中考几何压轴题如何教？用Geogebra来让课堂效率翻倍吧！（文末福利）

在1月的文章「揭秘！原来那些炫酷的教学动画是这样做的……|备课推荐」中，与大家初步介绍了动态代数几何软件 Geogebra 的强大之处。

今天将为大家分享洋葱数学几何动态图与中考几何压轴题如何用 Geogebra 来呈现，最后附上中考压轴题几何课件的制作。（PS：文末有免费学习福利。）

01

內外弦图的相似之处

在勾股定理的500多种证明方法中，有个经典的弦图（就是赵爽证明勾股定理的方式）。不知道你有没有注意过，其实內外弦图是可以通过旋转一条直线、彼此转换而得到的？

▲ 洋葱数学人教版18章-正方形与弦图

在上图中，通过对內弦图过 A 点直线的旋转，就能得到外弦图。放在以前，可能很难进行这样的想像，但现在通过洋葱数学的动画就让变化直观许多。

看完动画之后，相信很多老师肯定也想自己动手试一试，赶快配合 Geogebra 的互动课件，来操作体验一下吧！

▲ 大家可在浏览器打开链接，亲自感受变化过程

（链接地址：https://ggbm.at/kwjbtywa）

02

不同的表征、相同的本质

很多几何题表面上看起来不同，但其实内部都有相似的结构。比如：

在下面的教学视频中，三道有关“几何边长的等量关系”的题，其实本质上都是相同的：由一个等腰直角三角形与一条线，随着线在不同方向的旋转，有三种不同的等量关系。

而其证明的核心关键就是：构造旋转全等。

▲ 洋葱数学人教版23-构造旋转全等

其实对于上面三个问题，也非常适合用Geogebra 来感受图形的变化过程： 

当移动滑杆就可看到 AD, BD, CD 三种不同的关系，也可透过将关键的旋转全等三角形上色，让学生清楚看到其关系。

▲ 观看链接： https://ggbm.at/tvnxspbg 

03
中考压轴题的几何变化

近几年中考压轴题很多都是从一个静态的基本图形出发，然后需要学生去想像“当图上的一点改变位置时、图上的角度有变化后，其他相对应的几何量是如何改变的？其中有哪些关系是变化的？哪些是不变的？”

例如以下中考题：

首先在直角三角形上观察角度与全等的关系，然后再问当角 C 改变时，其它角会如何变化？

对很多学生来说，从静态图去想像其动态的变化是很困难的。对于老师来说，想要把自己脑中的动态过程传达给学生也相当不容易。这时，如果老师平时多将这些中考题配合 Geogebra 的动态操作展示，就可以协助学生完成对动态思维的建立。

▲ 观看链接： https://ggbm.at/fwtumfpv

04

中考的发现、类比与探索

2018年的河南中考题，其实也是三段问题：

首先，从基本图形的「问题发现」，让学生先得到全等的关系。

然后，「类比探究」需要利用相似来论证。

最后，「拓展延伸」还需要学生先画出动态变化后的图形再计算，而画图时还要意识到这道题其实有2个解。

对于这种相对复杂的“几何类比探究题”，Geogebra 的动态变化能够让学生清楚地看到：符合题设的点就是两圆的交点。

▲ 观看链接： https://ggbm.at/fh5kkf4t 

05

动手学习挑战

最后，我们一起来看这道经典的中考压轴题型：旋转变化。其中最经典是正三角形的情况。

给定正三角形内一点 P，其中 P 到三顶点的距离分别是 3,4,5。

求：正三角形的边长与角 BPC 的夹角。

对于这道题，洋葱数学提供了一个核心的解题攻略：“条件分散时，利用旋转来集中条件。”

那到底该如何集中条件呢？

关键就在于背景这个正三角形，提供了一个共点的等边线段。这样就可以将原本的 PC 搬到 QA，将PB 搬到 QB，再利用正三角形与 3,4,5 的关系，就可以求出角度与对应长度。

进一步延伸探究：

这个背景一定是正三角形吗？若是正方形、正六边形是否也能利用这样的旋转对称将三个分散条件，集中在一起呢？大家可以观看以下洋葱视频并配合链接中的课件来探索。

▲ 课件观看链接： https://ggbm.at/xcmnhafw 

除了操作，最重要的就是动手来制作 GGB 课件。关于“正多边形的旋转变化”的课件，欢迎大家观看以下视频边做边想边探究。

▲ 更多教学视频，请点击阅读原文查看

福利来啦！

上面这个教学视频是上一季与洋葱 Hope 卓越教师一起在线上学习 Geogebra 时的作业内容。

老师，如果你也想和他们一样，一起加入进来学习和成长，欢迎您扫描下方二维码参与本次第二季的 Geogebra 线上共学哦~

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