英国数学“教父”并未完全证明黎曼猜想：1张PPT为后来者指路
9 月 24 日，89 岁的数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）终于公布了他对黎曼猜想的“证明”。在 40 多分钟的演讲中， 这个让全世界翘首以待的“证明过程”只占用了 1 张 PPT 和 3 分钟的解释时间——他并未作出全部的证明工作，不少数学界同行学者也对这项“证明”存有疑虑。
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昨天，著名数学家迈克尔·阿蒂亚（Sir Michael Francis Atiyah）爵士终于向全世界展示了他“证明黎曼猜想”的过程。
就在于海德堡举办的 Heidelberg Laureate Forum 上，阿蒂亚爵士作为第二位演讲嘉宾上场，成功让会议主办方的直播视频流崩溃。阿蒂亚爵士开始演讲大概 10 分钟之后，主办方才在其官方推特账号上恢复直播。
在海德堡论坛进行演讲的迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）。 图片来源：The Irish Times
在阿蒂亚 45 分钟的演讲过程中，前 20 多分钟，这位数学家主要分享了一些数学史的内容，并解释了黎曼假说的本质及其与素数的相关性。而其中一些展示也显示了阿蒂亚爵士对此次证明信心满满，在一张片子中，他写道：“如果你证明了质数定理, 你将不朽"。
图 | 海德堡论坛上，阿蒂亚前半部分对数学史进行了一些介绍
之后，他才提到了黎曼猜想的主要证明过程。
在海德堡论坛上，阿蒂亚爵士提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路。其灵感来源于阿蒂亚爵士在 2018 年 ICM 上提出精细结构常数（Fine structure constant）的推演，这是一个物理学上长期存在的数学问题。这一推演过程结合了冯·诺依曼的算子理论及希策布鲁赫创立并证明的代数簇黎曼-罗赫定理，还应用了 Todd 函数参与计算，而这个函数将是证明黎曼猜想的核心。阿蒂亚爵士称，他关于精细结构常数的相关论文已投稿至 Royal Society。介于这篇文章目前还未经过同行审议，一些学者对他的推演过程存疑，同样，也有学者对此次黎曼猜想的证明过程质疑。当然，还一些学者认为，阿蒂亚爵士的思路或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。
而在提到关于证明黎曼猜想的具体细节时，阿蒂亚爵士并未做出证明的全部工作，其思路基于一个物理上未被完全证明的常数，而更多是就自己未尽的事业向数学界的后辈们提出了四点建议。首先，要运用如今最强大的工具，这里的工具不仅限于数学工具，还包括超级计算机甚至是量子计算机，还有其他领域例如物理学界、逻辑学界等的工具；其次，借鉴其他著名猜想，不管是证明了的还是未证明的；其三，需要判断哪些难题是能够高效率完成计算的；最后，老爷子觉得 RH 已经是很难的一个猜想了，证明出其一部分就已经很了不起了，他希望数学界的后辈们能权衡一下，哪些黎曼猜想的方面是我们有时间完成的，做出决定就无悔地去做吧！
图 | 阿蒂亚“证明”黎曼猜想的那一张PPT。
图 | 阿蒂亚爵士对未来数学家的一些建议
这一结果似乎并不出乎意料，其实早在一些论坛上，学者对此次黎曼猜想的证明就不看好。在演讲正式开始前，一份谷歌云盘中的预印本文件已在网上疯传。预印本文章仅有 5 页纸，证明过程如他提交给海德堡论坛的摘要所说十分简单。一些网友表示，在去年的国际数学大会（ICM）上，阿蒂亚爵士就曾出现令人尴尬的场面。甚至有人表示了对阿蒂亚爵士处境的隐隐担忧。也有一些网友调侃，用 20 美元打赌此次证明是错的。
迈克尔·阿蒂亚爵士 1929 年出生于英国伦敦，今年已是 89 岁高龄。
这位英国数学“教父”拥有诸多头衔：双料得主、伦敦皇家学会前主席、爱丁堡皇家学会前主席、剑桥大学三一学院前院长，还受封为爵士。他的早期工作主要集中在代数几何领域。上世纪 60 年代他与艾沙道尔·辛格合作，创立阿蒂亚-辛格指标定理，还和德国拓扑学家弗里德里希·希策布鲁赫共同创立拓扑 K 理论，证明了自己的定理。该定理将分析学与拓扑学联系起来，在复数几何、泛函分析及理论物理中均有深远的应用，被公认为 20 世纪最重要的数学成果之一。因此他获得了 1966 年的菲尔兹奖和 2004 年的阿贝尔奖。
图 | 阿蒂亚 (左) 与希策布鲁赫 (右)
黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于 1859 年在一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文提出关于黎曼函数零点分布的猜想。论文所研究的是经典的质数分布问题。
质数是除了 1 和自身以外不能被其他正整数整除的数，从某种意义上说，质数在数论中的地位类似于物理世界中构筑万物的原子。在实际运用中，质数可以在密码学、安全认证等领域发挥作用。如现通用的 RSA 加密算法，加密计算的第一步是产生两个大质数，对极大整数做因数分解的难度决定了加密的可靠性。故寻找大质数、探寻质数分布的规律，一直是数学界关注的问题。
黎曼发表的论文中，一个重大的成果是发现质数蕴藏在一个特殊函数之中，而该函数的零点对质数分布的细致规律有着决定性的影响。这一函数如今被称为黎曼ζ函数。
也就是说，黎曼发现，质数在自然数中的分布并不是毫无规律可循，而是其分布与黎曼ζ函数紧密相关。
德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了 20 世纪数学家应当努力解决的 23 个数学问题，其中便包括黎曼猜想，它也是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一。
许多数学家都为证明黎曼猜想做出贡献。1932 年，德国数学家西格尔从黎曼的手稿里找到了关键的证据，遗留下的公式重现天日，西格尔也获得了菲尔兹奖。人工智能之父图灵计算出了函数的 1104 个非平凡零点，开启了计算机辅助计算的接力赛。1975 年，美国麻省理工学院的莱文森引入了独特的方法，证明黎曼函数临界线上的零点占全部零点的比例达到了 34.74%。一年后中国数学家楼世拓、姚琦证明了比例达到 35%。很快，荷兰数学家利用计算机检验了 2 亿个黎曼函数的零点，证明猜想很可能是对的。80 年代初，苏联数学家宣布利用电脑成功检验了一个与黎曼猜想有关的数学问题。最新的成果是一法国团队将零点计算出了前 10 万亿个而没有发现反例。
似乎人们离证明成功越来越近了，但阿蒂亚爵士这一次宣布证明黎曼猜想还是受到了不少质疑，有人认为他上了年纪，已是“廉颇老矣”，有人认为他之前发表的论文已经显出颓势。
不过，老来依旧致力于解决大问题的他，在几年前为爱丁堡皇家学会主持“科学之美”的会议期间接受采访时就很“佛系“地表示，人们可能会评价他是“大数学家晚节不保”，甚至自己儿子都泼过冷水。但他已得到数学界最重要的奖项，自感没有什么可以再失去，尽情思考就行了。
目前，已有上千项基于黎曼猜想的推论，这其中已不乏一些十分惊艳的想法。如所有自然数的和，即 1 + 2 + 3 + 4 + …，通过黎曼 ζ 函数的解析延拓可产生看似荒谬结果 -1/12，这一结果在量子力学及弦论等领域中已有所应用。可以说，黎曼猜想的证明是无数数学家和物理学家都高度关注的议题。
但从这次会议来看，Atiyah 实际上并没有完全给出黎曼猜想的证明，他的工作似乎集中在试图推导出精细结构常数上，而证明黎曼猜想只是个意外的惊喜。
当然，肯定有很多人对于此次仍缺乏大量细节的所谓“证明过程”感到不满意，但实际上，对于一部分吃瓜群众来说，我们其实感受到了这位已经 89 岁的数学家的探索精神和幽默感——“证明黎曼猜想，你会名声大噪。但如果你已经出名了, 你就会冒着沦落声名狼藉下场的危险。”
同时，此次海德堡论坛上对黎曼猜想的证明尝试，也掀起了社会各界的广泛关注。可以说，阿蒂亚爵士此次的演讲引发了一次空前的科普盛世。虽然对黎曼猜想的解释仍需进一步完善，但其一生中对数学做出的贡献，以及此次讲座中的一些思考，都是对未来科学家进一步探索未知的一种激励。
阿蒂亚爵士在 89 岁高龄仍然站在探索数学问题的第一线，其对数学的热爱也可见一斑。在进行海德堡论坛上的黎曼猜想证明前，他曾表示，“我已从事数学研究 70 年，已无法停下。”用毕生信念追求理想，并为达成理想锲而不舍，这种精神也值得我们学习。
无论如何，对黎曼猜想的证明涉及了关于代数几何、代数数论及代数拓扑等多学科的审视，即使此次证明失败，阿蒂亚爵士思考过程本身也在推动这些分支学科进行更深入的交叉。正如德国物理学家量子力学创始人普朗克曾说过，“科学是内在的统一体，它被分解为单独的部分，不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限性。”对黎曼猜想的新思考，正在促进科学家们打破学科间壁垒造成的认知局限。
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