文卫星：高考数学出色发挥的策略（解题篇&心理篇）

文卫星上海初高中数学

2025-01-05

本文经由文卫星老师同意授权本号发布，在此感谢文老师心系广大高考考生的博爱情怀。

高考临近，虽然现在考生都是“身经百战”，但要想出色发挥出自己的真实水平，相应解题策略还是需要的.除了做好基本题，关键是做好压轴题（特别难的可以放弃），本文由全国知名数学教育专家、上海七宝中学特级教师文卫星老师所撰写. 文中有详细的案例分析，是高考冲刺阶段指点迷津的上乘之作. 文老师把自己三十多年的宝贵经验与智力劳动成果毫无保留的奉献给大家，实在令人钦佩！

作者简介：文卫星，江苏沭阳人。1982年毕业于徐州师范学院数学系，现任教于上海市七宝中学。上海市特级教师，上海市首批名教师培养对象，上海市首批理科德育基地学员，闵行区教育系统首批学科带头人

解题篇

罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向”. 即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功. 当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的. 有时还要挖掘题目的隐含条件. 从某种意义上说，解题就是“找关系”一一找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的. 可以用框图和“打油诗”表示如下：

逛公园顺道看景，好风光驻足留影
把条件翻成图式，关键处深挖搞清
综合法由因导果，分析法执果索因
两方法嫁接联姻，让难题无以遁形

以下通过例题加以说明.

策略一. 学会分析转化

所谓转化简言之，就是缩小己知和求证（解）之间的差距，其方法就是不断等价转化，或转化条件，或转化结论，直到得到二者的因果关系，使解题得以实施

由此我们看出解压轴题的基本思路：

1. 把已知条件转化到熟悉的问题，本题是转化为二阶递推数列的形式，从而顺利完成第(1)的解答.

2. 当条件不能直接证明结论时，就要对条件或结论进行等价转化，直至转化后的条件能证明结论（或转化后的结论）. 本题在(1)的条件下，要直接证明(2)是困难的，因此，就要对此作等价转化，有时可能需要多次等价转化(本例是进行了3次转化)，最终达到要证明的目标.

策略二. 熟悉基本模型

对一些综合问题，常有一些同学说没有思路，或即使有思路但太繁，以至很难做到底. 其实，有些问题有简单方法，但这些似乎不是书本上的"正统"内容，但平时学习中又似曾相识. 若能把这些似曾相识的内容整理成基本模型，对解答综合题不仅能提供思路，还能给出简单解法

评述：从上述解答过程中读者能看出思考途径：

1. 是利用已知结论，对焦点在y轴上的椭圆有类似结论, 对双曲线也有类似结论，证明都是用解决中点弦问题常用方法 ——"点差法”. 只有平时学习中应该多注意积累，把一些典型的例题、习题的结论推广到一般情况，总结成模型，就能解答一类问题，对压轴题是十分有利的，不仅解题思路开阔，还能选择简捷的方法，又好又快地解题.

2. 是把线段乘积转化为比例问题，从而想到投影到坐标轴上，转化为坐标间的乘积. 有些同学要问，是怎么想到投影到坐标轴上？其实，这是向量坐标法的本质所在，读者不妨回忆一下向量的坐标是怎么定义的，回到定义，往往能使较难问题获得非常简单的解法，复习要格外注意.

本题常规解法是把直线方程代入椭圆方程，计算冗长，极易出错

策略三. 有了想法就写

解答综合题往往有"看不到底"的经历，即不能从开始到结束都能有明确的思路，但若能根据条件，写出由此能得到的相应结论，一步一步摸索向前，并运用分析转化等方法，最终得到正确结论.

然而，实际上不少同学遇到问题是首先看是否做过或有没有明确思路，一旦不是熟悉的问题，就不自信，不能冷静分析，坐失良机.

这是运用教材中的思想方法：分组求和，使难点得以转化. 由此我们看出解答没有明确思路的压轴题，可以把已知条件具体化（或从特殊到一般)，再结合结论的要求，一步步向结论靠近，最终达到证明的目的. 关键是要自信，要敢于动手，同时要审时度势，把陌生问题传化成熟悉的问题.

策略四. 巧解客观题

填空题的最后两题，选择题的最后一题通常也是压轴题. 应尽可能不当成解答题来做，而运用数学思想方法，比如合情推理、特殊化思想、数形结合、利用已知结论等，找到简单的解法

这其实是合情推理，有一点计算，还有一点估算

解答复杂问题直接解答有困难，从特殊化入手是常用方法，即华罗庚先生说的“退到不失本质的地方”，直到找到突破口再完成解答，当然，本题也可以设出各点坐标来解

本题之所以能令m=n，是基于法国物理学家皮埃尔·居里 (1859-1906)的对称原理：对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理，它是宇宙间超越物理各个领域的普遍法则. 它在数学领域的应用之一就是极值问题的对称性原理: “如果一个函数（代数式）中的若干变量具有对称性，则这个函数（代数式）的极值往往在这些变量都相等时取得. 至于它是极大值或极小值，或由问题本身决定，或靠理论作出判断”，具有对称性问题，特殊化思想往往会使解答变得简单，在客观题中更是解题“秘笈”

心理篇

策略一. 磨刀不误砍柴工，务必仔细审题

解题必須审题，在审题上要舍得花时间。如果题目看错了，你无说做多少也是白做。当题目较长或一时看不懂时，就更要认真审题。题目本身是"怎样解这道题”的信息源，是必須要过的一道坎，所以审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看清题意。

解题实践表明，条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向。凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽给予的，只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕慢.

审题要慢。较长或较难懂的题目，有时要读两到三遍，边读边思考，可在关键的地方划线，以提醒自己注意。平时常有同学在题目做不出时，再仔细检查，才差现还有条件没用或没充分使用，若是在考试时，不仅浪费时间，还会影响情绪，这是值得高度重视的

对新题型或较长的题目，一定要在透彻理解题意的基础上做题，必要时可多读几遍题目 (这是考査分析问题能力的重要环节)，现在数学高考数学只有21题，题量少了，思考的容量就会大。根据以往经验，此类试题运算相对来说不是太难，过了题意关，得分相对比较容易，要把握好机会。

审题要实，有些错误表面上看是对问题的不理解，其实是审题不实造成的，只要认真审题, 透彻理解题意，错误就可避免。

审题要活，有些同学平时学习不太注重审题，所做的题目太多是模仿性的，很少独立思考，缺乏解决陌生问题的经历和经验，一旦遇到未见过的问题，就乱了分寸，中了命题人的“圈套”

评注：解题的关键是发现前一不等式的解集是后一不等式解集的子集，此外，当解题有时实在解不下去，或运算很繁时，要怀疑是否出现运算错误或没有充分利用条件，及时纠正，实在做不成，要敢于放弃，高考时不能恋战

审题要准，读题要准确无误，否则前功尽弃，实在可惜

总之，考试时既要抓紧时间，又要在审题时舍得花时间，只有正确理解题意，解题才有意义，实际上，由于对高考的看重导致心情紧张，看错题的现象时有发生，我们务必引起高度重视，把这种现象降到最低程度

策略二. 做对你会做的题，掌握答题规律

平时大型考试有些同学考的不理想，总认为是低级错误和实际潜力没有发挥出来造成的，比自己的心理分数要低10多分. 充分发挥自己的实际水平，是提高总分的最大增长点.

所谓低级错误就是指把容易题或会做的题做错，多数同学或多或少的存在这种情况，少数同学情况可能会严重些. 低级错误产生的原因是多方面的，主要还是平时学习习惯不好造成的. 比如有的同学只追求解题思路，“君子动口不动手”，认为懂了就可以，而一旦动手做题就发现不是那么回事. 在学习数学时，最能体会“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行” 的古训.

减少低级错误的途径是减少运算失误和选择简便的解题方法.

运算准确无误，运算失误可分为习惯不好引起的失误和方法不当引起的失误；它们是数学考试中最常见的错误，同学多认为是粗心. 其实是多方面原因造成的.

一是运算过程中口算多，结果在脑子里一闪念就写到紙上，这样的错误复查时较难查出. 不少同学的错误看起来很可笑，如加、减、乘、除、移项、合并同类项、去分母、去括号，等引起的错误，尤其是配方更是经常出错. 常常因差之毫厘而失之千里. 原因在于这些计算都是口算的，以后又没检验或没有办法检验，对常出现这种错误的同学要多进行必要的笔算，力争把这类错误降到最低。

二是运算不合理，即所选的解法不是最简解法，人为造成运算复杂，导致解不下去或解答错误。概念清楚明白，不能掉到陷阱里，比如在数列中有两大陷阱：等比数列求和公式中的公比q≠1，和递推公式中n≥2。稍不留神就会出错

应该总结常见问题的简捷解法，如回避分类讨论的一些方法、数形结合、整体代入等都是常用方法. 因为方法不当不仅计算量大，出错的机会多，还耽误了宝贵的时间.

注重踩得分点. 解答题阅卷是“踩得分点”的，如果书写不规范（如没有过程或跳步严重或分类讨论最后不总结），虽然答案对了，但你没“踩得分点”，仍会被扣分. 就是会而不对或对而不全，这是很冤枉的。

对拿不准的问题，可采取“先瞒天过海，后亡羊补牢”的策略，有想法就写上，在没有把握时不要轻易划掉，若踩到得分点，就可得点分，错了也不会扣分. 要尽可少丢每一分，尽可能多得每一分.

有时跳步解答. 跳步解答是指在解答题中，后一步（或后一题）要用到前一步（或前一题）的结论，而前一步（或前一题）你还不会做。这时可把前一步（或前一题）的结论当作“已知”, “先做下一步（或后一题)”。有时前面的结论对后面的解法有提示或暗示作用，要抓住、阅卷时只能扣你前一问的分，后一问不会扣分。

如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步都可以得些分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”，确实是个好主意。

做好中低档题中低档题占到全卷的70~80%，是大多数尤其是基础稍差一点同学的主要得分点，得到这些分数心里就踏实了。考试时的主要精力要用在这些题上。有些难题即使带回家也不一定做得出，因此只有“学会放弃”，有所不为才能有所为。拿下这些题目，实际上就是数学科打了个胜仗，有了这些“物质”基础，对攻克高档题会更放得开。

学会适时检验检验不是一定要等到最后再来重做一遍。可以边做边检验，如思路对的，运算结果感到不对，就可回头检验有无运算错误；如果解题过程中感到做不下去，就应检查解题思路是否得当，或条件是否用完，或条件条件是否充分使用。

检验方法较多，如多解检验，对客观题很适合，对解答题就不一定适合；结果检验，如求得正余弦的绝对值大于1，应用题的结论不合题意；赋值检验，可取特殊值来检验答案是否满足条件；量纲检验，如求得体积不是立方单位，结果肯定错误。量纲还是解应用题建立数学模型的重要方法，如利润＝总收入－总成本或利润＝每件商品的利润×售出商品的件数。还有其它检验。

策略三. 考前做好心理调节

高考复习持续时间长，劳动强度大，到最后一些同学会有身心疲惫之感，其间伴随大大小小的考试、检测，每次考的好坏都或多或少影响当时的情绪。数学是三门主课中唯一能拉开差距的学科，考好了对自己有一种积极的情感，能促进以后的学习，暂时失利可能会带来一些不愉快的情感，如何从这种状态中解脱出来，化不利因素为有利因素，那就要适时调整自己的心态。

1. 调节心态的良方只要做对你会做的题

从进入高中开始，有些同学数学成绩就不好或不稳定，一到大考就紧张，越想考好却越事与愿违，以致一些同学对数学失去信心。解决办法有吗？有。那就是做对你会做的题！只要做对会做的题，这个要求看似很低，实际很高。

对大多数同学而言，高考数学只要得120~135分左右就够了，就能上你所想上的大学了。还有15~30分左右是不要指望得的，有些题目拿回家也不一定能做出来，何况在考场。就是说，你用120分钟的时间去做卷面上的120~135分左右的题目，这样你就不会很紧张了，至少前面的容易题和中档题会由于心理的踏实、时间安排合理不会丢分，而一旦这些题目做得好，你会处于一种积极的状态，有时会激发你的创造性，做出平时不会做的题，甚至超水平发挥。

看似低的要求能使你轻装上阵，没有思想负担，集中精力去解题；能使你在遇到“拦路虎”时敢于放弃，切实做到先易后难。这些都会有助于你能充分发挥自己的实际水平。

曾经有个同学高考前最后一次校模拟考只得68分。我与她谈话也是围绕这个主题进行的。根据对她平时情况的了解及两次卷面情况分析，指出她可能是因为报的志愿较高，害怕数学考不好影响录取，致使心理负担过重。表现在考试时可能出现这样几种情况：

（1）急于求成。拿到试卷急忙做前面的简单题，有时看错题，有时出现计算错误，犯了一些低级错误；

（2）高度紧张。把常规题做错了，或平时会做的题目一时做不出或做得不完整；

（3）患得患失。遇到不是很熟的题目不能冷静思考，如果心态平稳，沉着应对，虽不能都做对，至少可以做对部分，得到部分分数；

（4）策略错误。先易后难这一起码的要求没做到，个别题目耽误时间过长，不仅浪费时间，还影响后面的解题情绪。

2. 调节心态的一些具体策略

在平时学习中掌握一些调节心态的策略是必要的，以下方法或许会适合你。

（1）保持平常心

有些同学进考场前往往会给自己定下一个较高的目标，对自己形成过大压力，考试时脑子里总有一个挥之不去的影子，怕考不好，以致不能平心静气地分析问题。解题时一旦思维受阻，尽管考查的知识或能力在自己的范围内，却由于紧张而使解答错误或解不出，并影响以后的解题情绪，导致不能正常发挥实际水平，考后又觉得题目简单，常常后悔莫及。

解决的办法就是保持一颗平常心。考试就是履行一次公事，把自己会做的题目做好，就可以了，我的目的就达到了。这样就能给自己保持好的心情，有利于出色发挥。

（2）给自己恰当定位

有些同学数学基础不扎实，害怕数学考试，没考就心慌，自乱阵脚。建议这些同学考试时不要考虑绝对分数的多少，因分数高低与试题难易有很大关系，水涨船高的道理谁都懂。给自己一个恰当的定位：做对自己会做的题。一旦对陌生的问题能顺利解决，就有可能进一步激发自己的潜力，甚至超水平发挥。

一位在数学联赛中获二等奖的同学，高考成绩只比班级均分略高一点。原因就在于他有思想负担，一心要得高分。平时做题目空一切，考试时却一叶障目，极大的影响他后面的答题心情和速度，没能正常发挥。

（3）切实做到先易后难

这人人都知道的准则，但考试时由于种种原因，有些同学就是做不到。看着前面没做出的题目心里感到不安，导致在后面解题中思维混乱，解题思路不清。

对客观题，如果1~2分钟做不出，就要放弃（暂时放一放），而且是心安理得地放弃（军事上的战略转移），才能在做后面题时不受前面的影响。因为解答题中有些题比较容易（包括最后两题中的前面第（1）或第（2）题），要切实把握好。当遇到拦路虎而又欲罢不能时，你不妨这样暗示自己：其他人还在做这题，让他们耽误时间吧（隐性失分），我先把会做的分拿到手，看我多聪明，以调整心态。

一位平时成绩较好的同学在一次考试中失利，事后自己总结到“客观题做的不顺，个别题即使做出也耗时太多，少数题没做出只有放弃，影响后面大题的发挥。有时脑子一片空白，陷入伪思考。简单问题看得太复杂或复杂问题看得过于简单。看到题目有时反应不过来，做题速度慢，在答题过程中，常怀疑计算有误，反复检查，导致时间不够，后面平时会做的题目没有时间去做。”

看来这位同学的放弃是迫不得已，有一种丢盔卸甲的感觉，极大地影响了后面的正常发挥。我们要努力避免出现这种情况。面对一时做不出的题目，要切实做到先易后难。有些同学可能会有这样的经历：把前面不会做的暂时放弃，等把会做的都做出了，再回过来做前面当时不会的题，却豁然开朗。这正是我们所期待的。

（4）开考5分钟是关键

开始考试的前5分钟是关键时期，要把握好。这段时间最容易出的问题是心情急躁，认为前面的客观题比较简单，急于做完留出时间做后面的解答题。结果忙中出错，尤其在前5小题是最容易犯此类错误的，而且检查时也不会特别注意这几小题。

另外，有些同学会浏览一下试卷，看到后面有些解答题不是一眼就能有思路，顿时心情感到很紧张，严重的甚至会出现暂时遗忘，熟悉的知识一时想不起来，或把简单的计算如移项、合并同类项、去括号等算错。这时，可以做深呼吸，尽快使自己平静下来。

也要防止有些同学过于“放松”，一点紧张感都没有，因为保持适度紧张有利于高效思维，使运算高效有序，但过度紧张或根本就紧张不起来，对考试不一定有利。

（5）非智力因素值得关注

部分同学数学老是考不好，自己还又不服气，那么多题目都会做，就是粗心做错了，下次一定注意改正。这里的“粗心”只是托辞而已。真正原因在于平时的学习习惯不好，不是智力因素，而是非智力因素。表现为运算失误，熟悉的问题得不到分（会而不对），或解答书写不规范、不完整得不到全分（对而不全），或由于平时老是考不好，抱着这次一定要考好“雄心壮志”，造成考试时心理紧张，丢三落四（心理性错误）。

要针对自己历次考试中出现的问题，区分出知识性错误（不会做），心理性错误，策略性错误（解题方向不对）。争取不犯同样的错误。

发现错误原因，就要制定一套相应的解决办法，不能笼统归结为“粗心”，以后细心就可以了。某种情况下分数高低虽然不能完全反映一个人的智力水平，但还是可以看出一个人的细心程度或行为习惯的好坏，而这正是做好事情所必须的，可以说正是在这一点上体现出数学素质教育的意义。

要克服心理原因造成的失误，就要以乐观的精神对待考试，同时必须认真对待平时每一次考试和作业。考试后认真总结经验教训、写出自己的题解笔记-----错误原因、合理解法、注意事项等，才能在心理上淡化重大考试以减轻心理负担。考试中(包括平时作业)应尽量用笔认真演算每一步，杜绝审题和口算引起的错误、只有在平时养成严谨、踏实的学风，才能在考试时减少心理因素造成的失误．

要改正策略性错误，就要找出思维受阻的真实原因，理清思路后再认真做一遍，最好再能找些类似问题再巩固一下，以便强化思想方法和技能、技巧。

出现上述错误多数是长期的学习态度不严谨、学习习惯不好等非智力因素所致，克服起来虽有一定困难，但只要找准原因，经过一段时间的努力，还会有显著进步。需要特别指出地是，老师和家长在这方面是无法帮助你的，只有靠自己脚踏实地的努力，才能奏效。我们相信，态度严谨了，“低级错误”克服了，你的实力就体现了。这首先要你自己有自信心，认识到你的对手正是你自己，

调整好心态的一个标志是，考试时沉着、冷静，充满信心。会做的得全分，不会做的尽可能多得部分分数，少犯低级错误，得分将大大提高。

调好心态的另一标志是考试时要保持适度的紧迫感，使自己处于最佳的竞技状态，即精神高度集中，思维异常活跃，遇到困难也能做到坚定、清醒、沉着、从容应对。

希望以上方法对高考题能起到抛砖引玉的作用，相信同学们在老师的指导下，通过自己的努力，切实提高解高考题的能力，最后，以一副对联结束本文：