2023年EGMO P1、P2解答

今年EGMO的选题延续了去年的趋势，总体上偏简单，估计又是高奖牌线加一大堆满分金牌的剧本了。

可以利用数列的单调性来解决问题。

注意到对a₀和a_n+1的约定，我们可以把这个数列的首尾a₁和a_n相连，形成一个闭环。这个操作不影响对b_i的计算，即b_i总是利用a_i左右两项之和除以a_i所得。

如果所有的a_i不全相等，那么必然存在某个a_k-1 ≠ a_k。

不妨设a_k-1 < a_k，进一步，必然存在某个a_p-1 < a_p且 a_p+1 < a_p，否则数列在a_k之后将保持单调递增，无法形成闭环。这里，当p = 1或者p = n时，同样遵守对a₀和a_n+1的约定。

由a_p-1 < a_p，根据题意可以得到b_p-1 ≤ b_p，即，

(a_p-2 + a_p)/a_p-1≤ (a_p-1 + a_p+1)/a_p

因为a_p-1 < a_p，所以a_p-2 + a_p< a_p-1 + a_p+1，即a_p – a_p+1< a_p-1 – a_p-2。

因为a_p+1 < a_p，所以0 < a_p-1– a_p-2，a_p-2 < a_p-1< a_p。

类似地，有a_p+2 < a_p+1< a_p。

依此类推至闭环，可以得出，闭环处必然存在某个a_q-1 > a_q且 a_q+1 < a_q，根据上述递推不等关系有，a_q < a_p。根据题意，b_q ≤ b_p。

而a_p-1 < a_p且 a_p+1 < a_p，所以b_p = (a_p-1+ a_p+1)/a_p = a_p-1/a_p+ a_p+1/a_p < 2。

同时，a_q-1 > a_q且 a_q+1 < a_q，所以b_q = (a_q-1+ a_q+1)/a_q = a_q-1/a_q+ a_q+1/a_q > 2。

b_q > 2 > b_p。矛盾。

所以，所有的a_i必然全部相等。

图不怎么好画，点K和L太挑位置了。

因为ABC为一锐角三角形，所以点D位于劣弧BC上。

设点G为三角形AKL外接圆圆心，连接DG，交KL于点H。连接BH，CH，连接BD，CD，连接LG，KG。

以下证明，点H即三角形ABC的垂心。

因为DK和DL为从点D引向圆G的两条切线，所以DK = DL，GK = GL。易知三角形DKG和三角形DLG全等。根据对称性，DG与KL垂直。

∠DHK = 90°。因为AD为三角形ABC外接圆的直径，所以∠DBA = 90°。

因此，DBKH四点共圆。从而有∠DHB = ∠DKB。

∠DKB = 180° - ∠DKA = 180° - ∠DKL - ∠AKL。

根据弦切角定理，∠DKL = ∠KAL。

因此，∠DKB = 180° - ∠AKL - ∠AKL = ∠ALK。

所以，∠DHB = ∠ALK，BH与DH的夹角和AL与KL的夹角相等。

因为DH与KL垂直，所以BH与AL垂直。

同理，CH与AK垂直。所以，H为三角形ABC的垂心。

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