基础理论知识：几种常见阻尼数学模型简评
静止的结构，一旦从外界获得足够的能量（主要是动能），就要产生振动。在振动过程中，若再无外界能量输入，结构的能量将不断消失，形成振动衰减现象。振动时，使结构的能量散失的因素的因素称为结构的阻尼因素。
索罗金在其论著中将结构振动时的阻尼因素概括为几种类型，即介质的阻尼力、材料介质变形而产生的内摩擦力、各构件连接处的摩擦及通过地基散失的能量。百多年来，不同领域的专家，均根据自身研究的需要，着重研究某种阻尼因素，如外阻尼、摩擦阻尼、材料阻尼及辐射阻尼等。
根据不同类型阻尼的物理机制及具体的阻尼现象，或者为了数学计算的方便，物理学家和工程专家在实验的基础上，相继建立了许多描述阻尼力的数学模型。下面的讨论均在单自由度有阻尼体系运动方程：
的基础上进行。其中，m、k分别为系统的质量和刚度，x为质点的位移，Fd为阻尼力，F为体系所受外力。下面将简要描述目前常见常用的几种阻尼数学模型，并对在结构振动问题中最常用的两种阻尼模型，即普通粘性阻尼和结构阻尼(滞变阻尼）给予了较多的关注。
1常用的粘性阻尼
最初，通过观察粘滞性流体中运动物体所受的阻尼力，科学家们抽象概括出粘滞阻尼模型。1865年，Kelvin(又名W.Thomson)在预测一些简单体系的自由振动衰减现象后，提出固体材料中存在内阻尼。
为了描述这种内阻尼，他借用了粘滞性模型，提出固体材料的内阻尼与粘滞流体中的粘滞阻尼相似，与变形速度有关。1892年，Vougt发展并完成了此理论，形成了粘滞阻尼模型，其数学表示为：
其中，η为材料黏滞阻尼常数，ε为材料应变，ε的导数为材料应变速率。
对于简谐振动，一周内材料耗散的能量可表示为：
其中，ε0为应变幅值，ω为振动角频率，其它参数意义同粘滞阻尼模型表达式。
对于匀质材料构成的单自由度体系，如有阻尼体系运动方程所示，若F=F0sinθt，则体系有稳态解x=x0sin(θt+ψ)，若阻尼力采用线性黏滞阻尼模型，则其大小与质点的速度成正比，即：
其中，x的导数为质点的相对速度。相应的稳态简谐振动中每周耗散的能量为：
其中，x0为位移的幅值，θ为简谐振动频率(亦为简谐扰力的频率)。
值得注意的是，线性黏滞阻尼模型很好地描述了黏滞液体中结构的能量耗散特性，但将此模型用于描述固体材料的内阻尼，则缺乏物理实验基础。上述能量耗散系数与振动频率成正比的不合理性已为许多物理实验所证实。
在研究阴尼器的动力特性时，Z.Liang等使用能量方法给出了损失因子β的表达式。当采用黏滞阻尼模型时，根据外力所做的功等于阻尼器做的功可得
其中，β为损失因子，f0为扰力的幅值，x0为振幅，其它参数意义同前。在上式中，若c为常数，β将与扰力频率ω成正比，但许多实验己证明，β与ω不成正比，这进一步说明粘性阻尼模型存在矛盾。
百多年来，由于数学计算的方便，Kelvin模型已被广泛应用于各种固体材料的动力反应分析中，并形成一套完整的分析方法。
2迟滞阻尼（频率相关阻尼）
若采用粘性阻尼模型，结构振动时每周消耗的能量随着结构振动的增加而线性增加，这与实验事实相矛盾。为了与实验结果相符，一些学者建议采用频率相关阻尼或迟滞阻尼假设，按照此假设，阻尼力可被表示为：
式中，h为材料迟滞阻尼常数，θ为振动频率，h/θ可看作一个与频率相关的阻尼因子。总内力：
由此可以推得稳态简谐振动中，相应的阻尼力的幅值与θ无关，而总内力公式在力——位移平面上构成一个斜偏椭圆形滞回环的面积也不再与θ有关，即有
由于与粘性阻尼理论的阻尼系数c相应的阻尼因子是h/θ，这是有些学者后来称其为频率相关阻尼的原因。频率相关阻尼理论在实数域中讨论问题。如果体系受到复简谐扰力作用，通过运动方程也可以从形式上由迟滞阻尼模型推出结构阻尼模型，因此Bishop在其论文中将这两个概念统一起来，将结构阻尼定义为滞变阻尼。
从此以后，有些文献中不用结构阻尼概念，而直接将结构阻尼模型称为滞变阻尼。为了与实数域中定义的迟滞阻尼（频率相关阻尼）模型相区别，本文将使用结构阻尼模型一词。
3结构阻尼（复阻尼）
在大量实验基础上，一些学者提出关于固体材料内摩擦的结构阻尼模型。在简谐外力作用下，体系有稳态解：
则速度为：
结构阻尼理论认为，阻尼应力与弹性力成正比，与速度同相。若弹性应力为kx，阻尼应力为ivkx，从而总的内力为：
此式表明，相当于结构具有复刚度(1+iv)k。结构阻尼体系在简谐荷载作用下稳态振动一周耗散的能量为：
其中，阻尼常数v=b/k(=2λ，λ是常用的阻尼比)。显然，结构阻尼体系能量耗散与外力频率无关，能很好地符合实验事实。
4空气动力阻尼
对于在空气中运动的质量较轻的结构，空气动力阻尼将起很总要的作用。对于结构来说，空气动力阻尼属于外部介质阻尼，其定义为：
其中，β为比例系数，x的导数为结构运动速度。此阻尼模型被广泛用于航空动力学中。若F=F0sinθt，则体系有稳态解x=x0sin(θt+ψ)，一周内体系耗散的能量为：
式中，各参数的物理意义同前。
5库仑阻尼
库仑阻尼模型描述来自于常压力下的两个干滑动表面之间的干摩擦。在工程实际中，该阻尼模型经常被用来表示被铆接或栓接的两个结构单元之间的摩擦，有库仑定律：
其中，fd为库仑阻尼力，μ为摩擦系数，N为正压力。许多文献中还给出了由位移峰值的绝对值表示的库仑阻尼力的形式：
其中，k为振动体系的刚度，x1及x2分别为相位差为π的位移峰值的绝对值。对于库仑阻尼模型，其位移曲线相差2π的两个峰值点的衰减规律为线性关系。
6比例及非比例阻尼
比例阻尼模型的出现完全是为了数学计算的方便。在求解多自由度系统运动方程时，由于质量和刚度矩阵均具有带权正交性，故质量和刚度矩阵可以对角化。但阻尼矩阵一般情况下不具有这种正交性，因此，它不能对角化。在这种情况下，多自由度体系运动方程不能解耦成单自由度体系运动方程求解。
为了使阻尼矩阵也可以解耦，Rayleigh首先提出了比例阻尼模型。Rayleigh阻尼理论认为，阻尼矩阵C可以表示为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合。即：
其中，α、β均为比例常数。当α=0时，阻尼矩阵为C=βK为刚度比例阻尼；当β=0时，阻尼矩阵为C=αM为质量比例阻尼。
显然，利用固有振型的带权正交性，Rayleigh阻尼矩阵可以很方便地与质量矩阵及刚度矩阵同时对角化。从而，n自由度体系运动方程可以解耦为n个独立的单自由度体系运动方程，进而可以按单自由度体系运动方程进行求解。最后，再利用振型叠加法，将单自由度体系运动方程的解组合成多自由度体系运动方程的解。
由于给多自由度体系的计算带来很大方便，这种阻尼模型至今仍被广泛用于实际工程结构的多自由度体系振动反应分析中。然而，只有一少部分阻尼现象符合这种阻尼模型，大量实验表明这种模型与结构的阻尼比测量结果在许多情况下不符。系数α、β与粘性振型阻尼比的关系为：
由上可以看出，利用Rayleigh阻尼模型，高振型将导致过阻尼现象，这与实际不符。Caughey等人在Rayleigh阻尼研究的基础上，首先提出比例阻尼的精确定义，并给出比例阻尼系统判定准则。若阻尼矩阵可以正交化为对角矩阵，该阻尼为正交阻尼或比例阻尼，否则称为非比例阻尼。符合Caughey比例阻尼准则的阻尼为比例阻尼。后来，Clough等人给出了比例阻尼的更一般的判别准则。
7粘弹性阻尼
振动控制领域研究粘弹性阻尼器时，许多学者用粘弹性阻尼模型来描述阻尼器中使用的特殊的粘弹性材料特性。这种材料既可作为能量吸收器，又可作为能量恢复器，其粘弹性与应变的频率及温度有关。若设材料的应变为γ=γ0sinωt，应力为σ，则有：
其中，ks(ω)为存储刚度，ki(ω)为损失刚度。
由于结构体系往往是由不同材科构成的（如现代悬索桥），各种材料阻尼特性不同，为了反映结构整体综合效应，有人以某种典型阻尼模型(如粘性阻尼)为基础，对不同材料的阻尼分别进行计算分析，再通过一定原则对所求阻尼值进行加权，而后对结构总体阻尼效果进行分析计算，并将这样计算所得阻尼力称为非典型阻尼力。文献中将这种由结构的各个部件计算结构整体阻尼的算法用在悬索桥的抗震设计计算上。
本文内容摘录整理自中国地震局工程力学研究所博士学位论文《结构阻尼体系地震反应分析方法的研究》，作者：朱敏，指导老师：朱镜清教授。
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