推导三次方程求根公式

1契尔恩豪森转换

给定如下关于  的三次方程  。

进行变量转换。

将  代入关于  的三次方程  中进行变量转换，得出关于  的三次方程 ,消除了二次方项。 和  可以 用  表示为以下形式。

2根与系数的关系

假设三次方程  的解为 , 此时, 以下根与系数的关系成立。

解为  ，展开  。

得出的式子等于 , 所以通过比较系数可求出  与  。

3拉格朗日预解式

假设三次方程  的解为 , 而且  与   定义如下（为3次本原单位根）。

此时,以下式子成立。

对于如下三个式子

再利用利用等式  和。三式求和得到， 得到，得到。

43次方的和

, 故

所以

53次方的积

, 则

6从系数到解

假设三次方程  的解为 。

其中,

关于的二次方程的两个根分别是 ,：

使用二次方程求根公式：

令

因此

代入得：

7三次方程求根公式

假设三次方程  的解为 ， 此时， ,  可以写成以下形式。(  来自契尔恩豪森转换)

其中,