高中数学《5.4 统计与概率的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
【统计】
1
科学记数法：
一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。
2
各类统计图的优劣：
◆ 条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目，对比之间的关系，但是对个体占总体的百分比较为模糊；
◆ 折线统计图：能清楚反映事物的变化情况，分析事物的发展趋势，对个体的具体数量和占比较为模糊；
◆ 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，较难反映事物的发展变化趋势。
3
近似数字和有效数字：
①测量的结果都是近似的。
②利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
③对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
4
常用概念
平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量。
■（1）平均数：对于N个数X1，X2…XN，我们把（X1+X2+…+XN）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X（上边一横）。
■（2）中位数：N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
■（3）众数：一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。
5
调查：
◆（1）全面调查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。
◆（2）抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
抽样调查只考察总体中的一部分个体，调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。
①简单随机抽样：通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每个个体被抽到的概率相等，常用抽签法和随机数表法。
②系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分为均衡的几部分，按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，这种方法也成为机械抽样。
③分层抽样：当总体是由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，按照各部分所占的比进行抽样。
6
频数与频率：
每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。
【概率】
一般在一次试验中有两个因素时，用列表法较为简单直观；当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法。
例如：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的情况下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率等，则游戏公平，否则不公平。
1
事件的可能性：
必然事件：能确定一定会发生；
不可能事件：肯定一定不会发生；
不确定事件：无法肯定他会不会发生。
2
概率：
①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。
②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。
③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；
不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；
如果A为不确定事件，记作P（A）=P。
视频教学：
练习：
典型例题分析一
题目：在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 .
（1）求口袋中红球的个数.
（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸得两个球且得2分的概率。
解：
解题反思：此题考查了树状图求概率，注意树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。
典型例题分析二
题目：近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图。
根据以上图表信息，解答以下问题：
（1）统计表中的m = __________；
（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为__________度；
（3）从这次接受调查的学生中随即调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？
解：
（1）调查的总数为：100 ÷ 50% = 200（人）
则影响很大的人数为：200 - 100 - 60 = 40（人）；
（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360° × 60/200 = 108°；
（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：40/200 = 0.2；
答：持“影响很大”看法的概率是0.2。
解题反思：本题考查了扇形统计图的综合运用。读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键。
典型例题分析三
题目：在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°．有如下五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤，其正面分别写有五个不同的等式，小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．请结合以上条件，解答下列问题。
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用①、②、③、④、⑤表示）；
（2）用两次摸牌的结果和∠C=∠F=90°作为条件，求能满足△ABC和△DEF全等的概率。
解：
（1）列表如下：
∴ 两次摸牌所有可能出现的结果共有20种（用树状图解参照给分）。
解题反思：本题考查了列表法和树状图法求概率及全等三角形的判定。树状图法适合两步或两步以上完成的事件。解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验。用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。
总的来说，同学们在做统计与概率的题目时，除了要注意审清题目要求什么之外，还要注意计算过程不要出现错误，抄错数字这种粗心大意的错误千万不能出现！
课件：
教案：
【课标导航】
1．明确随机事件发生的不稳定性和概率的稳定性，进一步明确概率和频率的区别。
2．会使用互斥事件概率加法公式和古典概型概率公式求概率。
3．能运用模拟方法估计事件发生的概率，体会几何概型的含义。
重点：利用概率知识解决实际问题；
难点：把实际问题转化为与概率有关的问题，用概率和数学的方法来分析和解决问题。
【知识导引】
随机事件的概率和频率有什么区别和联系？概率加法公式的应用条件是什么？如何区分古典概型和几何概型？它们又有什么联系？
【自学导拨】
1．用古典概型来求随机事件的概率时，应首先确认各个试验结果出现的可能性是 ，试验结果的个数是 ，然后通过一个 来确定随机事件的概率。
2．处理较复杂问题的概率，要合理运用 ，进行分类讨论或者是考虑问题的对立面。
3．几何概型的问题解决的关键是构造出事件对应的 ，利用几何图形的
来求随机事件的概率。
【教材导学】
【例1】：．在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，裁判员拿出一个象大硬币似的均匀塑料圆板抽签器，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜抛出的抽签器落到球台上时，是红圈朝上还是绿圈朝上，如果他猜对了就由他发球，否则由对方发球，请就裁判员的这一做法作出解释
．
【点拨】：只要是这种做法能是而运动员的发球机会均等，就是公平的。
【解析】：这样做体现了公平性，它使得两名运动员先发球的机会是等可能的，用概率的语言描述就是两个运动员取得发球权的概率都是0.5，∴这个规则是公平的．
【反思】：游戏规则的公平性问题涉及到概率发生是否相等的问题，因此这样的问题一般转化成概率问题解决。
【变式练习1】：下面给出的游戏规则，哪些是公平的？
(1)抛掷一枚均匀硬币，正面朝上甲胜，反面朝上乙胜．
(2)抛掷两枚均匀硬币，朝上一面相同甲胜，朝上一面一正一反乙胜．
(3)抛掷一枚均匀骰子，出现奇数点甲胜，出现偶数点乙胜．
(4)抛掷一枚均匀骰子，出现小点(1,2,3点)甲胜，出现大点(4,5,6点)乙胜
(5)抛掷两枚均匀骰子，点数相邻(如4,5点)或相同(如1,1点)甲胜，点数不相邻(如1,3点)乙胜
【例2】：为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库。经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾。试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数。
【点拨】：假设每尾鱼被捕到的可能性相同，带记号的鱼在鱼塘中的分布也是均匀的，因此可以得到两个相等的比例式即：捕到的带记号的鱼的数目/带记号鱼的总数=捕到的鱼的数目/鱼的总数，从而可以估计出池塘中鱼的总数。
【解析】：设水库中鱼的尾数为n，从水库中任捕一尾，每尾鱼被捕的频率（代替概率）为
【反思】：本题是利用了概率和频率的联系，用频率近似的表示概率。
【变式练习2】：深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司：红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%，据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认颜色的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由
【例3】已知集合A＝{x|－3<< span="">x<1}，< span="">B＝
(1)求A∩B，A∪B；
(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
(3)设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b－a∈A∪B”的概率
【点拨】：（1）在一个区间上任取一数，取到每一个数的可能性都是相同的，显然是几何概型（2）该随机试验的结果满足有限性和等可能性两个条件，是古典概型，可用古典概型的知识解决。
【解析】：解：(1)由已知B＝{x|－2<< span="">x<3}，< span=""> A∩B＝{x|－2<< span="">x<1}，< span="">A∪B＝{x|－3<< span="">x<3}．< span="">
(2)设事件“x∈A∩B”的概率为P1，其几何度量是区间（-2,1）的长度，区域
(3)该试验包含的基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E为“b－a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，事件E的概率P(E)＝912＝34.
【反思】解决几何概型问题的关键是善于将问题转化成合适的“几何度量问题”，解决古典概型的关键是将基本事件空间和随机事件包含的基本事件不重不漏的列举出来。
【变式练习3】：在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种洗涤剂时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为1,2,3,4,5,6的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于6的概率．
【思悟小结】
（由学生完成）
【基础导测】
1．从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为
( )
A.13 B.12 C.23 D.35
2．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为
( )
A.15 B.25 C.310 D.710
3．在120个零件中，有一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的一个样本，则每个个体被抽到的概率为
( )
A.1120 B.120 C.160 D.16
4．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是( )
A．0.30 B．0.50
C．0.80 D．0.70
5．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一球，摸出白球的概率为0.23，那么摸出黑球的概率为________，摸出红球或黑球的概率为________．
6．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是____
7．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由。
8．为了调查某森林内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从森林捕捉松鼠100只，在每只松鼠的的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只．试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量．
【知能提升】
1．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )
A．3.33% B．53%
C．5% D．26%
2．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是( )
A.15 B.14 C.13 D.12
3．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为( )
A.12 B.38 C.58 D．0
4．一只蚂蚁在一直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1cm的概率为( )
A.2)2 B.23 C．2－3 D．2－2
5．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各________个．
6．如图所示中ABCD都是正方形，E、F、G、H分别是AD、BC、AB、CD的中点，三只麻雀分别落到这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板上的任何地方是等可能的，麻雀落到甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P1、P2、P3，则P1、P2、P3的关系是____________．
7．今有长度不等的电阻丝放在一起，已知长度在84～85毫米间的有三条，长度在85～86毫米间的有四条，长度在86～87毫米间的有五条，从中任取一条，求：(1)长度在84～86毫米间的概率；
(2)长度在85～87毫米间的概率．
8．已知直线Ax＋By＋1＝0，若A、B从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率小于0的直线的概率．
9．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5，移栽后成活的概率为0.7,0.9.
(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
【数学探究】
设有一个等边三角形网格，如图所示，等边三角形的边长是4
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