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小藤大智 | 拓扑量子计算：由烟圈引发的思索

Original 牛泽华藤门海外 2021-03-12

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藤小虎

上周的AP美国历史课大家学习得怎么样？我可是收获满满（骄傲脸）。

牛老师

有所收获就好。我们第二期的《小藤大智》是AP数学课和物理课哦。藤小虎同学，你知道“薛定谔的猫”是什么吗？

藤小虎

肯定不是薛定谔养的宠物……好像是个很著名的实验？

牛老师

没错，“薛定谔的猫”是奥地利物理学家薛定谔于1935年提出的有关猫生死叠加的著名思想实验，是把微观领域的量子行为扩展到宏观世界的推演。在一个盒子里有一只猫，以及少量放射性物质。之后，有50%的概率放射性物质将会衰变并释放出毒气杀死这只猫，同时有50%的概率放射性物质不会衰变而猫将活下来。根据经典物理学，在盒子里必将发生这两个结果之一，而外部观测者只有打开盒子才能知道里面的结果。在量子的世界里，当盒子处于关闭状态，整个系统则一直保持不确定性的波态，即猫生死叠加。

藤小虎

原来是这样，听起来很有趣呢。好想了解更多关于量子世界的知识。

牛老师

今天的课程完全可以满足你的愿望，我们今天的主题就是“拓扑量子计算”。

藤小虎

太好啦，那我们赶快开始吧。

1襁褓中的拓扑量子计算

量子计算机是近年来非常火爆的黑科技之一。在经典计算机里，信息的储存单位是比特（bit），比特使用的是二进制，也就是说一个比特表示的不是“0”就是“1”。但是，在量子计算机里，情况则完全不同，它使用的是量子比特（qubit），量子比特可以表示“0”，也可以表示“1”，甚至可以是“0”和“1”的量子叠加态（对，就是“薛定谔的猫”所在的次元），也就是说，量子计算实际上是并行的。

因此，量子计算机的运算速度是随着运算单元的增多呈指数型增长的，而传统计算机则是线性的。一个具有50个量子比特的量子计算机，其运算速度是2的50次方（1125亿亿）次每秒，秒杀现有最强计算机（9.3亿亿次每秒）。但随之而来的问题是量子纠缠极易受干扰，因此必须在接近绝对零度的条件下运行，以降低干扰带来的影响。

2010年以来，微软、Google、IBM 等公司投入大量精力组建了量子计算研究团队，Intel 等公司不甘示弱，也相继成立了各自的研究中心。新闻不断报道着令人心潮澎湃的“量子计算机”研究进展。但是，这些新闻似乎都和微软没有什么关系。

实际上，微软早在 2005 年就成立了特别部门，以开展“拓扑量子计算”的研究。而 IBM 在 2010 年才招募了一批研究生，开展“超导量子计算”的研究。Google 在 2013 年聘请了加州大学圣塔芭芭拉分校物理系的Martinis教授作为量子计算研究顾问，随后在 2014 年整个买下了整个团队，也在进行“超导量子计算”研究。至此，超导量子计算一枝独秀，2014 年Google 宣布研制成功了 9 量子比特的通用量子计算机，2016 年 IBM 发布了17量子比特的通用量子计算机，用户只需注册便可以远程使用这台机器。

当初一起入坑的 Google 和 IBM 接二连三搞出了大新闻，而为什么微软还没有动静呢？那就要从微软主攻的“拓扑”说起。

2烟圈引发的惨案

1867年，Peter Tait和他的好基友Lord Kelvin在一起进行一项新研究：吐烟圈。两个人在切磋吐圈技艺的过程中惊讶地发现：烟圈是一种特别稳定的结构，能够维持自己的形态很久而不散开。

Peter Tait（1831-1901），苏格兰数学物理学家。以著作《Treatise on Natural Philosophy》闻名。Tait早年研究扭结理论（knot theory），为拓扑学（topology）的奠基做出了巨大贡献。

Lord Kelvin（1824-1907），英国数学物理学家、工程师，也是热力学温标（绝对温标）的发明人，被称为热力学之父。他与Tait合著了《Treatise on Natural Philosophy》一书。

△烟圈附近的气流绕着烟圈流动，而烟圈本身却保持着初始形状

Kelvin突发奇想：如果没有阻力的影响，烟圈的形状是不是会一直保持下去呢？当时的科学家们认为，宇宙充满着一种叫“以太（aether）”的物质，而以太可以不停流动而不会受到阻碍。如果在一个充满以太的空间里放一个“烟圈”，那么以太会绕着这个“烟圈”不停地流动，这个“烟圈”的形状则会保持不变。

那什么是“烟圈”呢？Kelvin大胆地假设：既然“烟圈”是一个环状的结构，不同的环可以拧起来组成新的“结”，那么“以太中的烟圈”也应该像环一样可以组合成新的结构，而且非常稳定，那不就是原子嘛。

原子是一种很稳定的结构，这符合“烟圈”的稳定性。另外，不同的原子可以相互组合形成稳定的分子，这与圆环可以相互连接是一个道理的。为了解决“如何区分不同的原子”这个问题，Kelvin认为：不同的原子实际上对应着不同形状的扭结，而这些扭结也和一个圆圈一样稳定。

△“扭结原子”假说认为不同的扭结对应不同种类的原子（如H和He），原子之间又可以通过扭结来组成分子（如H和H2）

Kelvin非常激动，他想要把这个奇妙的想法发布出去，但是Tait则认为不妥，他觉得这里有一个很大的问题：这个理论无法解释为什么不同的原子会具有不同的质量。于是，深思熟虑之后，Tait决定撂挑子不干了，无奈的Kelvin只得召集了James Maxwell等另一批科学家一起继续探索。在此后的十年里，Tait开始沉迷高尔夫球，甚至拿下了英国高尔夫公开赛的冠军。

James Maxwell（1831-1879），苏格兰数学物理学家。其最大功绩是提出了将电、磁、光统归为电磁场中现象的麦克斯韦方程组。麦克斯韦在电磁学领域的功绩实现了物理学自艾萨克·牛顿后的第二次统一。

而在这十年里，门捷列夫发现了元素周期律。在高尔夫领域无敌到寂寞的Tait觉得扭结也存在着类似的“周期律”，这么一来，似乎原子还真的和扭结有某种神秘的联系。于是，Tait决定重新加入Kelvin的团队，继续研究他们的假说。但是这一次Kelvin拒绝了，这十年里，Kelvin和Maxwell一直在深入研究这个理论，但是越研究越觉得Tait说得好有道理：理论无法解释原子的不同质量。于是，心累到破碎的Kelvin和Maxwell最终还是放弃了。

没了好基友，Tait决定自己干，第一步便是将所有的扭结归类，总结成一个类似元素周期表的东西。这个问题看似简单，实则极其困难。从回归学术到回归尘土，Tait一直尝试着用枚举法找到它的规律。现代拓扑学告诉我们，想要用枚举法研究拓扑学其实是死路一条，但Tait根本停不下来。在去世前的几年，Tait终于意识到自己宝贵的生命都浪费在了这些“毫无意义”的扭结上，他也因此陷入了深深的抑郁，最终在1901年，和烟圈斗争了一生的Tait被发现死于家中。

△Tait的扭结周期表

3数学家的逆袭

Tait死后的150年，有了拓扑学这个更先进的“武器”的数学家们，开始对这些奇形怪状的“扭结”感兴趣了。在拓扑学中，最基本的问题便是：如何判断两个拓扑是不是等价的？这相当于问，如何能够把一个烟圈连续不断地拧成另一个更复杂的烟圈？

首先解决这个问题的是Vaughan Jones，他在1985年提出了“利用Jones多项式分解来判断拓扑等价性”的方法，并在1990年获得了数学界最高奖：菲尔兹奖。但是，Jones的方法太过于惊世骇俗，除了顶尖的专家外没有人知道他在说什么。于是，1987 年，Louis Kauffman提出了简化版本，叫作Kauffman分解。

Vaughan Jones（1952- ），新西兰美国数学家，以在冯·诺依曼代数和扭结多项式上的研究而闻名。

Louis Kauffman（1945- ），美国数学家，以研究括号多项式并提出Kauffman分解闻名。

先来看一个神奇的证明：

这无疑是一则精巧的笑话，但却无意中深得Kauffman分解的精髓。简言之就是将一个扭结一步步分解，最终得到一个数字，如果数字相等，那么两个扭结就是等价的。常用的公式有如下两个：

在上面的式子中，A 和 d 都是某个数字而已。接下来我们秀一波操作，把公式2旋转90度，获得第三个公式：

它和公式2的区别在于，X型线的交叉关系不一样。只要某个局部出现了类似X的这种形态，就可以用公式把X型转变为其他形态，从而相当于解开了一个交叉。

下图展示了如何用Kauffman分解判断图中的扭结是否与“一个被拧了两圈的圆环”等价？

可以看到，最终这个扭结就等于数字“d”。而根据公式1，圆环也“等于”数字“d”。所以，这个扭结实际上就是一个圆环拧了两圈构成的。

4Witten和拓扑量子场

有一个关于数学家的笑话是这样的：

有一天，数学家家里的书房和卧室的灯泡坏了，于是他买了两个新灯泡换上。第二天，书房的灯泡又坏了，数学家沉思了一阵子，拿起笤帚把卧室的灯泡也给敲烂，心满意足地继续工作。妻子完全理解不能，数学家解释说：“我把这个问题转化成了一个已经被解决了的问题，那这个问题不就解决了吗！”

通过比较分解得来的数字，我们似乎可以把所有的拓扑等价性问题都列入“可被转化为已解决问题”的范畴。但是，现实情况是：要分解一个拧了n次的扭结，最后的结果足足有2的n次方项。即便用人类现有的最先进的计算机进行计算，所需要的时间也长到足以抵达宇宙的终结。

△分解一个中国结，要等到天荒地老

普林斯顿高等研究院的Edward Witten带来了一线生机。Witten是个大神，他本科是学历史的，结果硕士跑去读了经济，读了一半又转数学了，兜兜转转博士还是选了物理。由于他对拓扑量子场的卓越贡献，1990年Witten和Jones分享了当年的菲尔兹奖，也是历史上第一位获得该奖的“物理学家”。

Edward Witten（1951- ），美国犹太裔数学物理学家、菲尔兹奖得主。他是弦理论和量子场论的顶尖专家，创立了M理论。被视为当代最伟大的物理学家之一，他的一些同行甚至认为他是爱因斯坦的后继者之一。

Witten的贡献可以用“费曼路径积分”来理解。路径积分说的是，粒子从起点运动到终点可以同时通过许多条路径，具体通过其中某一条路径的偏好由“概率幅”来表示（概率幅即是概率的开方）。根据这个概念，Witten提出了一种新的量子场：拓扑量子场。在拓扑量子场中，粒子通过各条路径的“概率幅”仅仅取决于这条路径的拓扑性质。随后，弗里德曼进一步提出了：在拓扑量子场中，粒子通过各条路径的概率振幅是可以被测量的。也就是说：

在一个拓扑量子场里，可以测量粒子通过各条路径的概率幅，以此获得这条路径的拓扑性质。

现在再来看看我们的中国结。我们可以移动一个粒子，使粒子的运动轨迹在“坐标+时间”这个4维空间里拧成一个中国结。然后，通过测量这条轨迹对应的概率幅，我们就可以得到这个中国结的拓扑结构。如果让粒子的运动轨迹分别编成两个中国结，通过测量两条轨迹对应的概率幅是否相等，就可以判断这两个中国结是不是等价的。于是，在拓扑量子场里，拓扑等价成为了一个可以被测量的东西。

5拓扑量子计算

Witten的拓扑量子场基本解决了拓扑等价的问题。在拓扑量子场中，我们可以产生n对正反粒子对。现在通过控制它们的运动轨迹，就能拧出五花八门的结构来。就像下图所示。

△拓扑量子场中的纠缠轨迹实现了两种状态的互相转化

2个正粒子+ 2个反粒子，可以产生2种不同的运动轨迹，这相当于二进制的 0、1 两种状态。因此，在拓扑量子场中可以存在 0 和 1 两个状态，且这两个状态可以相互转化。但是如路径积分所展示的，在粒子从产生到湮灭的过程中，其实同时通过了所有可能的轨迹。就好比上图中粒子的实际运动轨迹其实是左、右两幅图中所展示的运动轨迹的“叠加态”。因此，在拓扑量子场里可以实现一个量子比特，叫做拓扑量子比特。

物理学家们想出了大量的方法来操作这个“拓扑量子比特”，并用它来进行计算。可以说，拓扑量子计算机已经在理论上可行了，剩下的就是怎么实现的问题。拓扑量子计算最大的优势在于扭结的拓扑不变性（即Kauffman分解得到的数字），它对干扰有着极强的抵抗能力，从而解决了量子计算易受干扰这个最关键的问题。扭结的拓扑性质和大小、形状等无关，仅仅取决于各部分的相互关系，因此环境中噪声的影响大大降低了。

△左、右两个扭结虽然形状不同，但是仍然是等价的

IBM和Google已经研制成功了超过15个量子比特的超导量子计算机，但是由于噪声，每增加一个量子比特都是一项艰巨的任务。对于拓扑量子计算机而言，噪声并不是决定性的因素。限制它的主要问题还是如何实现量子间的拓扑纠缠。所以，微软的拓扑量子计算是当下量子计算中上限最高的。

6拓扑场的漫漫征途

找到一个拓扑量子场到底多困难？

实际上，研究者们已经在许多实验中追寻到了一丝线索。1985年和1998年的诺贝尔物理学奖分别颁发给了发现整数、分数量子霍尔效应的科学家，2016年的诺贝尔物理学奖颁发给了三位用拓扑学理论来解释量子霍尔效应的科学家。这是一盘很大的棋，完全有可能在量子霍尔效应里找到一个可用于计算的拓扑量子场。

值得一提的是，来自斯坦福的华人科学家张首晟找到一种叫做马约拉纳费米子（Majorana Fermion）的粒子，似乎可以用来进行拓扑量子计算。他领军的两个小组成功探测到了这个粒子。而上海交大物理系的贾金锋教授也随后探测到了这个粒子。

张首晟（1963- ），美籍华裔物理学家，美国文理科学院院士、美国国家科学院院士、中国科学院外籍院士。主要贡献包括对拓扑绝缘体、量子自旋霍尔效应、自旋电子学、高温超导等领域的研究。

贾金锋（1966- )，中国物理学家。2016年6月22日，《物理评论快报》发布重要物理成果，贾金锋的科研团队，在拓扑超导体涡旋中，成功观测到表现马约拉纳费米子物理行为的准粒子。这种准粒子的反粒子与自己相同。

起始于Tait对烟圈的思考，拓扑量子计算至今已经孕育了3位菲尔兹奖得主，7位诺贝尔奖得主。今天，微软还在寻找马约拉纳费米子的路上。这是一场价格不菲的赌博，也注定是一次伟大的旅程！

Reference：
[1] Kauffman, L. H. (1994). Knots and Physics. Singapore: World Scientific.
[2] Wikipedia, Quantum Computer.
[3] WeChat Official Account, zhidxcom.

牛泽华

○ 本文作者

○ 清华大学生物科学系毕业。从事A-Level、AP、国际理科竞赛教学多年，教学经验丰富，深受学生和家长欢迎。深入了解国外理科知识系统和国际理科竞赛规则，成功帮助学生进入剑桥、麻省理工等名校

○ 作为学术指导顾问，擅长培养学生的思考能力和学术习惯，注重学生的思想成长和素质提升

○ 主讲课程：AP微积分AB/BC，AP物理，AP生物；A-Level数学/进阶数学；AMC数学竞赛，Physics Bowl物理竞赛

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01. 奇谈电影中的美国总统：黑白漩涡中心的林肯

文字 | 牛泽华编辑 | 藤格尔

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