初中数学《6.3 一次函数的图像》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

一次函数的图像及性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

视频教学：

练习：

1．小刚从家出发徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍，设他从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），则s与t之间的关系大致可以用图象表示为（　　）

A． B．

C． D．

2．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（　　）

A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱

B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多

C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱

D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长

3．周末，小芳骑电动车到郊外游玩，她从家出发先到甲地，玩一段时间后按原速继续前往乙地．刚到达乙地，就接到家里电话，立即返回．图中x（时）表示时间，y（千米）表示小芳离家的距离．根据图中的信息，下列说法正确的是（　　）

A．小芳在甲地玩了1.5小时

B．小芳家与甲地距离10千米

C．小芳从甲地出发到乙地的平均速度是10千米/时

D．甲、乙两地相距30千米

4．如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度h与注水时间t之间关系的图象的是（　　）

A． B．

C． D．

5．直线l：y＝kx+b的函数图象如图所示，则对k和b的符号判断正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

课件：

教案：

课题	6.3 一次函数的图像(1)
教材分析	本节课教材中主要涉及的知识点是如何画一次函数图像，培养学生画图技能，培养学生观察比较、猜想归纳的能力，培养学生从数形结合的角度看待函数问题。
学情分析	本节课之前学生已经学习了平面直角坐标系，知道了点和有序数对的对应关系，初步了解了平面直角坐标系是数与形之间的桥梁。在本章6.1和6.2中学习了函数图像的概念和一次函数的概念。本节课预期教学效果：效果一：让学生知道一次函数图像是一条直线。效果二：让学生学会画函数图像的一般方法，知道可以通过几何画板和EXCEL探索函数图像。效果三：通过引导学生初步思考一次函数图像是否是一条直线，引导学生的探究意识，让学生自主讨论探索经历作图的过程，掌握描点法画函数图像，使学生学会用观察、分析、比较、归纳、总结等方法探索数学知识。
教学目标	1、知识与技能：知道一次函数的图像是一条直线；初步了解作函数图像的一般步骤，并会选取两个适当的点画一次函数的图像 2、过程与方法：利用转化思想，将画函数图像转化为描点，让学生经历由函数关系式到图像，从图像到关系式的过程，培养学生从数与形两个角度看待一次函数，渗透数形结合的思想方法；进一步培养学生通过转化的方法解决未知问题的能力。 3、情感态度价值观：通过讨论一次函数图像为什么是条直线，为什么不用曲线连线，培养学生勇于思考，大胆质疑的精神，养成独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。 4、学科核心素养发展：学生经历描两个点，五个点，足够多的点的过程，合理猜想一次函数图像，发展学生合情推理能力及归纳总结的能力。
教学重难点	教学重点：会用两点法画一次函数图像教学难点：探究一次函数图像是否是一条直线
信息技术与学科教学的融合	1、PPT、几何画板、EXCEL辅助教学 2、如果需要利用信息技术辅助教学，那么哪些教学环节需要信息技术融合学科教学？融合到什么程度要考虑清楚。
教学环节	教学过程	设计意图
环节一：复习引入环节二：探索新知环节三：应用新知环节四：课堂小结环节五：拓展延伸	问题1．在平面直角坐标系中，描出下列各点的位置： A(4，1)，B(－1，4)，C(－4，－2)，D(3，－2)，E(0，1 )，F( －4，0 ) ．问题2．写出点G的坐标教师提问：有序数对在平面直角坐标系中是以点的形式呈现的，那么本章我们学习的函数关系在平面直角坐标系中是以怎样的形式呈现的呢？生：函数图像师：什么是函数图像呢？（学生思考片刻，PPT显示潮位图）我们前面所学的潮位图反映的就是一天中潮位与时间之间的函数关系，它是怎么得到的呢？试一试：请同学们尝试在平面直角坐标系中画一画一次函数y=2x+1的图像（大部分学生都能画出函数图像，有些描了多个点，有些描了两个点，和教师课前的预期一致）教师提问没画出来的同学1：这个问题难在哪？生：不知道图像是什么。教师把这个学生的问题提给全班学生：如何解决这个难点？有同学小声回答：描点。教师提示：数学中当遇到困难，没有学过的问题时，有一个非常重要的数学思想——转化，将困难的问题转化为简单问题，将没学过的问题转化为学过的问题，虽然我们不知道一次函数y=2x+1的图像，但是图像一定是由点组成的，因此可以将画函数图像的问题转化为画点的问题。现在你们知道如何画这个函数的图像了吗？生：描点。教师请一位画出图像的同学交流如何画一次函数y=2x+1的图像，该同学用的是两点法，分别描出（0,1）、（-0.5,0），然后画出过这两点的直线。教师提出几个问题和同学们探讨：这两个点的坐标是如何确定的？生：令x=0，求出y的值是1，令y=0，求出x=-0.5。（这实际上就是简单的列表）师：能不能说这个一次函数的图像就是这两个点？（考虑完整性）生：不能，比如我令x=1，则y=3，（1,3）也是这个函数图像上的点。师：这样的点有多少个？生：无数个。（教师再请同学举几个例子）师：一次函数y=2x+1的图像实际上是无数个满足该一次函数关系的点组成的图形。师：你为什么要用直线来连线？生：因为一次函数图像是一条直线？师：同学们思考一下，一次函数图像为什么是条直线？生1：书上写的。生2：小学老师教的，学正比例图像的时候就是一条直线。生3：因为两点确定一条直线。师：点和点之间不能用曲线连吗？（对于上述问题，教师希望学生能够说出是通过描点猜想出来的，但是学生经过讨论仍然没有想法，说明一次函数图像是一条直线仅仅通过预习就已经能在学生脑中留下深刻印象，另一方面也反映了学生缺乏独立思考的能力，缺乏质疑精神。）师：一次函数y=2x+1的图像是条直线是通过猜想得来的，当然，只描两个点来猜想得话不合适，描点越多越好，但是我们无法把所有点都描出来，因此我们要借助信息化手段帮助我们描出足够多的点。利用几何画板建立参数，从（-8，-15）开始横坐标每隔0.1取一个坐标直到（8，17），并描出。通过几何画板描点，学生能够合理猜想该函数图像是条直线。（这里也可以利用EXCEL画散点图，但是效果没有几何画板清晰，震撼。这里也没有用实验手册上的追踪点的方法画连续的图像，因为现阶段学生对于连续性这件事还是理解有困难的，高中课本上研究函数图像也只用了EXCEL列表画散点图。）合理猜想：一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图像是一条直线（板书）（由于书中没有证明一次函数图像是条直线，所以教师在教学中这里也没有涉及证明，证明作为课后阅读材料提供给学生，并且需要用到以后学到的知识。）例1 请你根据已有经验，在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像．（有些学生用了两点法，有些学生描了多个点，教师请描多个点的同学介绍画法，板书列表、描点、连线的过程，并请同学思考是否有更简单的画法。有同学马上想到两点法，教师进一步提问取哪两个点，学生认为取与坐标轴的交点比较简便。）试判断：在点A（2，5）、B（－1，6）、 C（3，12）、D（－2，3）、E（5，-12）中，哪些点在此函数的图像上？归纳：画一次函数图像的一般步骤是什么？列表、描点、连线（板书）变式：请你在平面直角坐标系中画正比例函数y＝2x的图像．（学生通过画正比例函数图像，一方面巩固一次函数图像画法，另一方面，通过观察发现正比例函数图像的重要特征：是过原点的一条直线。）例2 请你在平面直角坐标系中画正比例函数y＝2x的图像．引导学生从两个方面总结：1、本节课学习的内容。2、本节课涉及的重要思想。3、本节课研究数学问题的方式。学生自主思考并总结，教师将学生总结的内容以关键词的形式呈现在黑板上。（有同学总结到对于一次函数可以从数和形两个角度看待。也有同学总结到一次函数的图像实际上是无数满足函数关系的点的组合而不仅仅是一条直线，还有同学总结出转化思想。）教师向同学介绍如何用EXCEL列表，选足够多的数对，描点探究一次函数图像的方法。课后留了一个反比例函数和一个二次函数让学生回去探索它们的图像。	本环节通过让学生回忆根据坐标描点及根据点些坐标，将数与形联系起来，而平面直角坐标系正是数形结合的桥梁。下面一组提问将问题进一步延伸到本章所学的函数中，将函数关系与其图像联系起来，并让同学回忆起函数图像的概念，为本节课描点画函数图像做铺垫。由于学生小学里已经接触过正比例的图像，学生也在课前利用洋葱数学中的微课预习过本节内容，并且函数图像的概念在前面也已经学过，因此该环节的第一个问题“试一试”比较开放，直接让学生尝试画图。这里利用几何画板描点，一方面是教学需要，另一方面也在教学生利用信息化手段研究数学，培养学生信息化素养，如果在未来教室环境下，小组可以合作利用几何画板再画一个一次函数图像，但实际上课的时候时间不够，没有进行这个环节。学生根据已有经验自主完成，并进一步发现两点法。让学生判断已知点是否在图像上是对描点法的巩固。至此，学生已经画了两至三幅函数图像了，通过让学生归纳图像的一般画法，培养学生的数学归纳和总结的能力。例2一方面培养学生观察一次函数图像的能力，直线与坐标轴交点是重要的两个点，另一方面复习了待定系数法，并将课堂引入时函数关系式与函数图像的关系补充完整，平面直角坐标系中的函数图像可以用函数表达式来描述，从形又回到了数，数形关系又统一起来了。最后还剩3分钟，不适合再拓展难的问题了，因此教师选择介绍EXCEL描点的方法，培养学生自主探究问题的兴趣和能力，提高学生的信息化素养。
板　　书　　设　　计
转化思想数形结合合理猜想：一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图像是一条直线列表、描点、连线		学生归纳总结
教学反思一次函数图像是初中阶段接触的第一个函数图像，对这个函数图像的研究直接影响学生对反比例函数及二次函数图像的学习，是非常重要的内容。因此，对于一次函数图像是一条直线这个问题一定要讲透彻，而不能停留在学生知道结果的层面上。整堂课的设计围绕着数形结合这一重要的数学思想展开，将点——无数个点——线通过一个个问题有逻辑性的联系起来，让学生通过操作，观察，思考，质疑，反思，体会数与形之间的联系，体会点与线之间的联系，从而加深学生对于这一知识的理解。本节课整个探究过程是站在学生的角度设计的，力求让学生能够通过独立思考、小组集体思考，通过自己的努力探索问题的本质，而不只是满足于老师单方面的告知，激发学生研究问题的积极性。但是课后与学生交流过程中，成绩优秀的同学反映很喜欢这种自主讨论研究问题的学习方式，而成绩中等及偏弱的学生则还是希望老师能直接告知结果，多下的时间增加练习的讲解，因为他们缺乏独立思考问题的习惯和能力。这两种不同的反应让我也不得不反思，以学生为中心的教学究竟是什么？我是否只是以一部分愿意思考的学生为中心？不同学生对于教师的教有不同的需求，如何满足所有学生的需求可能还是要借助信息化手段，把机械的，讲授性的问题放在课前和课后，通过微课解决，而将探究性的问题放在课内，在老师的引导下解决。这节课我在未来教室的环境下使用了PPT，几何画板，EXCEL等多种软件来实现我的教学目的，不得不说，没有现代化的教学软件的支撑，有些教学内容是无法高效的讲解清楚的。那么，信息化究竟应该融合到什么程度呢？我觉得一切看课的内容需要，看学生需要，是否有利于学生理解问题，是否有利于学生探究问题，能否提高学生解决问题的能力。而不能一味迷信信息技术，哗众取宠，偏离信息化的本质——以人为本。