如何优雅的称量地球的质量

生活中，如果我们想要称量自己或者一个物体的质量，用天平或电子秤就能够知道，那么想要知道地球的质量该怎么办？地球可不能放在秤上称啊！就算阿基米德曾经说过，给我一个支点，我就能撬起整个地球。可他也没有办法称出地球的质量。古往今来，许许多多的力学家、地学家和天文物理学家们都在想办法得出地球的质量。那么，咱们今天就来唠一唠地球质量那点事。

给我一个支点，我就能撬起整个地球

1687年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，这在科学史上具有里程碑式的意义。在这本书中，牛顿总结和发展了他和之前许多科学家的研究成果，其中就包含了万有引力定律，对于万有引力定律，牛顿是这样说的：“对于一切物体存在着一种引力,它正比于各物体所包含的质量。在两个相互吸引的球体内,如果到球心相等的距离处的物质是相似的,则一个球相对于另一个球的重量反比于两球的距离的平方。”

万有引力定律的确立,成为天文学研究的划时代的事件。之前,天文学研究的主导工具是几何学,而之后天文学研究进入以力学为主导的时代。后来,确定彗星的轨迹和回归周期、海王星和冥王星的发现、小行星的发现和定位等等重要天文学成就,都是在以力学为指引下得到的,而其中起核心作用的理论就是万有引力定律。用公式表示为：

其中其中M、m 分别是两个物体的质量;r 是两物体间的距离，而 G 是一个常数,称为万有引力常数，F 为两物体之间的作用力。这里还有一个很重要的问题没有解决,这就是万有引力常数 G 还是未知的。英国科学家亨利·卡文迪许巧妙地利用实验，利用牛顿的万有引力定律，成为了第一个优雅准确测出地球质量的人。

不过两个普通大小的物体之间，引力是非常非常小的，通常根本察觉不到，距离仅1/4英寸的两个直径为1英尺的铅球,仅靠它们之间的引力,在一个月内也走不到一起。这样微弱的引力,在室内实验是很难测量的。可以想象卡老师测定引力大小和万有引力常量 G 的值是多么困难。不过卡老师自有他的妙招，就是利用扭秤实验。让我们来看看他是怎么优雅地设计实验，并巧妙地解决这一问题的吧！他用的实验仪器图和简图如下图所示：

现在我们来描述卡文迪许的实验。图中的悬线是镀银铜丝,40英寸长。悬线下面水平悬吊一根轻质的木棒,木棒长度2d为6英尺,木棒两端各固定一个直径2英寸(重1.61磅)的铅球,它们的质量记为m。而用来吸引这两个球的是两个直径为12英寸(重348磅)的大铅球,它们的质量记为M。大球和小球之间的距离 b 大约为9英寸。整个装置是对称的。

我们来计算一个小铅球 m 所受的垂直于木棒的力，首先,根据万有引力定律,它受最近的大铅球 M 的引力是：

它还要受对称的另外一个大铅球M' 的引力,因为那个大铅球距离它是

所以它受到的引力是：

但是,这个力的指向是与木棒斜交的。由于M'm 连线与木棒mm' 夹角的正弦能够直接得到,即,因此 在木棒垂直方向上的投影应当是：

由于 M' 对 m 在木棒垂直方向上作用的分力,与 M 对m 的引力是方向相反的,所以上面这两个力之差就是 m 在木棒垂直方向的受力

记

考虑悬线的扭转刚度为 K ,即悬线下端单位转角所对应的悬线下端的力矩。设转角为 θ ,木棒两端的两个球所受到的力对悬线下端O点的力矩为2Fd。所以在平衡的条件下,应当有：

上式中的K、d 等都是已知的,如果能够测量出平衡时候的  和  就能够定出万有引力常数G。然后去计算地球的质量就很容易了。不过,在改变两个大球 M 的位置时,系统并不马上就能够平衡,而是要经过相当长时间的震荡,来回摆动,才能逐渐趋于静止。这个时间会很长,有时需要等待个把钟头。于是卡文迪许就想办法记下顺序摆动幅度最大处的角度,然后由它们的平均得到预期的平衡点的转角。具体说,把第一个和第三个摆动的最大角取平均,然后再与第二个摆幅的最大角平均,结果就大致是最后平衡时的转角。

我们又知道，根据万有引力定律自由落体的加速度：

因此可以得到：

代入 * 式可以得到：

那么就有：

这样就巧妙地得到了地球的质量。

通过实验,卡文迪许估计出地球的质量为5.965×1024kg,大概是60万亿亿吨，和现有的公认值5.972×1024kg相当接近。实验设计得如此巧妙，以至于实验精度在之后多年都无人超越。他的扭秤实验至今仍然是测量万有引力常数的主要方法。

卡文迪许

卡文迪许实验的严谨之处在于，他用密闭的实验装置成功屏蔽了外界因素对测量结果的干扰，例如空气流动等；还用悬线上的镜子成功地放大了引力所带来的偏转，减少了读数误差；另外，为了克服周期性误差，例如温度的影响，卡文迪许测量地球的实验持续了好几年，从而有效降低了温度和扭秤周期性摆动对观察误差的影响。了解地球的质量之后，就能很容易地根据万有引力定律计算出月球和太阳的质量，进而计算出太阳系其他行星和天体的质量，因此卡文迪许实验意义的重要性是不言而喻的，他的这个扭秤实验也被誉为了最美物理实验的第六名。

卡文迪许的科学家小故事

许多人说，卡文迪许是18世纪英国有学问人中最富有的人，有钱人中最有学问的人。卡文迪许很有修养，但是没有英国的那种绅士派头。他不修边幅，几乎没有一件衣服是不掉扣子的；他不好交际，不善言谈，终生未婚，过着奇特的隐居生活。卡文迪许为了搞科学研究，把客厅改作实验室，在卧室的床边放着许多观察仪器，以便随时观察天象。他把钱大部分都用在购置科学仪器和图书上。他积聚了一批很有用的图书，除自己使用外，还慷慨地供其他学者使用。他也十分珍惜自己的藏书，整理得井井有条。无论是别人向他借阅，还是自己用书，都要严格办理登记手续，书从哪儿取下看完后必须归还原处。尽管家财万贯，他的生活却非常俭朴。他身上穿的，永远是几套过时陈旧的绅士服。钱的概念，在卡文迪许的头脑中是很淡薄的。他从祖上接受了大笔遗产，成为百万富翁，不过他一点也不吝啬。有一次，他的一个仆人因病生活困难，向他借钱，他毫不犹豫地开了一张一万英镑的支票，还问够不够用。卡文迪许可算是一位活到老、干到老的学者，直到79岁高龄、逝世前夜还在做实验。

人们为纪念这位伟大的科学家，特意为他树立了纪念碑。后来，他的后代亲属德文郡八世公爵S.C.卡文迪许将自己的一笔财产捐赠剑桥大学，并于1871年建成了实验室。它最初是以H.卡文迪许命名的物理系教学实验室，后来实验室扩大为包括整个物理系在内的科研与教育中心，并以整个卡文迪许家族命名。该中心注重独立的、系统的、集团性的开拓性实验和理论探索，其中关键性设备都提倡自制。这个实验室曾经对物理科学的进步作出了巨大的贡献。近百年来卡文迪许实验室培养出的诺贝尔奖金获得者已达26人。麦克斯韦、瑞利、J.J.汤姆逊、卢瑟福等先后主持过该实验室。

END

（文章图片源自网络，仅供科普参考）

参考文献

1武际可.称量地球的人——卡文迪许的万有引力实验[J].物理教学,2013,35(02):78-80+35.

2吴承埙.称量地球质量的人:卡文迪什及万有引力常量的测定——“最美丽”的十大物理实验之二[J].物理通报,2003(05):39-41.

3https://www.zhihu.com/question/37617712.

4http://oppo.yidianzixun.com/article/0T1ECU00.

5https://baike.baidu.com/item/卡文迪许/3732425?fr=aladdin#6.

力学科普

力学科普公众号是中国力学学会旗下的科普公众账号，发布相关的科普新闻及竞赛消息，推荐科技方面最新动态和科普相关信息，致力于让公众走进科学，了解力学，激发学习科学技术的兴趣。

温馨提示

如果你喜欢本文，欢迎转发分享，转载请注明出处。

合作及投稿事宜请联系：[e-mail]