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北师大版九下数学2.4 二次函数的应用 知识点精讲

全册精讲+→ 班班通教学系统 2022-04-10

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1.1 锐角三角函数

1.2 30°,45°,60°角的三角函数值

1.3 三角函数的计算

1.4 解直角三角形

1.5 三角函数的应用

1.6 利用三角函数测高

2.1 二次函数

2.2 二次函数的图象与性质

2.3 确定二次函数的表达式

知识点总结


一.二次函数的最值:

 

1.如果自变量的取值是全体实数,那么二次函数在图象顶点处取到最大值(或最小值)。

 

 这时有两种方法求最值:一种是利用顶点坐标公式,一种是利用配方计算。

 

 二.二次函数与一元二次方程、二次三项式的关系

 

 三.二次函数的实际应用

 

 在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中,有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题,它们都有可能用到二次函数关系,用到二次函数的最值。

 

 那么解决这类问题的一般步骤是:

 

 第一步:设自变量;

 

 第二步:建立函数解析式;

 

 第三步:确定自变量取值范围;

 

 第四步:根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。

 

 常见考法

 

 (1)考查一些带约束条件的二次函数最值;

 

 (2)结合二次函数考查一些创新问题。


线( )对称,顶点坐标为( , ).

⑴ 当a0时,抛物线开口向( ) ,有最( )(填高或低)点, 当X= ( )时, 有最( )(大或小)值是( ) ;

⑵ 当a0时,抛物线开口向( ),有最( )(填高或低)点, 当X=( )时, 有最( )(大或小)值是( ).

【典型例题】

例1 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP=3米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米,离柱子OP的距离为1米.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?


典型习题精析

典型例题分析1:


某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件,试营销阶段发现:当销售单价25元/件时,每天的销售量是250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.


(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;


(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大;


(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案:


方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;


方案B:每件文具的利润不低于为25元且不高于29元.


请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.


解:(1)由题意得,销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500,

则w=(x﹣20)(﹣10x+500)

=﹣10x2+700x﹣10000;


(2)w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10(x﹣35)2+2250.

∵﹣10<0,

∴函数图象开口向下,w有最大值,

当x=35时,w最大=2250,

故当单价为35元时,该文具每天的利润最大;


(3)A方案利润高.理由如下:

A方案中:20<x≤30,

故当x=30时,w有最大值,

此时wA=2000;

B方案中:

故x的取值范围为:45≤x≤49,

∵函数w=﹣10(x﹣35)2+2250,对称轴为直线x=35,

∴当x=35时,w有最大值,

此时wB=1250,

∵wA>wB,

∴A方案利润更高.


考点分析:二次函数的应用;一元二次方程的应用.


题干分析:

(1)根据利润=(销售单价﹣进价)×销售量,列出函数关系式即可;


(2)根据(1)式列出的函数关系式,运用配方法求最大值;


(3)分别求出方案A、B中x的取值范围,然后分别求出A、B方案的最大利润,然后进行比较。


这是一道与二次函数有关的实际应用问题,贴近生活,考生能学习生活知识,同时更帮助学生理解数学知识和生活之间的关系。研究题目,吃透题型是数学学习最有效,最实际的学习探究行为。从题目中挖掘知识点和方法技巧,提炼解题方法,概括题型,这样数学学习才能越学越有效,越学越轻松。


现代数学教育要求学生能体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用数学知识和方法技巧解决问题的能力。在近几年的中考数学试题中,经常出现与二次函数有关的实际应用问题,此类题型,有时候因其条件多,题目长,很多同学无从下手,难以快速找到解题思路。


典型例题分析2:


星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.


(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;


(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;


(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.



则S=xy=x(30﹣2x)=﹣2x2+30x,

∴S=﹣2(x﹣7.5)2+112.5,

由(1)知,6≤x<15,

∴当x=7.5时,S最大值=112.5,

即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时,

这个苗圃园的面积最大,这个最大值为112.5.


(3)∵这个苗圃园的面积不小于88平方米,

即﹣2(x﹣7.5)2+112.5≥88,

∴4≤x≤11.

∴x的取值范围为4≤x≤11.

考点分析:

二次函数的应用。


题干分析:

(1)根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x<15;


(2)设矩形苗圃园的面积为S,由S=xy,即可求得S与x的函数关系式,根据二次函数的最值问题,即可求得这个苗圃园的面积最大值;


(3)根据题意得﹣2(x﹣7.5)2+112.5≥88,根据图象,即可求得x的取值范围。解题反思:


此题考查了二次函数的实际应用问题,解题的关键是根据题意构建二次函数模型,然后根据二次函数的性质求解即可。


典型例题分析3:


某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.


(1) 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;


(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;


(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.


已知产销两种产品的有关信息如下表:

解:(1) y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);

(2)甲产品:∵3≤a≤5,

∴6-a>0,

∴y1随x的增大而增大.

∴当x=200时,y1max=1180-200a(3≤a≤5)

乙产品:y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80)

∴当0<x≤80时,y2随x的增大而增大.

当x=80时,y2max=440(万元).

∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;


(3)1180-200>440,

解得3≤a<3.7时,此时选择甲产品;

1180-200=440,

解得a=3.7时,

此时选择甲乙产品;

1180-200<440,

解得3.7<a≤5时,此时选择乙产品.

∴当3≤a<3.7时,生产甲产品的利润高;

当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同;

当3.7<a≤5时,上产乙产品的利润高.


考点分析:二次函数的应用,一次函数的应用


题干分析:

(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200),y2=-0.05x²+10x-40(0<x≤80);


(2) 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元;


(3)当3≤a<3.7时,选择甲产品;当a=3.7时,选择甲乙产品;当3.7<a≤5时,选择乙产品。


在数学学习过程,大家应学会在具体的情境中,从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,提高应用意识,提高实践能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

一、几何图形

在抛物线背景下的几何综合问题主要特点是包含的知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活,要求学生熟练掌握三角形、四边形、圆、三角函数等几何知识,较熟练地应用方程与不等式、分类讨论、数形结合等常见的数学思想.

 

点击看大图

分析:

(1)利用正方形的性质及边长,可求出B、C的坐标,就可得出抛物线的对称轴,再将点C的坐标代入解析式,求出函数解析式,然后求出其顶点坐标。

(2)由y=0求出x的值,得出抛物线与x轴的两交点坐标,再观察函数图像,当y>0时,就是看x轴上方的图像,就可得出x的取值范围。

(3)利用二次函数的性质及M的取值范围,就可得出答案


二、销售问题

解决这种问题时,要会根据问题情境建立一个二次函数模型,利用配方法分析函数最值,依据题目限定情况,确定适合题目需求的最值答案。


 点击看大图▲

分析:

(1)根据题意直接写出y与x之间的函数解析式

(2)利用利润=每一件的利润*销售量y。列出函数解析式,将函数解析式转化为顶点式,利用二次函数的性质可解答


三、百分率问题


例题:某纸厂第一年的利润为50万元,如果每一年比上一年的利润增长率相同,都是x,则第三年的利润为___________


分析根据第三年的利润=第一年的利润*(1+增长率)²     


四、动点问题

动点问题一般都是考试热点,考察探究运动过程中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。



分析:

(1)将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值。

(2)根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标。Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得


(3)本题要分情况考虑:

①PQ=BP,此时BH=QH=1/2BQ,在(2)中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值。

②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值

③PQ=BQ,已经求得BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值



在解二次函数这类型题目时,同学们需要掌握这转化、建模、运动思想。


01转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。


1、方案设计最优问题:费用最低?利润最大?储量最大?等等。

2、面积最优化问题:全面观察几何图形的结构特征,挖掘出相应的内在联系,列出包含函数,自变量在内的等式,转化为函数解析式,求最值问题。


02建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。


1、建立图像模型:自主建立平面直角坐标系,构造二次函数关系式解决实际问题。

2、方程模型和不等式模型:根据实际问题中的数量关系,列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。

3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。


03运动思想————图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。04分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到。


【最值的确定方法】

1.二次函数在没有范围条件下的最值:

二次函数的一般式化成顶点式,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).


2.二次函数在有范围条件下的最值:

如果自变量的取值范围是,如果顶点在自变量的取值范围内,则当,,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性。


每日一题

已知:如图,二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求出对称轴和顶点坐标。


习题答案

(1) 90人;

(2) 


试题分析:

(1)利用样本估计总体,用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数;

(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出他和小慧被分到同一个班的结果数,然后根据概率公式求解。


试题解析:

(1)480×=90,

估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人;

(2)画树状图为:

共有6种等可能的结果数,其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2,

所以他和小慧被分到同一个班的概率=


如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始,沿AB向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC以2厘米/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发:
(1)几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米?
(2)若用S表示四边形APQC的面积,在经过多长时间S取得最小值?并求出最小值.



习题答案

如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是 (  )





D

【解析】

因为AB切⊙O于A,

所以∠PAB=90°


在Rt△PAB中,AP=2-x,∠APB=60°

∵tan 60°=

∴AB=(2-x)·

∴y= (2-x)2

∴y= (x-2)2且0≤x<2.


已知:如图,二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求出对称轴和顶点坐标。


习题答案

(1)抛物线的解析式为

(2)对称轴x=2, 顶点坐标 (2,9)


试题分析:

(1)把三点代入函数解析式列出三元一次方程组,从而得出函数解析式;

(2)根据函数解析式求出点B和点M的坐标,然后作ME⊥y轴于点E,根据△MCB的面积=梯形EDBM的面积-△ECM的面积-△COB的面积得出答案。


试题解析:

(1)依题意:

(2)令y=0,得(x-5)(x+1)=0,x1=5,x2=-1 ∴B(5,0)

,得M(2,9) 作ME⊥y轴于点E,

可得S△MCB=15.


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