埃舍尔：思维版画大师的数学秘密

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很多人对荷兰科学思维版画大师埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）的作品都很熟悉，尤其是那些诡异的建筑构造，看似合理，构成了二维空间和三维空间的组合与变换，其实并没有可能实现。这简直令人困惑而又深深地迷恋。在这背后，隐藏着怎样的秘密呢？让我们从数学家的视角走进埃舍尔的神秘世界。

《画廊》

在这幅画中，一名年轻男子在艺术画廊里注视着一幅刻画着马耳他海港森格莱阿的作品。画中的建筑物中，又出现了画廊，那名男子正驻足其中，欣赏着描绘这一地中海港口的画卷。同样，画中依然出现了在画廊中赏画的男子……这幅无限嵌套式的作品正是出自埃舍尔之手的《画廊（Print Gallery）》。

《画廊》

这样的作品可谓典型的埃舍尔风格，扭曲、变形、无尽的重复，构成了现实中不可能存在的模型。在《画廊》中，如果没有中心那块空白的区域，这将是一幅完美的作品。可以发现，在地中海式的建筑和画廊的窗户之间的圆形部分，正好留下了埃舍尔的字印。这幅版画于1956年创作，五十年之后的今天，来自莱顿大学的一位数学家试图“完成”这幅作品。

埃舍尔和其著名作品《Waterfall》

亨德里克·伦斯特拉（Hendrik Lenstra）教授第一次接触到埃舍尔的这幅作品是在一次从旧金山飞往阿姆斯特丹的航班上翻阅杂志的时候。他在飞机上试图找到版画中心谜团的答案。“我在想如果那些线条继续向内延伸，是否就会成为一个无法解决的数学问题？”他回忆说，“而且，我也想知道这画面背后的结构：作为一个数学人，我该怎样做出这样一幅图像？”当然，伦斯特拉并没有在飞机上那几个小时里得到答案，不过他随后进行了长达两年的研究，从而发现了《画廊》那块空白背后的秘密，同时也解读了埃舍尔本身。

阿尔汉布拉宫的灵感

埃舍尔从来不是一个优秀的学生，他在中学里获得的正统数学知识也非常有限。他曾学习建筑学，但将绘画艺术视为自己毕生的事业。尽管理论基础不足，数学和几何学仍然是其作品的重要元素。这个荷兰人对于诸如曲面细分和平面规则分割这种概念极具兴趣。这些是他于1936年在格拉纳达的阿尔汉布拉宫发现的，他花了很多天细心地临摹那些装饰宫殿的几何学设计，这也成为了他作品的一个核心元素。由此，埃舍尔的很多版画作品都充斥着造型的重复，在空间中不断地创造新图形。

阿尔汉布拉宫装饰

后来，埃舍尔思考能否更进一步，在图像中填充图形。在保持它们形状和彼此之间关系的时候，以某种规则改变它们的大小。结果，他在数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特（H.S.M. Coxeter）的一篇文章中找到了答案：《Crystal Symmetry and Its Generalizations》。通过学习和研究——尽管这位艺术家承认自己并没有理解其中的全部概念——埃舍尔还是发展出了在视觉上很直观的数学表现手法。

阿尔汉布拉宫装饰

在下一阶段，他的作品开始探索结构中的透视错误。对于这些图像，第一眼看去我们会觉得合理，但细看之后会发现，那在现实中是不可能构建出来的。1954年，埃舍尔的部分作品在阿姆斯特丹的国际数学家大会上展出。从那时起，与数学家及结晶学家所保持的对话，就成为他那些“不可能”的作品、视错觉以及无限图像的灵感源泉。

数学与艺术的交汇

在作品《画廊》中，数学与艺术的融合非常明显。埃舍尔摈弃了透视法则，创造了一个无限和扭曲的重复图，对此他并没有通过计算或其他方法来补充完整。为了破译其中的秘密，伦斯特拉教授研究了德罗斯特效应（Droste effect）。如果那莪年轻人所站的画廊在版画内被重复制造，那么同样的事就会发生在中间的白色空白处。通过和埃舍尔的一位朋友交流，伦斯特拉发现，埃舍尔曾试图以闭环的形式制造一个可持续的环状扩展，既没有起点也没有终点。因此，在埃舍尔的变形中，方形网格的大小，会随着它们离开中心向外部扩展的过程而增长。而在相反的方向上，它们会变小，形成一个向内螺旋的循环，就像在装满水的水池中把塞子拔掉一样。这就是画面背后的结构。

埃舍尔作品《Hand with Reflecting Sphere》

为了寻找埃舍尔版画中扭曲变形的精确数值，伦斯特拉教授的研究团队花费了数月进行实验。旋转组合、指数和对数函数、大小和尺度的缩减……甚至各种猜想。一旦他们找到了具体的方程，在现代技术的帮助下，后面用来填充空白的步骤就很简单了。他们通过计算机程序去除了埃舍尔绘画中的扭曲变形，将其转换为平面网格；然后将平面化图像中的空洞填充；最后按照原有的扭曲变形模式将其还原。就这样，两年的时间，他们破解了这位神秘艺术家留下的一个重大谜题。然而，答案早已在那里：埃舍尔是一个天才中的天才中的天才中的……

原文链接

https://www.bbvaopenmind.com/en/the-mathematical-secrets-of-escher/

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