搞错的话，IN的右侧确实不是等价关系。那是否意味着我们适当可以加入一些假设，使得右侧变成等价关系？比如说，为了方便讨论，我们可以将IN进一步简化，将IN左侧量词中的关系简化为R：

那么，我们会发现R在逻辑上不是一个自反关系。因为R若是一个自反关系，以下条件的右侧，应当是一个逻辑真理：

(Rfl-R)  

但其右侧并不是一个逻辑真理，所以R不是一个自反关系。而等价关系即是自反、对称、传递的关系，所以如果R不是一自反关系，那其肯定不是一个等价关系。

而这主要是因为数字词t与数字符a之间不一定存在～的关系，那像以下原则的加入，或许可以解决这个问题:

（Ext）  [对于任何数字符a]

也就是说：对于任何数字符a，都存在与其位置相同的数字词t。而若我们将Ext加入系统中，那么我们可以将右侧将变为一个自反关系，而事实上，也转变为了对称传递的关系，所以是等价关系。

而Ext的投入（Commitment）并不高，毕竟在生活中，我们确实能将所有的数字符都转化为数字词：比如说“1203851”可以被转化为“一百二十万三千八百五十一个”。所以，如果我是布老师，那我会选择接受Ext。那么假如布老师确实在文中默认了Ext，那是否我们可以直接说IN就是一个抽象原则？

关于IN是否能支持皮-戴公理和数学实在论

作为一个数学学生，我始终关心着皮-戴公理的安危，毕竟整个数论都是建立在皮-戴公理之上的。弗雷格和林内博都证明了皮-戴公理与其理论的相容（见补充6），所以我们无需担心一般人和数学家所理解的数不相同。但布老师并没有证明IN和皮-戴公理相容。

虽然也没有证据显示IN和皮-戴公理是不相容，可倘若不相容，是否说明一般人所说的数和数学家所说数要成为两套系统了。那布老师该如何解释它们两者的关系呢？再者，若此时出现了两套数字系统，一套是数学家的系统，一套是一般人的系统，是否会与数学实在论冲突呢？

毕竟数学实在论，顾名思义，在本体上只允许一个实在的数字系统。而通过布老师对林内博的‘薄物体’的点评，我会认为布老师依旧是在意数学实在论的。若是如此，皮-戴公理的推导是否是更加紧迫了？

林内博2018年的新书：Thin Objects: An Abstractionist Account

(薄物体：抽象主义者的理论)

补充：注释，参考，作者介绍

注释

（补充1）皮亚诺-戴德金公理的文字表述

公理1: 0是自然数。

公理2: 对于任何一个自然数n，它的后继S(n):=n+1也是一个自然数。

公理3: 不同的自然数有不同的后继：假如S(n)=S(m), 那么n=m。

公理4: 0不是任何数的后继。

公理5: 数学归纳原则：假如某个集合包括0，且包括其中任何自然数n的后继S(n)，那么该集合包含所有的自然数。

（补充2）比如说，有一天张三肚子很痛，而且吹到风了，于是他怀疑自己痛风了。然后他去了医院，咨询医生痛风怎么办。但医生说张三想多了，因为肚子不会痛风，只有关节会痛风；他应该就是吃坏肠胃了。张三知道自己没有得难搞的痛风后，感到很庆幸，于是开了盒保护肠胃的黑色小丸子就走了。

此处，张三对‘痛风’的理解是不准确的。不过，张三虽然对‘痛风’的理解不准，张三说的‘痛风’是一样的。毕竟假如张三所说的‘痛风’和医生说的‘痛风’不一样的话，那张三应该要否认医生的诊断。比如说，张三会说：“医生。我知道我肚子没有得你说的痛风。但是，我肚子得了另一种痛风，就是我说的那种痛风。你看看我该怎么办？” 如果是这样，我会建议张三不要来看医生。既然张三得的那种痛风不是那种痛风，那他也不应该觉得，医生建议的那种痛风治疗方式会有效。

所以说，我们说1和张三说痛风类似，我们都没有完全理解1。不过，虽然数学家说的1是更复杂的，但不是数学家的我们说的1依旧是数学家说的1。

（补充3）很多人否认同一性条件是，因为在某些语境中的被同一词的使用，并不能从同一性条件中获得真假。可以参考凯撒问题 (Julius Caesar Problem)，比如说，根据抽象原则，我们知道  。以此，认可抽象原则的人会认为以上定义了  。但是一个问题是，抽象原则似乎不能回答「是否   凯撒」的问题。比如说，HP是一个抽象原则，那么HP似乎不能回答「是否  凯撒」的问题。

（补充4）可以参考奎因的Identity, Ostension, Hypostasis

（补充5）此处我忽略了Ordinal Type和 Position Ordinal的区别。但鉴于他们在有限（Finite）的情况中的表现一致，所以此处问题不大。详情参考Eileen S. Nutting [2021]: Approaches to Ordinal Abstraction。

（补充6）可以参考弗雷格定理 (Frege's theorem)：有关于从休谟原则出发推导皮-戴公【定】理的定理。

参考

笔者参考：

https://www.britannica.com/science/Peano-axioms [Accessed on 30/10/2021]【关于皮-戴公理】

https://zh.wikipedia.org/wiki/赫拉克利特 [Accessed on 25/9/2021]【关于赫拉克利特】

https://zh.wikipedia.org/wiki/皮亚诺公理 [Accessed on 25/9/2021]【关于皮亚诺-戴德金公理】

https://www.thefreedictionary.com/contextual+definition [Accessed on 25/9/2021]【关于语境定义】

https://plato.stanford.edu/entries/lambda-calculus/ [Accessed on 25/9/2021] 【关于λ演算的斯坦福哲学百科词条】

https://plato.stanford.edu/entries/frege-theorem/ [Accessed on 25/9/2021] 【关于从HP推导皮-戴的词条】

https://www.tudelft.nl/tbm/over-de-faculteit/afdelingen/values-technology-and-innovation/people/postdocs/dr-snr-stefan-buijsman [Accessed on 25/10/2021] 【关于作者介绍】

Putnam H. [1975]: ‘The meaning of “meaning”’, Collected Papers Vol. II: Mind, Language and Reality, Cambridge University Press. Reprinted in Chalmers (Ed.), pp581-96. 【关于补充二】

Dirk Greimann [2003]: What is Frege's Julius Caesar Problem?, Dialectica , 2003, Vol. 57, No. 3 (2003), pp. 261-278 【关于凯撒问题】

Manuela P. [2010]: 'Neurocognitive start-up tools for symbolic number representations', Space, Time and Number in the Brain, pp 542–551. Academic Press.【关于词条OTS】

Eileen S. Nutting [2021]: Approaches to Ordinal Abstraction. Talked in The Oxford Philosophy of Mathematics Seminar【关于Ordinal的讨论及批判】

布老师的部分参考选：

Quine, W. [1950]: ‘Identity, ostension, and hypostasis’, Journal of Philosophy 47, 621–633.【引用奎因以支持“个体化”重要性】

Frege, G. [1953]: Foundations of Arithmetic. J.L. Austin, trans. Oxford: Blackwell. 【数学哲学引用弗雷格是常态吧，用以支持“同一性条件”的重要性】

Hale, B., and C. Wright [2000a]: ‘Implicit definition and the a priori’, in P. Boghossian and C. Peacocke, eds, New Essays on the A Priori, pp. 286–319. Oxford University Press.【包括了对HP以及「对同一性条件的判断足够提供语境定义」的辩护；】

Linnebo, Ø. [2009]: ‘The individuation of the natural numbers’, in O. Bueno and Ø. Linnebo, eds, New Waves of Philosophy of Mathematics, pp. 220–238. Basingstoke: Palgrave Macmillan.【OP及对HP攻击的来源地】

Carey, S. [2009]: ‘Where our number concepts come from’, Journal of Philosophy 106, 220–254.【实验哲学部分的讨论框架的来源地】

Snyder, E. [2017]: ‘Numbers and cardinalities: What’s really wrong with the easy argument for numbers?’, Linguistics and Philosophy 40, 373–400.【引用以支持基数性质的重要性】

Moltmann, F. [2013]: ‘Reference to numbers in natural language’, Philosophical Studies 162, 499–536. 【形容词策略的主要来源】

Florio, S., and Ø. Linnebo [2016]: ‘On the innocence and determinacy of plural quantification’, Nouˆs 50, 565–583. 【布老师将介绍复称体的大任交于此文】

Roberts, C., and S. Shapiro [2017]: ‘Ontology via semantics? Introduction to the special issue on the semantics of cardinals’, Linguistics and Philosophy 40, 321–329. 【有关弗雷格关于「数字存在吗」的简单论证的讨论】

Miller, K., S. Major, H. Shu, and H. Zhang [2000]: ‘Ordinal knowledge: Number names and number concepts in Chinese and English’, Canadian Journal of Experimental Psychology 54, 129–140. 【比较中国和美国儿童的计数能力：中文的序数词变化很规律，实验显示有学习优势】

图片：

部分图片来自网络，其余图片由笔者制作，保留版权。CC-BY-ND。

pic.封面图来自：https://www.behance.net/gallery/69176011/Rick-and-Mortys-Numbers

pic.布哲曼来自：https://twitter.com/stefanbuijsman

pic.皮亚诺结构来自：“离散数学－集合论 南京大学计算机科学与技术系”课件

pic.相似三角形来自：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/相似三角形

pic. 赫拉克利特的Meme来自：https://www.reddit.com/r/funny/comments/n4waei/no_boy_steps_in_the_same_bathtub_twice_oc/

pic.Ordinal来自：http://jdh.hamkins.org/category/math-for-kids/

pic.Thin Objects来自：https://www.logicmatters.net/2018/06/08/thin-objects/

作者简介

史蒂芬·布哲曼博士（Dr. S.N.R. (Stefan) Buijsman）“我在莱顿学习计算机科学和哲学，20 岁时在斯德哥尔摩大学完成了数学哲学博士学位。然后我在 SU 和 IFFS 进行了数学哲学和认知科学的交叉研究。除了研究，我还从事科普写作，现在我的名下有三本书。最近的一篇是关于人工智能及其与哲学的联系。
我的研究集中在人工智能算法的可解释性问题上，更广泛地说，是我们该如何设计人工智能，以便负责任和有益地使用它的问题。这包括对公平性和透明性方面的研究工作。我志在于将数学哲学、科学哲学和人工智能的研究结合起来，主要是为了进一步加深我们对人工智能的理论理解。”

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作者：亓心

采编：亓心

图片：亓心

审校：灏瀛

排版：南山、亓心

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