欧拉公式，复数域的成人礼

复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是  、  两个任意实数，外加虚数  ，把它们结合在一起，就完成了：

但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：

我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。
----约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：

1 数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：

1.1 自然数到整数

数学刚开始也是一片空白：

0的出现就是数学的奇点：

根据皮亚诺定理^[2]“爆炸”出了自然数域^[3]：

很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：

添加负数之后，有一个问题就出现了：

我们知道  是对  的缩写，并且容易推出如下计算规则：

我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：

更一般的有：

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：

1.2 整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：

来填满这些空隙（示意图）：

还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：

自然会有这么一个问题：

 是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

2 复数基础

往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。

2.1 复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。形如：

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

如果  、  ，可以得到方程：

从图像上看，  与  有三个交点的：

套用通解会得到：

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

2.2 复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量  有：

复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（  ），纵坐标是虚轴（  ），下图还把刚才的符号给标了出来：

加法的几何意义和向量也一样：

但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则，计算可得：

画出来发现，两者是正交的：

还可以从另外一个角度来理解这一点，  在复平面上是这样的：

那么，  乘以虚数  ，就是：

对于一般的向量  ，也符合这个规律：

好了，知道这些差不多了，开始正题。

3 复数域的扩张

好了，轮到复数域了，复数定义为：

那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：

这个问题可以用欧拉公式：

来回答，取  ，可得：

画出来就是复平面上模长为1，幅角也为1的点：

更一般的，欧拉公式说明，  是单位圆上幅角为  的点：

但是，欧拉公式 凭什么 长这个样子！

3.1  的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的  函数，起码有三种定义方式：

• 极限的方式：

• 泰勒公式的方式：

• 导数的方式：

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式

因为：

我们可以大胆地令 ：

那么之前的  就等于：

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为  对应的是单位圆上幅角为1的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为1：

然后取  ，可以得到：

根据复数的乘法规则，可以看出：

取  ：

取  ，已经很接近单位圆上幅角为1的点了：

对于更一般的  也是同样的：

当  时，就很接近单位圆上幅角为的点了：

可以证明当  时，  为单位圆上幅角为  的点，也就是得到了欧拉公式：

可能你还会问，直接替换  为  ，合理吗：

这里是理解欧拉公式的 关键 ，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义  。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？

打个比方吧，在实数中“除以  ”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：

欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。

3.1.2 泰勒公式的方式

实数域下，有这些泰勒公式：

也是直接替换  ，令  有：

这也有漂亮的几何意义，看看  的前三项：

这是三个复数相加，加出来就是：

再增加第四项 ：

随着  ，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为1 的点。对于更一般的  也是类似的螺旋：

3.1.3 导数的方式

实数域有：

直接套用：

假设  是时间，那么  是运动在复平面上的点的位移函数，  时位置为  ：

  的运动速度，也就是导数  。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于  （根据乘法规则，乘以  表示旋转  ）：

并且不论  等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：

而速度的大小就是速度的模长  。之前说了，对于两个复数  ，它们的模长为  ，那么：

 肯定等于1了， 在单位圆上运动，所以其模长也为1，所以速度的大小为：

速度大小为1意味着  时刻走了  长度的路程。而  在单位圆上运动，那么  时刻运动了  弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为  ：

4 总结

有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：

其中：

个人觉得  只是复数的初始形态，而  才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：

那么有：

几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：

到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

欧拉公式中，如果取  ，就得到了欧拉恒等式：

这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的  、  、  、   、  ，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。