孩子数学思维启蒙中的难点，家长究竟应该怎么破解？
我们的专栏作家培飞思维数学教研总监夏骏轶老师大家都很熟悉了，他之前的文章《为什么有些起点还不错的孩子，到后面数学会越学越差？深度好文！》得到了很多家长以及老师的点赞，文章详细分析了孩子学习数学过程中出现的问题和原因。今天，他将再来和大家聊聊孩子思维数学学习中的困惑与对策。
”有些机械的重复教育，最终会导致孩子出现假听、假说、假读、假写的情况，换一种说法，也就是孩子是靠记忆而不是靠思维掌握了相关的知识，孩子进入记忆学习层面，却不能进入思维学习层面。
那么，真正好的数学思维启蒙，应该是什么样的呢？根据我多年的教学经验，以下三点是最重要的——
其实数学学得好的孩子，往往都是在数学学习中寻找到乐趣的幸运儿，他们凭着天生对抽象和数字的敏感性，在学习的名义下，找到了一种“玩”的方式，更妙的是，这种“玩”的方式还能得到老师、家长的表扬和青睐，这是多么美妙的一件事啊！学霸应运而生丝毫不令人意外。
那么，这些学霸们到底在数学中玩了一些什么呢？
其实每个年龄段，孩子玩数学的内容都不同，乐趣也不尽相同。比如，说一下——
数学启蒙中的经典游戏：躲猫猫
著名的瑞士发展心理学家皮亚杰管这个理论就叫做“客体永久性”，他表示，宝宝在最初2年都是在“学习”这个理论，躲猫猫绝不仅仅是个游戏，它能帮助宝宝反复测试存在的理论基础——即事物不会因为看不见而不存在，如果用看不懂的话说就是——“儿童具备了，脱离对物体的感知而仍然相信该物体持续存在的意识”。
这个就是数学学习基础中的基础。
如果孩子对客观世界不能形成一个稳定存在的概念，那他全部的大脑资源都会用来去应付纷繁复杂的眼前变化。从而根本不能从眼前事物抽象出数学概念。
等孩子稍大一点，分东西，放东西，藏东西又成为他们的乐趣，同样的在这些玩乐的背后，依然蕴藏着数学启蒙的认知逻辑。
举个例子：
学习运算的前概念：分东西
把小豆子分到不同的碗里，把苹果分给你和我。“分”是一个非常重要的动作概念。这既是部分和整体概念形成的核心，也是学习运算的前概念。孩子理解和学习抽象事物，不是光从物体的表面属性中汲取的，而是通过运动和操作学习的。
再来举个例子：
如何用积木让孩子理解加减法
我们常常看到父母用一块积木代表“1”，用另一块积木代表另一个“1”,想要用实物告诉孩子“1+1=2”的数学概念，却发现怎么说孩子都不明白。
这种情况，大部分是家长本身忘记了“+”这个抽象概念，或者想讲但是讲不清楚“+”的意义。这是为什么呢？因为“1”你已经用积木来表征了，孩子能够看到，并且能够想象，但是“+”不是一个实物，家长没有办法用具体物品来表达。
一种可行的方法是，通过动作来表征“+”，比如把两块积木用手拢到一起，来表达“变成一起的”这样一个概念，同时告诉孩子，这种变化叫做“+”，孩子马上就明白了——“+”就是两个集合中数的合并。
这里有两个关键因素：
一个是让孩子关注到具体变化（运动），进而理解抽象（想象中）事物的变化。原来是怎么样的？最后变成什么样？然后去思考过程中是怎么变化的；
二是让孩子关注到变化所形成的事物关系，以及形成的数字关系。比如“1和2的区别，三角形和正方形的相同点和不同点”，又比如：“341”这个三位数中，每个数位上数之间有啥关系？，两个数之间的倍数、多少、大小都体现了彼此的抽象关系。
我们传统的学习方法是从认知概念入手，通过练习达到理解，理解后再通过更大量的练习到达融会贯通的应用阶段。这种方法好像在沙漠中拓荒，学习效果十分不理想，因为孩子对知识的理解是点状的、固态的和片面的，并且不是内驱动性的。
对于真正的学习者而言，他们会从大量的“玩”中构建自己对概念的理解，再把概念放到解决具体问题中进行应用，从而升华自己所学习到的，他们在玩中建立了抽象概念对自己的意义，把他们头脑中的东西变成了自己的。
所有的概念本来就是从大量实际操作中提炼出来的，我们希望让孩子少走弯路，希望先在他们脑中植入概念，再进行理解，其实是缘木求鱼。而玩的过程，享受玩的乐趣的过程，就是知识建构过程，好像大树的生长，看到的只是表面，根的生长我们看不见，这个根就是玩。
数学学习来说，更是如此，认知心理学告诉我们，动作水平的操作是儿童抽象逻辑思维发展的途径。儿童在操作活动中，可以获得对应、多少等逻辑的经验，这些逻辑经验起初依赖于具体的、外在的动作，逐渐发展成为一种心理动作。
孩子只有大量的数理游戏经验和操作经验，才有抽象升华的基础和可能，而这种升华的经验则是数学学习中最大的乐趣，也是本质性的乐趣。
对孩子而言，他们经过苦思冥想，忽然有一道亮光击中他们，好像宇宙鸿蒙初开的那一瞬间，一切事物都豁然开朗，他们突然遇见了一个新世界（可以抽象的举一反三了），所有之前无意识的玩都有了意义，数字在对他们说话，在表达，那么这事就成了。
不知道大家注意到了没有，大多数的“牛蛙”基本都是非常会玩的，他们不是光数学好，往往都是全面发展的，原理就在此——他们在学习中获得了高峰体验，获得了本质的乐趣。
所以，关于数学学习的乐趣，个人总结下来有三点：
万物皆动—世界一切事物都在变化，我们能够观察到变化，也能认识变化，并引发变化。
万物互联—乐于观察、探索和理解具体事物之间关系，进而探索数字之间的抽象关系。
万物皆数—乐于通过抽象数字来理解具体事物规律，又能运用想象从抽象中还原具体事物。
这三者，最核心的乐趣，就是抽象的想象力。
有很多家长会把数学单纯的理解为数字和计算，更进一步的说，家长会把孩子的数字认知归结为会认、会读、会写、会数、会算，而把计算归结为读题准确、结果正确和速度快。所以综上所述，数学的学习就是会认、会读、会写、会数、会算，读题准确、结果正确和速度快。
这种观念究竟对不对呢？这里我们来仔细分析一下。
先说“会认、会读、会写、会算”。大家知道，“数”，本来不是这个客观世界的真实产物，也不是具体事物，而是人基于客观事物形成的一种概念，是抽象而主观的，是数量关系在大脑中的反映。
简单来说，“数”就是想象出来的概念，且是事物本质层面的概念。
而我们刚才说到的“会认、会读、会写、会算”的“认、读、写”都是数字表象层面的认知，而单纯数数，大部分的孩子也是照本宣科、有口无心、机械记忆,并没有理解数字本质的核心意义，然后我们跳过了本质理解和认知构建，直接让孩子进入了“算”这个应用层面的操作，这样对客观世界经验非常欠缺的孩子而言，理解数字就变得非困难了。
那数字本质层面的理解是怎么样的呢？
1、2、3、4、5、6，哪个数字比较特别？
大家觉得这六个数字哪一个数字比较特别？
我相信有人会说“1”，因为“1”代表了万物起头，“一生二、二生三，三生万物”。也会有人说“2”，因为这是自然数中最小的偶数，也是最小的素数，哥德巴赫猜想怎么说来着？“是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？”或者有人会说是“3”，因为“3”形成了多样性，最小的形状是3角形，基本的颜色是红黄蓝，事物发展的过程是开始、经过和结局，上帝的特质是三位一体，三生万物。等等……
但是，古希腊人却认为“6”是特别的，你看，“6”可以分成1份，2份和3份，并且1+2+3=6,所以，他们把“6”称为“完美的数字”，第二个完美的数字是“28”,然而第三个完美的数字则变成了496。如果我们把这些告诉孩子，并让他们去自我探索，大家觉得这种方法和我们刚才讲的“会认、会读、会写”有什么不同的地方？
的确，古希腊人所关注的不只是数字本身，而是数字之间的关系，用数字间关系的视角去引导孩子理解数字，建构数字概念，孩子所认识的数字就不会是割裂的，而是有联系和有意义的。
大家需要注意的是，我们的大脑只会记住有意义的事物，而对无意义的事物很快就会淡忘。数字作为抽象的符号，如果不能在孩子心中建构出意义来，是没有办法让孩子真正掌握的。刚才说到数学学习的乐趣之一“万物互联”就是这个意思——关系产生意义。
数学前概念构建有多重要
有的家长或许会有疑问，这样的内容对孩子数学启蒙来说是否太难了?
其实真正的启蒙的确可能要更为基础，比如：
抓一把小石子，请孩子放进若干个小纸杯，每个纸杯放一颗。等孩子熟练了，可以尝试每个纸杯放两颗。
再换一种方式，和孩子一起数数，从1个1个数，到2个2个数，再到3个3个数，123，456，789……
还可以和孩子玩变魔术的游戏——放7块小积木在孩子面前，请孩子闭上眼睛，然后用纸杯盖住2个，请孩子猜猜刚才魔术师变走了几块积木等等。
这些数学活动，渗透了加减乘除的核心，以及数与数之间的关系本质，眼界不仅仅钉在表面的、现象的、刻板的数学知识，而是通过多侧面活动来影响构建孩子内部对数字的认知，当孩子正式学习数学知识的时候，理解起来事半功倍，我们把这些称为数学前概念的构建。
而当孩子们长的更大一些以后，我们需要帮助他们更深入的去探索数学本身的规律性，并且更重要的是，要帮助他们把数学和世界做更多的链接。
回到“眼界”这个主题——在数学学习上，我们的孩子不但需要有深入思考问题的能力，更需要学会用数学的眼光看世界，学会用数学方法解决实际问题。不仅仅把“眼界”停留在题目上，不光是数字和计算，而是应该把眼界放大到真实的世界上。通过世界现象理解数学的本质，这样往往能够使我们的孩子触类旁通，获益更多。
让我们打开一扇窗，看看《全美数学教师理事会》（NCTM）为了拓展孩子数学境界所编写的框架，NCTM提出有关学校数学教育中应当重视的诸多方面的建议标准，阐述了在建构主义教学观指导下，孩子应该学习掌握什么样的数学，其中包含了两大模块：
数学内容标准；
数学过程标准。
这两者，前者表述了孩子应该学习的数学内容，后者是强调了获得和应用知识的方法，两下交叉融合，大致内容包括：
所以，我们大概可以想象，在这种数学学习的指导思路下，孩子数学学习的广度和宽度所涉及的范围会是怎样的，孩子的眼界和思维又会得到怎样的提升，或许在数学学习的起步阶段，这些孩子的计算能力的确会远远落后我们的孩子，但是随着年龄的增长，他们的思维能力会超越我们的孩子，因为我们孩子的眼界停留在计算中，禁锢在碎片化的知识结构中。
发展到今时今日，现代数学已经是一个非常庞杂的系统，远远超过了我们对数学传统的认识。数学不光是代数、几何、分析这几门经典学科，从大类分，一个分支是纯粹数学，另一个分支是应用数学，纯粹数学越来越抽象，而且在深入的基础问题讨论中显得“神叨叨”，我们基本看不懂。应用数学中更是包罗万象，形成了数学物理、生物数学、数理经济学、统计学、运筹学、控制论等新兴学科。
但是，这些学科的结构和发展，与孩子的数学学习相比，完全不是一回事。数学研究是用原理证明现象和问题，数学应用是用原理解决问题，而数学学习是通过现象理解原理，并进行实践应用。
在我们传统的数学教育中，数学作为一种既定的学科经验出现在孩子们面前，基本是套用学科研究或者数学应用的知识结构来进行学习，这在心理学中被称为学科中心主义。说的是以本学科的学术框架为中心和价值来选择学习内容和研究对象。学习的基本路径是从前人总结的抽象概念入手，达到表象（形式）理解，从表象理解通过大量练习进到本质的理解，再回来进行应用来验证学习理解的程度。
简单来说就是先说概念、再举例子、大量练习，最后考试！而结果往往最后异化为做题！做题！做题!
我们的孩子通过这种方式学习数学，很难建立起学习的意义，也不可能建立数学和真实世界的联系，除了一些天才儿童，大多数孩子学到的是表象的数学知识，而无法理解数学本质，更无法建立数学思维，自然反而会越学越笨了。
所以，究竟该为孩子选择什么样的数学学习方式，的确需要我们好好思考。
我想，会有家长问：“我也同意目前的学校教育不能满足孩子发展需要，但是作为家长，除了为孩子报课外的学习班，又该如何帮助孩子呢？”
这的确是一个非常难解的问题，涉及的方面很多，有教育制度层面，社会结构层面，家长、学校的认识问题，还有孩子个体差异性等等，我在这里没有办法给出一贴包治百病的万能药，但是有些原则可以参考。
“时机”，在这里的意思有两个层次，一个是孩子生长中的各种敏感期，二是在生活中、学习过程中的随时发生学习机会之窗。
关于敏感期，有很多的文章论述过，我就不多讲什么了，有一点需要提醒的，就是敏感期并不绝对，有的时候孩子似乎错过了敏感期，但如果家长坚持通过游戏激发孩子，他们依旧可以有非常好的反馈，我们需要知道的是，我们的大脑是有很强的可塑性的，哪怕成年以后依旧是这样。
其次是在日常中的机会之窗。“机会之窗”本来指的是敏感期，我在这里借过来解释所有能够帮助孩子拓展学习兴趣，引发孩子思考的所有机会。我们在日常教学中往往把教学活动分为结构化活动和非结构化活动，简单说就是课程和自主活动，而孩子大量的自我探索都在后者中完成，生活则是孩子自主活动的主要来源。
比如分一下餐桌的碗筷，清点储蓄罐里的硬币，搭建积木、道路上的树木和电线杆、楼房层数清点，各种形状的发现，这些活动中都蕴含着大量的机会之窗，有很多启动随机教学的机会。这里有一点需要提醒大家，现在有些教育观点强调让孩子自主性理解和学习数学，好像只要让孩子看一看、摸一摸那些直观的东西，就能使得孩子从具体经验中自动发生抽象认知。这种观点个人觉得有待商榷。
我的建议是，家长应当在适当的时候PUSH孩子，轻推一把，使得孩子可以越过具象和抽象世界的鸿沟，以达到理解抽象的程度。我们称之为“点拨”。
不过需要注意的是，既然说是“点拨”，切忌推着孩子走，最好的方式是“引”着孩子走，用现象中出现的矛盾和有趣现象，引导孩子一步步深入的思考。所用到的方法可以有：发散点拨、迂回式引导、认知支架、现象归类总结等等，但是需要注意的原则是：
注意“机会之窗”可以由家长启动，但必须由孩子结束
引发兴趣是第一要务，确保和孩子保持游戏连结，不要变成教导或者考核；（有些家长动不动就玩“让我考考你”的游戏，其实实在不好玩）
学会讲故事；数学也是可以有很多想象空间的，目前市场上有很多数学类的绘本，家长可以借鉴，帮自己开开脑洞；
探讨可以从问题开始，到思考结束，不必强调结论，如果可以，请孩子自己总结。
内容上可以注重数和数感、量、比较、部分整体；形、时间、空间，形式上注重关系、运动变化和具象到抽象转换；
不要光说，要画、要玩，要让孩子自己说。（信息获取中，听的效果只占7%）
不过话说回来，就算方法、原则都执行的非常完美，由于孩子的个体差异性，学习效果依然会千差万别，各位爸爸妈妈难免心生焦虑，我也非常理解。
但我相信，只要我们坚持走在正确的道路上，保持信念和乐观，孩子内在的生命必然会成长的时候，我们需要更多的耐心，给予孩子生长的时间。浇水施肥晒太阳，然后乐呵呵的等待花儿生长开花，这是种花的乐趣，不也是培育一个孩子的乐趣所在吗？
如果真的有了问题，更不能病急乱投医，遵循客观规律循序渐进，打好基础才是正道！另外，一般来说，孩子数学思维启蒙在中班前后，而真正的理解抽象思维要到小学三年左右，在青春期后期还有一个思维的飞跃，我们需要根据孩子不同年龄阶段提供他们不同支持，对于低幼的孩子，主要的任务还是是培养数学兴趣，增加数学经验，做好启蒙工作。
说一千道一万，基础非常重要，兴趣更重要！祝愿我们的孩子都能爱上数学，让数学成为他们人生道路上持久的帮助，能够助力孩子们远行、驰骋！
夏骏轶
培飞思维数学教研总监
联合国GPST国际幼儿教师
创造性戏剧及游戏教育指导师
毕业于华东政法学院法律系。专业法律人，2006年家中大宝出生，遂对教育产生兴趣，08年转行进入幼儿教育领域，加入专注为3-10岁的中国儿童提供数学思维发展课程的培飞思维数学，从此一发不可收拾。
目前家中大小俩娃，主要从事儿童思维能力训练，对儿童大脑发展规律和数学思维培养有着深入的研究和丰富的执教经验。熟悉美国NCTM数学体系、瑞吉欧教学法，启发式教育，致力于运用思维工具、综合艺术、全脑整合等技术手段拓展儿童认知的宽度与深度，培养和发展儿童的各种思维能力，对儿童教育有着独特性和前瞻性的见解。
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北京地区
朝阳望京校区：(北京朝阳区望京SOHO塔1-B 座17层1710，电话：010--57076016）
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