100种分析思维模型之：大数定理

你好，我是林骥。

在我们的日常工作、生活和学习中，经常会面对着各种不确定性的随机事件，此时我们不妨运用统计思维，发现事物背后的规律。

在统计思维的背后，还有一把神奇的钥匙，那就是大数定理。

下面介绍 100 种分析思维模型的第 73 种：大数定理，它能帮助我们更好地理解规律背后的原理，提升预测未来的能力。

1. 为什么学习大数定理？

对于很多人来说，感觉数学很难，不知道学数学有什么用，更不知道怎么用。因此，只停留较低的水平，无法跟日常运用对接起来，结果白白浪费了很多时间和精力。

事实上，在我们的日常生活中，每天都可以用到数学，从简单的加减乘除，到一些复杂的公式定理，只要运用得当，就能发挥出巨大的价值。

我们每天都在面临各种各样的风险，出门有风险，不出门也有风险；吃饭有风险，不吃饭也有风险；坐车有风险，坐飞机也有风险……

风险几乎无处不在，但有些风险是可控的，有些风险是不可控的；有些风险是可预知的，有些风险是不可预知的；有些风险是比较大的，有些风险是比较小的……

其实，我们完全不必「杞人忧天」，只要学会灵活运用大数定理，就可以更合理地评估风险大小，进而做出正确的决策。

如果没有大数定理的话，那么所有的随机实验，以及一切通过统计数据发现事物背后的规律，都将变得没有什么意义。

正是因为有了大数定理，我们才可以通过现实观察到的数据，去预测未知的事物，并且因此有了科学理论的支撑。

总之，通过学习大数定理，可以帮助我们正确地理解和分析数据，预测随机事件发生的规律，避免被事物的表象所误导，提高数据分析和科学决策的能力，进而提升我们的认知水平。

2. 什么是大数定理？

大数定理是概率论与数理统计中的一个基本定理，它的核心思想是：如果进行多次随机试验，只要样本数量越多，它们的平均值就越趋近于数学期望值。

比如，在抛硬币的试验中，正常情况下出现正面的概率是 50%，按照大数定理，抛硬币的次数越多，出现正面的次数就越趋近于总次数的 50%。

假如你抛 10 次硬币，出现了 8 次正面，这并不能说明硬币有问题，或者说大数定理有问题，也许是因为你抛的次数还不够多。当你抛的次数足够多之后，正常情况下都会回归均值的。

下面我用 Python 代码模拟了抛硬币的过程：

import numpy as np
import scipy.stats as st
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt

# 防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'simHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False

# 定义次数和范围
n = 1000
x = np.arange(1, n+1, 1)
# 定义数组：出现正面的比例
y = []
# 循环计算
for i in x:
    data = st.bernoulli.rvs(size=i, p=0.5) # 伯努利分布数据
    y.append(sum(data)/len(data)) # 追加出现正面的比例

# 设置图表的大小
plt.figure(figsize=(18.8, 8))

# 作图设置
plt.xlabel('抛硬币次数', fontsize=20)
plt.ylabel('出现正面的比例', fontsize=20)
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=16)

# 作图并展示
plt.plot(x,y)
plt.plot([n,0.5], [0.5,0.5], 'r') # 均值参考线
plt.show()

运行结果如下：

从图中可以直观地看出，随着抛硬币次数的增加，出现正面的比例越来越趋近于 0.5。

大数定理有多种不同的形式，包括伯努利大数定理、切比雪夫大数定理、辛钦大数定理、波莱尔大数定理、柯尔莫哥洛夫大数定理等。

不同的大数定理，在前提假设方面略有差异，在结论的深度和角度等方面也有所不同，但它们都经过数学家的严格证明，否则就只能叫「大数定律」。

严格来说，定理与定律是有区别的。

定理是经过逻辑推理或严格证明的原理，不允许有例外情况。比如平面几何中的勾股定理，无论直角三角形怎么变，两条直角边的平方和，一定等于斜边的平方。

定律是通过观察或实验获得的经验规律，在一定条件下可能会失效。比如牛顿的经典力学三大定律，在微观环境下可能不成立。

尽管定理与定律的概念略有不同，但是由于在「大数定理」被数学家严格证明之前，人们已经习惯称之为「大数定律」。所以，现在人们所说的「大数定律」，通常就是指「大数定理」。

3. 怎么运用大数定理？

无论是在工作中，还是在生活中，大数定理都为我们提供了一种应对不确定性的方法。

我们可以把运用大数定理，去发现一些事物背后的规律，从而帮助我们做出正确的判断和决策。

比如，通过量化自己的时间价值，假设你每小时的价值是 1000 元，现在有一件事情，需要你花 1 个小时，有 20% 的可能性获得 8000 元的收益，另外有 80% 的可能性收益为 0 元，那么这件事是否值得去做呢？

答案是肯定的，因为做这件事的数学期望是 20%*8000=1600 元，明显高于你的时间价值。虽然有 80% 的可能性浪费一个小时的时间，但是按照大数定理，长期来看，这样的事情做得越多，就越有可能获得更多的收益。

运用大数定理，核心不在于梳理已知的事实，而在于推断未知的可能性。

在推断未知的过程中，你可能需要用到贝叶斯思维，就是从过去已知条件出发，去推测未来事件发生的概率。

这有点像福尔摩斯探案的过程，当他发现在凶手作案的时间里，平常见人就叫的狗却没有叫，因此推断出肯定是熟人作案。

运用大数定理，当一件大概率应该发生的事情没有发生时，其中肯定存在某种原因，你在经过分析和排查之后，也许就能揭示其中的真相。

最后的话

数据的应用离不开统计学，而大数定理是统计学的基石，它保障了概率思维和统计思维的科学性和实用性，让我们能够更好地认识世界的规律，进而做出更加合理的决策。

有些人喜欢认真做好每一件小事，虽然短期来看收益比较小，但是大概率能够成功，经过时间的日积月累，就有可能形成复利效应。

另外有些人则喜欢潜心做一件大事，虽然成功率比较低，但是一旦成功，收益非常高。

无论你选择做哪种人，只要符合大数定理，最终都有可能获得自己想要的结果。

然而，有些人却违背大数定理去做事。比如，想要靠赌博发家致富，这几乎是不可能的，因为赌场早已算准了赌徒输钱的概率。

一个人的认知，决定了一个行为。如果我们学会运用大数定理，也许就不会去做赌博和盲目投资之类的傻事了。

人只能赚到自己认知范围之内的钱，凭运气赢得的财富，最后都会凭实力输回去。

只有努力提升自己的认知水平，从过去收集数据，到现在分析思考，再到未来指导行动，做好风险的管控，才能让生活变得更加幸福。

延伸学习：

《刘嘉概率论通识讲义》（刘嘉，2021年）

《30 天认知训练营》（王烁，2020年）

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