高中数学《4.3 对数函数》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

对数函数

(一）对数

1、对数的概念

一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，

记作：

2、两个重要的对数

①常用对数：以10为底的对数1gN；

②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数1nN。

(二）对数的运算性质

如果a>0，且a ≠1 , M >0 , N>0，那么：

注意：换底公式

(三）对数函数

1、对数函数的概念

函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是

2、对数函数的性质

解决对数型复合函数单调性问题应注意：

解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性;三是要注意其定义域。

结论:函数y=loga(x)(a>0,且a≠1)的单调性与函数u=f(x)[f(x)>0]的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反。

易错防范

易错1 忽视对数函数的定义域致错

满分策略

对数型函数是考查定义域问题的重点函数。因此,在解决真数中含参数的对数问题时,一定要保证真数大于0。忽略这一点,可能会使所求参数范围扩大致误。

易错2 忽视对对数的底数进行讨论

满分策略

在解决底数中含有字母的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论。忽略底数a对函数y=l0gax(a>0,且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解,一般分a>1与0<a<1两种情况进行讨论。

易错3 忽视变形时的等价变换

满分策略

研究函数的有关性质时,我们不仅要关注转化、变形后的函数解析式有意义,更要关注题目中提供的原始条件的有关式子有意义。

易错4 不会讨论复合函数的单调性

满分策略

由于函数的单调性是一个局部概念,单调区间是定义域的一个子区间,因此,在解答函数的单调性问题时,必须首先考虑函数的定义域。与对数函数有关的函数单调性,往往是与一次函数、二次函数复合而成,要注意复合过程中“同增异减”原则,同时与函数单调性有关的问题，需要依题意灵活判断。

视频教学：

练习：

课件：

教案：

教材分析

    本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。

 教学目标与核心素养

课程目标

1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；

3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

数学学科素养

    1.数学抽象：对数函数的图像与性质；

    2.逻辑推理：图像平移问题；

    3.数学运算：求函数的定义域与值域；

    4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；

    5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

 教学重难点

重点：对数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．

 课前准备

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

 教学过程

一、 情景导入

 请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本132-133页，思考并完成以下问题

1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？

2. 反函数的概念是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．对数函数的图象及性质

[点睛]　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

2．反函数

指数函数y＝a^x和对数函数y＝log_ax(a＞0且a≠1)互为反函数．

四、典例分析、举一反三

题型一    对数函数的图象

(3)从(2)的图中你发现了什么?

【答案】见解析

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).

由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).

题型二   比较对数值的大小

例2 比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log₂3.4，log₂8.5；

(2)log_0.31.8，log_0.32.7；

(3)log_a5.1，log_a5.9(a＞0，且a≠1)．

【答案】(1)  log₂3.4＜log₂8.5 (2) log_0.31.8＞log_0.32.7   （3）当a＞1时，log_a5.1＜log_a5.9；当0＜a＜1时，log_a5.1＞log_a5.9.

【解析】(1)考察对数函数y＝log₂x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log₂3.4＜log₂8.5.

(2)考察对数函数y＝log_0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log_0.31.8＞log_0.32.7.

(3)当a＞1时，y＝log_ax在(0，＋∞)上是增函数，于是log_a5.1＜log_a5.9；

当0＜a＜1时，y＝log_ax在(0，＋∞)上是减函数，于是log_a5.1＞log_a5.9.

解题技巧：（比较对数值大小时常用的4种方法）

(1)同底的利用对数函数的单调性．

(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．

(3) 底数和真数都不同，找中间量．

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．

跟踪训练二

1．比较下列各题中两个值的大小：

(1)lg 6，lg 8；　　　　　 (2)log_0.56，log_0.54；

(3)log2与log2;  (4)log₂3与log₅4.

【答案】（1）lg 6＜lg 8（2）log_0.56＜log _0.54（3）log2<log2（4）log₂3＞log₅4.

【解析】(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.

(2)因为函数y＝log_0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log_0.56＜log _0.54.

题型三   比较对数值的大小

解题技巧：（常见对数不等式的2种解法）

(1)形如log_ax＞log_ab的不等式，借助y＝log_ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．(2)形如log_ax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝log_ax的单调性求解.

跟踪训练三

1．已知log_a(3a－1)恒为正，求a的取值范围．

题型四   有关对数型函数的值域与最值问题

例4 求下列函数的值域．

(1)y＝log₂(x²＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x²)．

解题技巧：（对数型函数的值域与最值）

(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．

(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．

跟踪训练四

1．已知f(x)＝2＋log₃x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]²＋f(x²)的最大值及此时x的值．

【答案】当x＝3时，y取得最大值，为13.

【解析】y＝[f(x)]²＋f(x²)＝(2＋log₃x)²＋log₃x²＋2＝(log₃x)²＋6log₃x＋6＝(log₃x＋3)²－3.

∵f(x)的定义域为[1,9]，

∴y＝[f(x)]²＋f(x²)中，x必须满足1≤x2≤9，1≤x≤9，

∴1≤x≤3，∴0≤log₃x≤1，∴6≤y≤13.

∴当x＝3时，y取得最大值，为13.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本140页习题4.4

 教学反思

本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养. 

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