泰勒级数为什么不可以展开？

之前写了两篇关于复数的文章了：

• 复数，通往真理的最短路径^[1]

• 欧拉公式，复数域的成人礼^[2]

其中提到复数的发现是源于解一元三次方程：

其实在我们学习路径上，一般也不会碰到解一元三次方程的问题，真正引起我对复数思考的是：

泰勒级数展开的问题（关于这个问题，之前写过“使用泰勒公式进行估算时，在不同点有啥区别？^[3]”，更初级、更详细一些，感兴趣可以看下）。

1 泰勒级数展开

1.1   

我们知道  的麦克劳林级数（即  点的泰勒级数）为：

取前面三项（用  表示取了前三项）就可以在 0 周围近似  ：

取的项数越多（注意看下图中的  ），对  的近似就越好：

当  时，麦克劳林级数可以无限逼近于  ，这些是泰勒级数的基本概念^[4]，这里不再赘述。

1.2   

这个函数：

它的麦克劳林级数为：

随着  增大，麦克劳林级数会无限逼近  之间的  ：

这样的结果还是比较好理解，因为  有两个无穷间断点：

而它的麦克劳林级数是连续函数，自然没有办法跨越这两个间断点，所以  的麦克劳林级数的完整写法是：

即在  区间才有效，超出这个范围，麦克劳林级数就没法逼近  了：

因为左右距离展开点  都是 1 ：

所以也说在  点处，此泰勒级数的 收敛半径 为 1 。

1.3  

而这个函数：

它的麦克劳林级数为：

随着  增大，麦克劳林级数：

努力地在扩大近似的范围，但依然被局限在   的阴影内，所以麦克劳林级数的完整写法应该是：

可是这又没有什么间断点，为什么会这样？

2 复数域的真相

直到有一天，把：

的定义域从实数域变到复数域：

然后作出这个函数的图像（因为自变量  和函数  都是二维的，本来要画出来需要四维空间，下图只画了  的实部）：

用垂直于实轴的平面去切这个函数：

可以看到，交线即是  ：

而用垂直于虚轴的平面去切这个函数，交线即是   ：

这两个函数原来是一个复数域函数的不同部分（乘以  就相当于旋转 ）：

让我们尝试这么来演示，  作用在虚轴上（在三维图中很难看清楚细节，让我们将它旋转 来表示），收敛半径为 1 ：

自变量旋转 得到的就是   ，同时收敛半径也跟着旋转：

所以  的泰勒级数（下图中绿色的曲线）被钳制在   这个范围内（这里的“所以”可能有点突兀，不过此处只是为了给一个直观，具体的证明可以参见维基百科^[5]）：

自变量是可以任意旋转的，因此收敛半径旋转后会得到一个 收敛圆 。维基百科上有幅图画的很清楚，图中白色的圆圈就是收敛圆（虚轴、实轴各自的泰勒级数也画在图上了）：

3 复数，让我们大开眼界

这个问题点亮了我，让我认识到，只知道实数，就好像生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

而这种让我们大开眼界的视角，正是复数。

（关于  的泰勒级数的神秘现象，早就被柯西大神注意到了，也是他证明了收敛圆的存在。）