同济高数有多难，学过的都知道
图源：孔夫子旧书网
Sept.
19
灼见（微信号：penetratingview）
学不懂高数，主要还是因为你打开的方式不对。而教材作为帮你打开高数大门的指导手册，也难逃其咎。来源 | 浪潮工作室（WelleStudio163）
“每所大学都有一种树，叫高数，树上挂了很多人。旁边有座坟，叫微积分，里面葬了很多人。”
不论你们学校的校训是博学笃行，还是求实创新；不论你学的是理、工、商，还是农、医、军，高等数学是大部分大学生都绕不开的艰难课题。
就连许多文科专业也要修《文科高等数学》，让许多历经高考以为终于摆脱数学魔爪的大学新生重回噩梦。
“高数之难，难于上青天。”“上有极限无穷求解之心焦，下有积分换元求导之疯癫。”高数能把学生逼成诗人，在被它打败后依靠斗诗重拾生活的信心。[1]
高数考试之后的人文学院 / 微博截图 @ 三生十里LGT
当年叱咤NBA球场的姚明也难逃高数的魔爪。经过7年的努力终于从上海交大毕业的姚明表示：“在校读书的几年中，我不止一次想过退出，特别是在上高数课的时候……”[2]
如果在中国上大学，你的高数课很可能使用的是同济版《高等数学》教材。不管是第五版、第六版，还是最新的第七版，总有一版能让你五味杂陈。
这本中国大学生的绿皮书，足够成为无数人的梦魇 / 微博@青春矿大
为什么大家都在用同济版《高等数学》呢？
高数这么难，这锅该不该同济数学来背呢？
01
历史选择了同济数学
一直有传言说，同济版的《高等数学》是中国发行量前三的书籍。这话不一定靠谱，但同济数学的发行量是真的大。
据统计，同济《高等数学》已经发行了61年，总发行量超过6000万册[3]。几代大学生，都曾经夜不能寐，只为在考试前再多看一眼这本书。
在淘宝网上搜索“高等数学教材”，按销量排序，前21名全部是同济版《高等数学》，销量仅次于同济数学的华东师大版《数学分析》，销量还不到第七版同济数学的十分之一。
风光旖旎的同济大学，却诞生了如同恶魔之吻的同济《高等数学》 / 微博@同济大学
而在京东网上，第七版同济《高等数学》有超过17万条评价，另外两套流行的高等数学教材华东师大版《数学分析》和北京大学版《高等数学》仅分别获得6300余条和5500余条评价。
可见，同济版数学才是无人能敌的教材大佬。
为什么这本教材如此流行，一大半的原因要归到历史上。
50年代初期，中国高等教育“以苏联为师”、“向苏联学习”，高校教学全盘使用苏联的教学大纲。同济大学樊映川教授参考苏联教材编写的《高等数学讲义》，就成了新中国最早一批自编教材[4][5][7]。
当时，全国正进行院系调整，同济大学数学系被并入了复旦大学，同济数学专业仅保留基本的工科教学工作，数学系停办，直至1980年正式恢复[10][11]。
编写适用于工科的高数教材，可以说是当时同济大学数学教员的主要工作之一。也是他们，为这本超难的高数打下了基础。
占据了先发优势，又有优秀底本的同济数学，在之后屡次成为国家级规划教材[5]，许多教师在选择教材时也会首先考虑同济版本。
到了80年代中期，同济的《高等数学讲义》的发行量就已近1000万册[6]。
《高等数学》教材出版61周年在同济大学举行，没有哪本教材能像同济《高等数学》这样，成为几代人的学习指南和失眠宝典 / 同济大学
除了历史因素，一部教材的命运也与其学科特点息息相关。
数学属于基础学科，从17世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起，经过300余年发展，大学高等数学所涵盖的内容与知识点已十分完善。教材不需要快速更新，老教材往往更加经典。
比如美国经典大学数学教材《Calculus and Analytic Geometry》自1952年首次发行，至今仍被世界各国高校广泛采用。而另一本现今美国大学广泛使用《Mathematical analysis》如今也有62岁高龄了。
“如果你能考到60分，就可以当我男朋友。”连《小时代》都知道高数有多难考 / 小时代
相比之下，有些学科的教材就很难如此“长寿”。
比如同样是国家规划教材，清华大学版《Visual Basic程序设计实用教程》在2010年前还是许多计算机学生的必修教材，而如今，计算机专业的学生早就开始学习各种新语言[8][12]。
02
不是数学最强校，但有最强教材
很多人会想，同济的数学教材这么厉害，那么同济的数学一定很牛吧？事实上，同济的数学专业实力在国内高校中并不算最强的，至少没有教材那么强。
2017年，教育部根据师资、人才培养质量、科研水平等指标，对学科进行评估，同济数学专业仅获得A-，低于获得A+的北大、复旦、山大，以及获得A的清华、南开等其他9所高校[9][13]。
另一方面，现在中科院数学相关院士有30人左右，所属院校包括北京大学、复旦大学、南开大学、清华大学等，没有一名数学专业院士在同济大学数学系工作，同济历史上也没有出现过数学院士[15]。
由此看来，同济的数学系水平，还没有像他们编写的教材一样，占据全国龙头老大的位置。
不过，这可能也正是同济数学能“流行”的原因。
数学强校所编教材往往针对数学专业学生，理论性和难度更高，侧重方向也不同。
比如同样涵盖极限、微积分、无穷级数、解析函数等内容，数学专业会使用更偏向推理证明的《数学分析》教材，而理工科专业使用的《高等数学》教材则偏向应用与计算。
2018年9月9日，山东济宁，大学生在本子上密密麻麻写满了数学题和公式。除了少数艺术专业学生，几乎所有学生都要学习高数。
事实上，就算是同济大学数学系的学生，现在使用的高数教材也并非同济出品，而是华东师大版的《数学分析》。
北京大学、复旦大学、山东大学等数学强校的理工科专业都并未使同济版《高等数学》作为高数教材，而用是在使用本校的自编教材。
很多数学专业非常厉害的学校，都自己编过数学教材，编写者不乏数学大师。
在中国科技大学成立后，大数学家华罗庚教授、关肇直教授、吴文俊等教授都为学生上过数学基础课，并编写过专门的数学教材。
20世纪70年代，华罗庚正在和助手讨论数学问题。这些大师也都曾编撰过高等数学的教材 / 中国科学院
他们编写的教材不受统一教学大纲的限制，也没有传统意义下分析、代数与几何的严格分界线，是对前苏联教材的突破。但也由于其内容结构与传统教学大纲不一致，并未得到广泛使用[5]。
严格按照教学大纲编撰的同济《高等数学》，却拥有了更多的受众。除了数学系的学生不学，其他大多数院校的大多数专业都要学。于是，这本教材也就顺带着难哭了一众大学生。
03
同济数学太难了
就算同济版《高等数学》印得多用得广，很多人还是会抱怨听不明白。学不懂高数，这个锅该同济数学来背吗？
其实高等数学的内容并不“高等”，它只是针对算数、初等代数、初等几何等“初等数学”相对而言的，而且都是一些老古董。
现在大学高等数学教材所包含的极限、微积分、解析几何、向量代数、无穷级数等内容，基本都是17世纪中期到18世纪末这段时间里产生并完善的[16][17]。
当时世界的数学水平大概就刚刚达到现在的高三水平。所以高数的内容对于大部分刚考上大学的学生来说难度应该刚刚好。
2018年6月4日，黔东南某高中高三学生在堆满书的教室里上晚自习。他们肯定没想到，能应对高三数学，却应付不了大学数学。
学不懂高数，主要还是因为你打开的方式不对。而教材作为帮你打开高数大门的指导手册，也难逃其咎。
由于历史原因，中国大学的数学教材，使用的是前苏联的教学模式和知识体系。苏联模式的数学教育，追求学科内容的系统性和完整性。因此教材内容大而全，而且所有内容一定要求严谨。
比如在同济版《高等数学》中，编者把“极限”这个概念当做微积分的基础介绍给学生，但其实“极限”的定义是在牛顿、莱布尼茨发明微积分100多年后才创造的。[16]
如今被各种理工骚客用来表白的心形公式，实际上对17世纪的人来说还很陌生，传闻说笛卡尔通过心形公式表白，也更像是后人的牵强附会。
编者为了保持定义的准确和完整性，打破了学习数学循序渐进的规律，也过早地将最抽象最晦涩的部分硬塞给了学生，使学生失去了探索的乐趣。
这就好比一个新手玩家在跳伞吃鸡之前，先让你记住所有武器的杀伤力，所有交通工具的速度值，所有资源点的位置图，然后才能开始游戏。
虽然这可能对你早日吃鸡有帮助，但更有可能的是，你因为记不住那么多参数信息，决定放弃这个游戏。
举另一个例子：
在讲解导数时，同济数学先给出了导数的定义，然后通过定义直接给出了f(x)=xⁿ的导数公式。这实际上并不符合数学知识的产生过程。
第六版同济《高等数学》，在给出导数的定义后，就通过数学计算，得出了幂函数的导数公式，虽然准确，却失去了让同学们自己推导猜想的过程。
事实上，研究数学的乐趣就在于由特殊到一般，由猜想到证明的过程。这就是为什么哥德巴赫、黎曼等数学大佬如此热衷于提出数学猜想，而其他数学大牛如此热衷于证明这些猜想。
如果没有猜想，只是根据教材学习数学，那就成了背定义套公式。而我们很多人，在学习高数时，就是这么背过来的。
相比而言，一些经典的欧美教材在这一点上就做的就比较好。比如在美国经典教材《Calculus》中，作者先教学生计算f(x)=x、f(x)=x²的导数，再逐渐进行猜想推导。
这样，学生不仅学会了导数的定义和证明，也学会了通过寻找规律总结数学结论的能力。
大家很难理解高数，也是因为我们不理解那些抽象的数学概念与现实生活的联系。这也是同济版《高等数学》存在的一个问题。
理解不了数学概念那我们就死记硬背好了 / bilibili @2019更努力
比如在介绍自然对数底数e的时候，同济高数通过计算(1+1/n)ⁿ的极限来引出这个重要的数学常数。但这个约等于2.718的无理数跟我们有什么关系，书中却没有介绍。
而在美国《Calculus》中，就会用在银行存款最多能收到多少利息的例子来引出e的概念，让学生意识到数学与现实生活的关系，对数学产生浓厚的兴趣。
这种例子在一些欧美经典教材中还有很多。但是在同济数学中，你却很少能看到，也难怪你不理解数学里的那些符号都是什么意思。
数学系少女黑岛用自己擅长的数学来计算自己的交际关系 / 日剧《轮到你了》
所以，下次要是再被问，高数怎么老是学不会，你就可以说：是因为同济数学太难了。
但再想一下，到了大学，没有老师再针对一个知识点反复讲，课后也顶多布置一下书本上的练习题，上课时你就晕晕乎乎，课后又不加练习，学会高数当然更难了。
这时候你就不能只怪同济数学了，还得怪自己。
— THE END —