洋葱教研室|数学需要刷题吗？AI告诉你真相！

『为什么我刷了很多题，但考试时还是不会写？』

『为什么人脑不能像电脑一样可以记住所有事？』

『为什么张三丰说"当你忘记所有的招式，你就学会了太极拳"？』

 ▲ 图片来源：YJango 学习观

01

人脑与电脑在计算时有何不同？

中国吴文俊院士曾提出『用机器来证明几何题』。“几何”这种以公理与定义架构的体系，可以用逻辑演绎来进行推论，也可以用机器实践来一步步论证。但我们在解数学题时，真的是照着程序一步步计算推演的吗？先让我们来看以下三道问题。

（1）用估算来算乘法

36x56 =  ＿＿＿。

(A) 92     (B) 1995     (C) 2016     (D) 4096

这道乘法计算，电脑有着明确的运算规则，依循着规则走，先算答案，再对比选项，这就是最高效的方式，即使数字再大也不是问题。

但我在做这类选择题时，先将 36 取大一些为40 ，再将 56 取小一些为 50，通过这一大一小让这题近似于 40x50 ，判断数值大约在 2000 左右，再配合个位数检验 6x6 = 36 ，因此，答案选择 (C) 2016。

我想追问的是，当我快速反应判断时，是因为我脑中有某种操作规则吗？那么，什么时候要细算，什么时候要估算？为什么 36 要大一些，56 要小一些呢？

这其中似乎有些规则，但又不是那么明确，那么，何时要调用这个规则？何时不使用呢？这经验又是怎么成形的？

（2）log(a+b) 的估算题

再例如下面这个“对数”的估算

log a 大约为 7,  log b 大约为 9 ，请问 log(a+b) 的整数值大约为多少？

电脑在处理这道题前，可能就要问这『大约』的定义是什么？有人看到这道题就在思考 log(a+b) 是否像 log(axb) = log a + log b 有公式可用呢？但这道题其实是个数量级的概念， a 是 10^7 这个量级， b 是 10^9 这个量级。两者相加仍是 10^9 这个量级，因此  log(a+b) 的整数值就约为 9。这就像马云的财产与我的财产相加，还是相当于马云的财产。

我想要追问的是，我是如何快速切换，采取数量级的思维来处理这道题，而不是去查找对数的公式列表呢？

（3）方格的覆盖题

再看这道题，“方格覆盖题”，计算量可是相当的大，那有什么好方法可以论证呢？

这一题巧妙地用上黑、白交错上色，就可得到 32 个黑、 30 个白。但是因为每个 2x1 的方块，一定覆盖一黑、一白。因此，覆盖黑白的个数要相等，相反，这个棋局黑白数量不等，所以无法覆盖。

我还是要持续追问，从这题目中辨识到哪些特征，才会让我想到可以用黑白着色法来处理这类题的？

人脑在计算时显然更加灵活多变，会根据自己的经验加以联想，并以最简单便捷的方式寻找答案，而电脑的计算方法是照着程序一步步计算推演的，严谨且程序化。那么，在我们日常的学习中，要如何选择呢？

02

 学习需要套路吗？

在学习解题的过程中，会有很多系统的方法步骤，需要我们去学习牢记，它更像是一本解题套路大全。但是，『解题套路大全』是必需的吗？

我常常会想这道题我不会解是因为我缺少那些『解题套路大全』吗？如果能输入足够多的解题套路在脑中，我就会解开它吗？

当你问些学霸他们是如何解题时，他可能跟你说这一题的解法是这样，『因为...，所以...』。这就是数学这种讲究逻辑体系的优点，他可以把理由讲的很清楚。就好像学霸心中有个『解题套路大全』，但如果你要他完整把解题套路一条条写出来，可能怎么写也写不完。

曾经听过一个故事：「从前有只百足蜈蚣很会跳舞，青蛙看到很羡慕，这时青蛙就问蜈蚣，你是如何跳舞的，可以一步步教我吗？蜈蚣热心地说：“先举起右边 17 只脚、再将左边第 31只脚往外跨，接着？接着我是到底动哪只脚呢？”」

跳舞看似有步骤，但舞者也不是单纯的把这步骤一步步地拆解后再进行记忆。

我一直感觉人在学东西时与机器有很大的不一样。“数学”这个有清楚逻辑公式的学科，虽然可以清楚地被拆解验证，但学习它的过程还真的不是靠公式的演绎。

03

AI也是靠经验来学习吗？

半年前我接触到了“ YJango” 。YJango是研究 AI 的专家，研究的就是正热门的机器学习领域。他有几部关于学习观的视频，都是从最近AI在机器学习的观念中来反思人的学习。

那最近的人工智能与以前的人工智能有什么不同呢？在过往的 AI 是将规则告诉给电脑。再利用电脑的高速运算反复比对。但现实世界中有很多没有规则，讲不清楚的事。像语音识别，面对不同的口音、不用的语气，有时还混杂着背景音。利用传统的规则比对法只能达到七八成的准确率。AI机器辨识这些语音依靠的不只是声波频率与语法拆解，而是要像人一样，用「经验」。

什么是经验呢？

回想小时候，是怎样被教导认识事物的？例如「什么是杯子？」杯子，一个有开口的容器。那水桶、马桶为何又不叫杯子呢？如果说还要加上关于大小的描述，那到底多大尺寸的才是杯子。那同样都是小尺寸，又该如何分辨杯子与碗呢？若以开口的大小与高度的比例来衡量，那是否可以给个明确的边界呢？

这些分类很复杂。但我们可以学会这些事，不是依靠规则，而是依靠经验与反馈。妈妈教小朋友认识杯子，接着小孩指着水桶说“杯子、杯子”时，又被妈妈纠正。通过反复多次地强化与纠正，小朋友对什么是杯子也越来越清楚。稍微长大后，小朋友渐渐地也可以给杯子一个抽象的描述，就是上方有洞的容器，约手掌大小。但小朋友心中也很清楚这不是一个有明确定义的规则。

04

为何人会遗忘？

然而这些『经验』不完全等同于『记忆』，尤其是像硬盘那样可以明确记录的记忆。我们经常会有遗忘，甚至记忆错置重组的现象。

这时我们就要追问，大自然的演化，为何让我们有个会『遗忘』的大脑？有人提出：这是为了节约空间、节省脑容量。但 YJango 提出了个让我很惊喜的观点：“生命体演化出遗忘是物竞天择下的必然结果”。

生命演化出遗忘，是因为世界是一个多变的环境。我们的基因无法纪录所有的情况，来告知我们将如何面对多变的环境。因此，我们需要进化出一些『学习』的能力。也就是让我们通过经历过的有限的例子，能应对生活中许多未知的情况。

（1）查找记忆与网络记忆

 ▲ 图片来源：YJango 学习观

在面对这多变的情况，我们的大脑就需要从『查找记忆』发展成『网络记忆』。『查找记忆』就像 9x9 乘法表，将所有结果列举，有输入就可快速输出。但这最大的问题就是，当遇到没考虑过的情况时，机器就陷入死机。

那什么是网络记忆呢？这是个一个网状多层的『权重调整』机制。每一个新的学习就是再构建我们对新知识领域判断的权重。而这个网络重建的过程也会不断更新脑中对就有记忆的重组，对于高频次的正向反馈，记忆网络就会调高其权重，相对的低频次的事件，就会弱化这类权重，也就造成记忆错置与遗忘的产生。

例如，我们在学“相似形”时，我们认识的不单是“相似形”的定义与定理，做题不是为了做尽所有“相似形”的考题。而是每次做题就是要重建大脑中对“相似形”这部分概念的网络记忆。

要用网络记忆来学习，就需要足够多的题和更多元的题目来调整权重，让模型预测未来的准确度更高。当面对没做过的题时，也能够有反应，脑中这个模型是渐变的，每次正确的答题，就会正反馈强化现在的权重，而一次错误的答题，也会造成负反馈来调整权重。

（2）刷题不是为了记忆而是为了重建网络

 ▲ 图片来源：YJango 学习观

在“数学”学习中，刷题是必要的，但刷题的目的不是记忆，是要重塑认知网络。休要妄想记住几个套路与别人整理后的公式就来应考，这就像是『查找记忆』的学习，当面对题型少、变化不多，这种只验收认真程度的考试是可以应付的。但若长期这样学习，造成的致命缺点就是无法变通，让你在大考时面对未知的题型时会不知所措。

关键的是这样的学习其实偏离了教育的本质『培养学生有解决问题的能力』。现在的学生都说“网络都可以查得到，为什么还要记”，所以做题的训练不是训练查找记忆，而是在训练网络记忆的重构。我们需要做题，但我们要学到的不是题，而是解题的能力。套用张三丰的说法就是『忘记所有套路，你就学会了数学』。

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